《数学分析》上册教案 第大章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 §6.6.中值定理在讨论函数图形方面的应用 教学目标：使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整 体性态较为准确地描绘函数的图形 教学要求：掌握描绘图形的一般方法和，能够把握函数曲线的各种重要特征热练、正确地描绘出 函数图形 教学重点：描绘函数的图形 教学难点：曲线各种特征的讨论 教学方法：演示例题 教学过程： 引言 在中学里，我们重要依赖描点作图画出一些简单函数的图形，一般来说，这样得到的图形比较 粗糙，无法确切反映函数的性态（如单调区间，极值点，凸性区间，拐点等）， 这一节里，我们将综合应用在本章前几节学过的方法，再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识 较完美地作出函数的图形 一、曲线的渐近线 定义若曲线C上动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于 零，则称直线L为曲线C的渐近线. 般来说，曲线y=)即便是无限延伸下去， 也不一定有渐近线，如：y=snx没有渐近线。 那么，到底在什么情况下有渐近线呢？如何求渐近线的方程呢？ 1、设曲线y=f)有渐近线y=:+6,为了确定它，就必须求出其中的常数k与b,为此，如 图： y y=f(r) Ny-ax+6 考虑曲线上的动点P到渐近线的距离PN川 IPNHPMcosaHf(x)-(kx+b) 1 7+ga-++家
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 1 §6. 6. 中值定理在讨论函数图形方面的应用 教学目标: 使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整 体性态较为准确地描绘函数的图形. 教学要求: 掌握描绘图形的一般方法和,能够把握函数曲线的各种重要特征.熟练、正确地描绘出 函数图形. 教学重点: 描绘函数的图形 教学难点: 曲线各种特征的讨论 教学方法: 演示例题 教学过程: 引 言 在中学里,我们重要依赖描点作图画出一些简单函数的图形,一般来说,这样得到的图形比较 粗糙,无法确切反映函数的性态（如单调区间,极值点,凸性区间,拐点等）. 这一节里,我们将综合应用在本章前几节学过的方法,再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识, 较完美地作出函数的图形. 一、 曲线的渐近线 定义 若曲线 C 上动点 P 沿着曲线无限地远离原点时,点 P 与某一固定直线 L 的距离趋于 零,则称直线 L 为曲线 C 的渐近线. 一般来说,曲线 y f x = ( ) 即便是无限延伸下去, 也不一定有渐近线,如： y x = sin 没有渐近线. 那么,到底在什么情况下有渐近线呢？如何求渐近线的方程呢？ 1、设曲线 y f x = ( ) 有渐近线 y kx b = + ,为了确定它,就必须求出其中的常数 k 与 b .为此,如 图： 考虑曲线上的动点 P 到渐近线的距离 | | PN2 2 1 1 | | | cos | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 1 1 PN PM f x kx b f x kx b tg k = = − + = − + + +
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 由渐近线定义，当x→+∞（对x→-∞时也有相应结果）时，|PN→0，从而 lim[f(x)-k(x+6)]=0 (*) 或 lim(f(x)-kx)=b (1) 而 恤-==-0. (*) 海 m国-k X (2) 从而如有斜渐近线y=:+b则其中的k、b可由(1)，(2)求得.反之，如由(1)，(2)求得k、 b,再由（◆）、(*)式知PW→0，从而所得的y=c+b确为曲线y=f)之渐近线因此，求曲 线y=()的斜渐近线就化为求式(1)、(2)的极限了. 例求曲线'+2r可的渐近线 f(x) 解言r+2-3x引(x→四， 故设k=1,有 )=+2x-3x→-2x→四） 故得b=-2,从而求得曲线的渐近线方程为y=-2 2、若曲线”=儿)在点七存在垂直于x轴的渐近线，则有皿/)=”或四)=∞ lim f(x)=0 这时曲线的渐近线方程为=，称它为垂直渐近线。 如上例中，由于》=F+2x-x+3-可，故当x→3，x→1时皆有y→的，所以曲线有 垂直渐近线x=-3,x=1. 如图：
