《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 §4高阶导数 教学章节：第五章导数与微分一一§4高阶导数 教学目标：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。 教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分.能正确理解和运用一阶 微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分. 教学重点：高阶导数（微分）的计算. 教学难点：高阶导数（微分）的计算。 教学方法：以问题教学为主，结合练习. 教学过程： 引言 前面已经看到，当x变动时，∫x)的导数(x)仍是x的函数，因而可将f(x)再对x求导数， 所得出的结果((x》(如果存在)就称为∫(x)的二阶导数 例如，已知运动规律s=s),则它的一阶导数为速度，即v=s),对于变速运动，速度也是 1的函数：v=).如果在一段时间△Y内，速度)的变化为△v=(+△)-0.那么在这段时 间内，速度的平均变化率为智心+。0，这就是在山这段时间内的平均加速度，当 △M 山→0时，极限m公g就是速度在1时刻的变化率，也就是加速度，即 综上知：a)=()=(s'u)y. 加速度是路程s)对时间的导数的导数.说加速度是路程对时间的二阶导数.记为 a)v)-(0 这就是二阶导数的物理意义. 例如自由落体运动规律为：5=)82→v=81→a=8· 一般地，有如下定义： 一、高阶导数定义
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 1 §4 高阶导数 教学章节：第五章 导数与微分——§4 高阶导数 教学目标：了解高阶导数的定义,熟悉高阶导数的计算. 教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义,会求高阶导数与高阶微分.能正确理解和运用一阶 微分的形式不变性,并与高阶微分清楚地加以区分. 教学重点：高阶导数（微分）的计算. 教学难点：高阶导数（微分）的计算. 教学方法：以问题教学为主,结合练习. 教学过程: 引言 前面已经看到,当 x 变动时, f x( ) 的导数 f '(x) 仍是 x 的函数,因而可将 f '(x) 再对 x 求导数, 所得出的结果 ( f '(x))' （如果存在）就称为 f (x) 的二阶导数. 例如,已知运动规律 s = s(t) ,则它的一阶导数为速度,即 v = s'(t) ,对于变速运动,速度也是 t 的函数： v = v(t) .如果在一段时间 t 内,速度 v(t) 的变化为 v = v(t + t) − v(t) .那么在这段时 间内,速度的平均变化率为 t v t t v t t v + − = ( ) ( ) ,这就是在 t 这段时间内的平均加速度,当 t →0 时,极限 t v t →0 lim 就是速度在 t 时刻的变化率,也就是加速度,即 ( ) lim '( ) 0 v t t v a t t = = → . 综上知： a(t) = v'(t) = (s'(t))' . 加速度是路程 s(t) 对时间的导数 的导数.说加速度是路程对时间的二阶导数.记为 a(t) = v'(t) = (s'(t))' 或 2 2 dt d s . 这就是二阶导数的物理意义. 例如自由落体运动规律为： s = gt v = gt a = g 2 2 1 . 一般地,有如下定义： 一、高阶导数定义
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 定义（二阶导数）若函数f的导函数f?在点x。可导，则称在点x,的导数为f在点x。的 二阶导数，记作"(x),即 m-f-, X-Xo 此时称f在点x。二阶可导 如果∫在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶可导函数，记作 国e.政记作八八装 函数y=fx)的二阶导数"(x)一般仍旧是x的函数.如果对它再求导数，如果导数存在的 话称之为函数y=的三阶号数记为，广，政宏 函数y=九)的n-1阶导数的导数称为函数y=的n阶号数记为y,m,或化 相应地少-e在x,的a阶号数记为r).票 △二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数. 二、高阶导数的计算的例子 从高阶导数的定义可知，求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法.在概念上高阶导数 没有什么新东西，但在具体求高阶导数时还是需要一些新技巧。 例1y=em,求y 解y=ae",y=ae,y=ae 例2y=“,求y 解y=ax,广=a2e,，y0=aa-l)a-n+r-a2)当a为正整数 时，a=n,y=川，am,则P()=0 例3y=(1+x),求y回 解y广am= 1+)”(m≥)，其中规定01=1