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 2 由渐近线定义,当 x → + （对 x →− 时也有相应结果）时, | | 0 PN → ,从而 lim [ ( ) ( )] 0 x f x k x b →+ − + = （*） 或 lim ( ( ) ) x f x kx b →+ − = （1） 而 ( ) ( ) lim ( ) lim 0 x x f x f x kx k →+ →+ x x − − = = , （**） 故 ( ) lim x f x k →+ x = . （2） 从而如有斜渐近线 y kx b = + 则其中的 k 、b 可由（1）,（2）求得.反之,如由（1）,（2）求得 k 、 b ,再由（*）、（**）式知 | | 0 PN → .从而所得的 y kx b = + 确为曲线 y f x = ( ) 之渐近线.因此,求曲 线 y f x = ( ) 的斜渐近线就化为求式（1）、（2）的极限了. 例 求曲线 3 2 2 3 x y x x = + − 的渐近线. 解 3 3 2 ( ) 1 2 3 f x x x x x x = → + − ( ) x → ， 故设 k =1,有 3 2 ( ) 2 2 3 x f x kx x x x − = − → − + − ( ) x → 故得 b =−2.从而求得曲线的渐近线方程为 y x = − 2 2、若曲线 y f x = ( ) 在点 0 x 存在垂直于 x 轴的渐近线,则有 0 lim ( ) x x f x → = 或 0 lim ( ) x x f x → + = 0 lim ( ) x x f x → − = .这时曲线的渐近线方程为 0 x x = ,称它为垂直渐近线. 如上例中,由于 3 3 2 2 3 ( 3)( 1) x x y x x x x = = + − + − ,故当 x →−3, x →1 时皆有 y → ,所以曲线有 垂直渐近线 x =−3, x =1. 如图：
《数学分析》上册教案 第大章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 二、函数的作图 在中学里，我们所学的是描点作图法，首先求出几个点的坐标，然后把它们逐个连接起来，就 得到曲线的图象.一般来讲，这样得到的图象比较粗糙，某些弯曲情形常不能确切反映，现在我们 可以利用微分学工具，讨论函数的升、降、凸性、极值等等，再结合周期性、奇偶性等知识来作 图 作图的步骤如下： 1、确定函数的定义域： 2、 考察函数的一些基本性质：如奇偶性、对称性、周期性等： 3、 确定函数的某些特殊点，如与两坐标轴的交点、不连续点、不可导点等： 4、确定函数的单调区间、极值、凸性以及拐点： 5、确定渐近线： 6、根据以上讨论结果作图。 当然，不是每个函数作图都必须有这几个步骤，应据具体情况灵活掌握，但第4步总是不可少 的. 例讨论函数》=4x-的性态并作。 解)函数的定义域为-0，U1+四)： 四鱼线与精的交点为0)，与>轴交点为0-孕】
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 二、 函数的作图 在中学里,我们所学的是描点作图法,首先求出几个点的坐标,然后把它们逐个连接起来,就 得到曲线的图象.一般来讲,这样得到的图象比较粗糙,某些弯曲情形常不能确切反映,现在我们 可以利用微分学工具,讨论函数的升、降、凸性、极值等等,再结合周期性、奇偶性等知识来作 图. 作图的步骤如下： 1、 确定函数的定义域； 2、 考察函数的一些基本性质：如奇偶性、对称性、周期性等； 3、 确定函数的某些特殊点,如与两坐标轴的交点、不连续点、不可导点等； 4、 确定函数的单调区间、极值、凸性以及拐点； 5、 确定渐近线； 6、 根据以上讨论结果作图. 当然,不是每个函数作图都必须有这几个步骤,应据具体情况灵活掌握,但第 4 步总是不可少 的. 例 讨论函数 2 ( 3) 4( 1) x y x − = − 的性态,并作其图象. 解 ⑴ 函数的定义域为 ( ,1) (1, ) − + ； ⑵ 曲线与 x 轴的交点为 (3,0) ,与 y 轴交点为 9 (0, ) 4 − ；
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 8令.60 4(x-1)2 得x=-1,3 当x3时，y>0,这时函数严格递增当-10，这时函数为凸函 数： (⑤)渐近线： (x-3)2 lim 4x-I) ,所以直线x=1是曲线的垂直渐近线。 又因为 所以直线宁-为曲线的浙近线 将(3、(4)制表如下： x (-0,-） -1 (-1,1) 1 1,3) 3 (3.+o) f'(x) 0 不存在 + ∫"(x) 不存在 + f(x) -刀凹-2极大-凹无定义+八凸0极小+凸 作图： 例作由参数方程x=-2,y=心-2)所表示的平面曲线
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 ⑶ 令 2 2 ( 3) ( 1) 0 4( 1) x x y x − + = = − 解得 x =−1,3 当 x −1 或 x 3 时, y 0 ,这时函数严格递增；当 − 1 1 x 或 1 3 x 时, y 0 ,这时函数严格 递减. ⑷ 3 2 ( 1) y x = − ,当 x 1 时 y 0 ,这时函数为凹函数；当 x 1 时 y 0 ,这时函数为凸函 数； ⑸ 渐近线： 2 1 ( 3) lim 4( 1) x x → x − = − ,所以直线 x =1 是曲线的垂直渐近线. 又因为 2 ( ) ( 3) 1 lim lim x x 4 ( 1) 4 f x x → → x x x − = = − ,即 1 4 k = 2 ( 3) 1 5 lim[ ( ) ] lim[ ] x x 4( 1) 4 4 x f x kx x → → x − − = − = − − 所以直线 1 5 4 4 y x = − 为曲线的斜渐近线. 将⑶、⑷制表如下： x ( , 1) − − −1 ( 1,1) − 1 (1,3) 3 (3, ) + f x ( ) + 0 − 不存在 − 0 + f x ( ) − − − 不存在 + + + f x( ) − 凹 −2 极大 − 凹 无定义 + 凸 0 极小 + 凸 作图： 例 作由参数方程 2 x t = − 2, 2 y t t = − ( 2) 所表示的平面曲线
《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 解()1可取任何实数值，但对任何1的值，总有-2≤x,-0<y<0: ②)x=?-2对1是偶函数，y=心-2)对1是奇函数.即在1=与=-时，对应的x值相同， 而'值的绝对值相同符号相反，这表明图象关于x轴对称，因此我们只须讨论1≥0的情形就够 了 (3)当1=V2时，x=0,y=0:1=0时，x=-2,y=0: 9-302-2 本21，当1=0时d,这时曲线有垂直于x轴的切线， y=0 当后时-0，这时有稳定点一， 0e1<5时本0y严格递减：51<+0 0，y严格端 时 32+2 6)k2d-2)=4r 曲线凸，且在 5时取得极小值 2 综合上述结果，可作图如右：
《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 解 ⑴ t 可取任何实数值,但对任何 t 的值,总有 − 2 x , − + y ； ⑵ 2 x t = − 2 对 t 是偶函数, 2 y t t = − ( 2) 对 t 是奇函数.即在 0 t t = 与 0 t t =− 时,对应的 x 值相同, 而 y 值的绝对值相同符号相反,这表明图象关于 x 轴对称,因此我们只须讨论 t 0 的情形就够 了. ⑶ 当 t = 2 时, x = 0 , y = 0 ； t = 0 时, x =−2, y = 0 ； ⑷ 2 3 2 2 dy t dx t − = ,当 t = 0 时 dy dx = ,这时曲线有垂直于 x 轴的切线； 当 2 3 t = 时 0 dy dx = ,这时曲线有稳定点 4 3 x = − ； 故： 2 0 3 t 时 0 dy dx , y 严格递减； 2 3 + t 时 0 dy dx , y 严格递增. ⑸ 2 2 2 2 2 3 3 2 ( ) 2 3 2 ( 2) 4 t d d y t t dx d t t − + = = − 2 2 0 0 d y t dx 曲线凸,且在 2 3 t = 时取得极小值. 综合上述结果,可作图如右：