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 2 定义（二阶导数） 若函数 f 的导函数 f ' 在点 0 x 可导,则称 f ' 在点 0 x 的导数为 f 在点 0 x 的 二阶导数,记作 ''( ) 0 f x ,即 ''( ) '( ) '( ) lim 0 0 0 0 f x x x f x f x x x = − − → , 此时称 f 在点 0 x 二阶可导. 如果 f 在区间 I 上每一点都二阶可导,则得到一个定义在 I 上的二阶可导函数,记作 f ''(x) , xI ,或记作 f ' ', y'' , 2 2 dx d y . 函数 y = f (x) 的二阶导数 f ''(x) 一般仍旧是 x 的函数.如果对它再求导数,如果导数存在的 话,称之为函数 y = f (x) 的三阶导数,记为 y''' , f '''(x) ,或 3 3 dx d y . 函数 y = f (x) 的 n −1 阶导数的导数称为函数 y = f (x) 的 n 阶导数,记为 (n) y , (n) f ,或 n n dx d y . 相应地, y = f (x) 在 0 x 的 n 阶导数记为： 0 ( ) x x n y = , ( ) 0 ( ) f x n , 0 n x x n dx d y = . 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数. 二、高阶导数的计算的例子 从高阶导数的定义可知,求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法.在概念上高阶导数 没有什么新东西,但在具体求高阶导数时还是需要一些新技巧. 例 1 ax y = e ,求 (n) y . 解 ax y = a e , ax y a e 2 = , n n ax y = a e ， ( ) . 例 2 y = x ,求 (n) y . 解 −1 = y x , ax y a e 2 = , n n y n x − = − − + ( 1) ( 1) ， ( ) (n 1) 当 为正整数 时, = n, ! ( ) y n n = , n, 0 ( ) = n y .若 P (x) m 是 m 次多项式, n m,则 ( ) 0 ( ) P x = n . 例 3 y = ln(1+ x) ,求 (n) y . 解 x y + = 1 1 , 2 (1 ) 1 x y + = − , n n n x n y (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 + − = − ， − (n 1) , 其中规定 0!= 1
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 例4y=smx,求ym 解 y'=cosx=sinx+) y"=-snx=sim(x+π) 0=sx+77 同理可得 (Ccoc) 用Euler公式，e=cos6+isn6,形式地 (e)y=ire0=e肾e0=eo学 =cos0+"7)+is0+”） =(cos)(+i(sin 所以o=x+受.由P=+受) 例5y=mcgx,求y 解了++ycwy 1 1 y=-2cosys yycos ysn 2(y+) =2c'ys y)sn2(y+)+2cosycos2(y+) =2c0s23y.cos(20y+7)+y) =2cos'y.sin y+) ÷ym=(n-1lc0s”ysm0y+2 特别地2-0)=(-)(2n-2 y2m(0)=0
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 3 例 4 y = sin x ,求 (n) y . 解 ) 2 cos sin( y = x = x + , y = −sin x = sin( x + ) ) 2 sin( ( ) n y x n = + 同理可得 ) 2 (cos ) cos( ( ) n x x n = + . 用 Euler 公式, e cos isin i = + , 形式地 ( ) ( ) ) 2 ( ( ) 2 (cos ) (sin ) ) 2 ) sin( 2 cos( ( ) n n n i i n i i n n i i n i n e i e e e e = + = + + + = = = + 所以 ) 2 (cos ) cos( ( ) n x x n = + , ) 2 (sin ) sin( ( ) n x x n = + . 例 5 y = arctg x,求 (n) y . 解 y x tg y y 2 2 2 cos 1 1 1 1 = + = + = ) 2 2cos sin cos sin 2( 2 y = − y y y = y y + ) 2 2cos sin 3( ) ) 2 2cos cos( 2( ) 2 ) 2cos cos 2( 2 2cos ( sin )sin 2( 3 3 3 4 = + = + + = − + + + y y y y y y y y y y y ) 2 ( 1)!cos sin ( ( ) y = n − y n y + n n . 特别地 (0) ( 1) (2 2)! (2 1) 1 = − − − − y n n n , (0) 0 (2 ) = n y
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 三、高阶导数的计算法则 Leibniz公式 (u±)=园±p回 (cu))=cum (u.v)= (u-p）少°=2no+2nn0+wo2 (uv)9=wvo+32p0+3r,2+4o 定理若，”有任意阶导数，则 eyn-立cg-wwc产- n! 证明用归纳法，n=1已经成立.设n时成立，我们来证n+1时也成立. unw-2cu-w"叮 -2cu-w+wy -2ctw+芝cwon CyCCm c. 这个证明与牛顿二项式展开公式证明的格式是一致的，这里的更标准，最后一步用到了恒等式 C+C=Ct」 注将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见： (u+)”=°+C-y+.Cu-v*+.+v.(这里w°=v°=1)，在形式上二者有 相似之处 四、复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数 复合函数，反函数，参数式，隐函数归纳不出求高阶导数的公式，但至少我们可归纳出二阶， 三阶导数的公式，那也是非常有用的. 例如y=几g(x)
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 4 三、高阶导数的计算法则 Leibniz 公式 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u v = u v ( ) ( ) ( ) n n cu = cu (1) (0) (0) (1) (u v) = u v + u v (2) (0) (1) (1) (0) (2) (u v) = u v + 2u v + u v (3) (3) (0) (2) (1) (1) (2) (0) (3) (u v) = u v + 3u v + 3u v + u v . 定理 若 u，v 有任意阶导数,则 = − = n k k n k k n n u v C u v 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , !( )! ! k n k n C k n − = . 证明 用归纳法, n =1 已经成立. 设 n 时成立,我们来证 n +1 时也成立. = + − = n k k n k k n n u v C u v 0 ( 1) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 。 + = + − + + = + − − + = + = − + − − + = − + − + = = + + + = + = + 1 0 ( 1 ) ( ) 1 (0) ( 1) 1 0 ( 1) (0) 1 ( 1) ( ) 0 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) ( ) 0 ( 1) ( ) ( ) ( 1) [ ] n k k n k k n n n n n k k n k k n k n n n n k n k k n k k n k n k k n n k k n k k n k k n C u v C u v C C u v C u v C u v C u v C u v u v 这个证明与牛顿二项式展开公式证明的格式是一致的,这里的更标准.最后一步用到了恒等式 k n k n k Cn C C 1 1 + − + = . 注 将 Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： k n k k o n n n n n n u + v = u v + C u v + C u v + + u v ( ) 0 1 −1 1 − .（这里 1 0 0 u = v = ）,在形式上二者有 相似之处. 四、复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数 复合函数,反函数,参数式,隐函数归纳不出求高阶导数的公式,但至少我们可归纳出二阶, 三阶导数的公式,那也是非常有用的. 例如 y = f [g(x)]
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 y'=fTg(x)lg'(x) y"=fIg(x)]-[g'(x)+fg(x)lg'(x) =f [g(x)]-[g'(x)+3fg(x)]g'(x).g"(x)+fg(x)]g"(x) 设y=x),x=x0)互为反函数，则 1 x'y)= y'x 1 0)=-r-o列 V =- x=x(1) 又设y=)为参数式，则 )= yx=￥0-@ro. x'u]2 =x')y')-y'0x") [x'(u 再设F(x,)=0定义隐函数y=),则对F(x,)=0两边求一次导，得出含'《)的方程，解出 (x)来：求二次导，得出含y(x)的方程，可解出y(x)来 例6y=arcsinx,求y(0) 解这个函数求()的公式是困难的，但求y(0)相对容易，这在今后研究它的Tay1or 展开式时是有用的。 1 y= (1-x2)y2=1 两边再对x求一次导数，得-)2少-2y=0,当<1时，y+0,可除去少项，得 1-x2)y-y=0.求(n-2)次导数，用Leibniz公式，得 (l+(-2X-2x)y(-2Xm-3-2)y-x-(-2)-0 把x=0代入，得 y(0)-(n-2n-3)y-2(0)-(n-2)ym-2(0)=0
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 5 y = f [g(x)] g(x) [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) 2 y = f g x g x + f g x g x [ ( )] [ ( )] 3 [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) (3) (3) 3 y = f g x g x + f g x g x g x + f g x g x 设 y = y(x) , x = x( y) 互为反函数,则 ( ) 1 ( ) y x x y = 3 。 2 [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] 1 ( ) y x y y x x y y x x y = − = − 又设 = = ( ) ( ) y y t x x t 为参数式,则 ( ) ( ) ( ) x t y t y x = 3 。 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t y t y t x t t x x t x t y t y t x t y x − = − = 再设 F(x, y) = 0 定义隐函数 y = y(x) ,则对 F(x, y) = 0 两边求一次导,得出含 y(x) 的方程,解出 y(x) 来；求二次导,得出含 y(x) 的方程,可解出 y(x) 来. 例 6 y = arcsin x ,求 (0) (n) y . 解 这个函数求 ( ) ( ) y x n 的公式是困难的,但求 (0) (n) y 相对容易,这在今后研究它的 Taylor 展开式时是有用的. 2 1 1 x y − = , (1 ) 1 2 2 − x y = ， 两边再对 x 求一次导数 ,得 (1 ) 2 2 0 2 2 − x yy − xy = .当 x 1 时, y 0 ,可除去 y 项,得 (1 ) 0 2 − x y − xy = .求 (n − 2) 次导数,用 Leibniz 公式,得 ( 2) ( 2) 0 2 ( 2)( 3) (1 ) ( 2)( 2 ) 2 ( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) − − − − = − − − + − − + n n− n− n− n− y x y n y n n x y n x y . 把 x = 0 代入,得 (0) ( 2)( 3) (0) ( 2) (0) 0 ( ) ( 2) ( 2) − − − − − = n n− n− y n n y n y
《数学分析》上册教案 第五登导数与微分 海南大学数学系 y(0)=(n-2)2y-2(0) yo(0)=0y9(0)=1 y2m(0)=0 y2m+(0)=(2n-1)2y2m-(0) =(2n-2(2n-3)2.12y0(0 =[2n-102。 例7设y=fx)在0点有一，二阶导数，满足6=x),6=∫(x)≠0 求过点M(x,%=fx)的圆(x-a)2+(y-b)2=R2,使得它在 M点与给定函数有相同的一二阶导数，该圆称为曲率圆，R称为曲 率半径，《-天移为曲丰.点a)素为曲幸中心，它在工程中，比如 v=f(x) 铁路转弯的设计中非常有用. 解需要求的参数有三个a,b,R.它们满足 (1)过M点： (x。-a)2+0。-b2=R21) (2)在M点一阶导数相同 (x-a)+(0%-b)%=0(2) (3)在M点二阶导数相同 1+%2+06-b)y6=0(3) 6=6+1+发 由(3)解出 由(2)解出 % R=1+以)子 由(1)解出 I61 钢8试求提线参童方恩化所精定的函政y一的价导及 练习 1香夜由方化确定球会及在1等处的流
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 6 (0) ( 2) (0) ( ) 2 ( −2) = − n n y n y (0) 0 (0) y = , (0) 1 (1) y = , (0) 0 (2 ) = n y , 2。 2 2 2 (1) (2 1) 2 (2 1) [(2 1)!!] (2 1) (2 3) 1 (0) (0) (2 1) (0) = − = − − = − + − n n n y y n y n n 例 7 设 y = f (x) 在 0 x 点有一,二阶导数,满足 ( ) 0 0 y = f x , y0 = f (x0 ) 0 . 求过点 ( , ( ) ) 0 0 0 M x y = f x 的圆 2 2 2 (x − a) + (y − b) = R ,使得它在 M 点与给定函数有相同的一二阶导数,该圆称为曲率圆,R 称为曲 率半径, R k 1 = 称为曲率,点 (a,b) 称为曲率中心,它在工程中,比如 铁路转弯的 设计中非常有用. 解 需要求的参数有三个 a，b，R .它们满足 （1）过 M 点： (x0 − a) 2 + ( y0 − b) 2 = R 2 （1） （2）在 M 点一阶导数相同 (x0 − a) + ( y0 − b) y0 = 0 （2） （3）在 M 点二阶导数相同 1 ( 0 ) 0 0 （3） 2 + y0 + y − b y = 由（3）解出 0 2 0 0 1 y y b y + = + 由（2）解出 0 2 0 0 0 1 y y a x y + = − 由（1）解出 | | (1 ) 0 2 3 2 0 y y R + = . 例 8 试求由摆线参量方程 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 所确定的函数 y = y(x) 的二阶导数. 练习 1．函数 y = y(x) 由方程 = = y t x t 4 4 sin cos 确定,试求 dx dy 及其在 2 0, t = 处的值. 2．函数 y = y(x) 由方程 = − = + (sin cos ) (cos sin ) y a t t t x a t t t 确定,试求 tgt dx dy = . y=f(x)
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 3.设函数)y=)由r=a1+c0s)确定，试求办，少。 d0' 4.设y=e'cosx,求y 5.设y=x2snx,求ys0. 6.研究函数fx)= <0的高阶导数。 x2,x≥0
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 7 3．设函数 y = y(x) 由 r = a(1+ cos ) 确定,试求 d dr , dx dy . 4．设 y e x x = cos ,求 (5) y . 5．设 y x sin x 2 = ,求 (80) y . 6．研究函数 − = , 0 , 0 ( ) 2 2 x x x x f x 的高阶导数