《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 §8.3几类可积的初等函数 教学目标：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分。 载学内容：有理函数的不定积分：三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分. 基本要求：(1)有理函数的不定积分：三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分. (②)较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分. 教学建议：()适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的 不定积分的习题. (2)本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握。 教学过程： 8.3.1 有理函数的积分法 称形如 P(x)=ax"+ax-+.+a (3.1) 的函数为多项式函数。其中4，∈Rk=0,L.”,用dcgP()表示多项式P()的关于变量x的次 数。 设P(x)与Q()是任意两个互质的多项式函数，称形如 P(x) Qx) (Qx)≠0) (3.2) P(x) 的函数为有理函数，记作Rx)=Q(),当degP()<degQ()时，称R()为有理真分式，当 degP(x)≥degQ(x)时，称R()为有理假分式。 P(x) 显然任何一个有理假分式)=Q田，用多项式函数P(x)除以多项式函数Q),总能将 R(x)表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和。即
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 1 §8.3 几类可积的初等函数 教学目标：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分． 教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分． 基本要求：(1)有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分． (2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分． 教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的 不定积分的习题． (2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握． 教学过程： 8.3.1 有理函数的积分法 称形如 1 0 1 ( ) n n P x a x a x an − = + + + （3.1） 的函数为多项式函数。其中 , 0,1, , k a R k n = ，用 deg ( ) P x 表示多项式 P x( ) 的关于变量 x 的次 数。 设 P x( ) 与 Q x( ) 是任意两个互质的多项式函数，称形如 ( ) ( ) P x Q x (Q x( ) 0 ) （3.2） 的函数为有理函数，记作 R x( ) = ( ) ( ) P x Q x ，当 deg ( ) deg ( ) P x Q x 时，称 R x( ) 为有理真分式，当 deg ( ) deg ( ) P x Q x 时，称 R x( ) 为有理假分式。 显然任何一个有理假分式 R x( ) = ( ) ( ) P x Q x ，用多项式函数 P x( ) 除以多项式函数 Q x( ) ，总能将 R x( ) 表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和。即
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 P)P()+SG) R(x)=O(x) O(x) 其中户x)与S(x)均为多项式函数，且degS)<degQ(x)。例如 x3+1 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积。 我们首先考虑如下最简分式 A 1)x-a (2)(r-a,n=23 A Ax+B Ax+B (3)x2+m+g （④)+m+9,1=23 的积分方法。其中A,B,P,q皆为实常数，二次三项式x+瓜+q不能分解为实一次多项式之积， 即p2-4g<0。 显然 ()n-dc 而 4x+)+(B-9) (3) x++g+) 号有 g小染-
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 2 R x( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x S x P x Q x Q x = + 其中 P x( ) 与 S x( ) 均为多项式函数，且 deg ( ) deg ( ) S x Q x 。例如 3 2 2 1 1 1 1 x x x x x + − = − + + 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积。 我们首先考虑如下最简分式 （1） A x a − （2） , 2,3, ( )n A n x a = − （3） 2 Ax B x px q + + + （4） 2 , 2,3, ( )n Ax B n x px q + = + + 的积分方法。其中 A B p q , , , 皆为实常数，二次三项式 2 x px q + + 不能分解为实一次多项式之积， 即 2 p q − 4 0。 显然 （1） ln A dx A x a C x a = − + − （2） 1 1 ( ) 1 ( ) n n A A dx C x a n x a − = + − − − 而 （3） 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 4 p Ap A x B Ax B dx dx x px q p p x q + + − + = + + + + + 设 2 p u x = + ， 2 4 p a q = − ，有 2 Ax B dx x px q + = + + 2 2 2 2 ( ) 2 udu Ap du A B u a u a + − = + + 2 2 1 ln( ) ( )arctan 2 2 A Ap u u a B C a a + + − + =
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 n)2 anctan 2x+p+C 4q-p 4q-p 女- [+m++(B- 1 2+m+g]本 +m+gr+a-判 dx +r+g5 (3.3) 在试右9含号写.有 dx 根据式(2.7)，积分有如下递推公式 4。ra- n-2,3,. (3.4) 且 从出安，或复购用5的维公式a用代园限安量=叶号发-一号。阳可求类 型(4)的最简分式的不定积分。 关于有理真分式的分解，我们有如下定理。 P(x) 定理3.1设()=Q()是一个有理真分式，且分母多项式函数 Q(x)=(x-a,).(x-a,)(x2+px+g)(x2+p,x+g,) 其中4，.，aA,4,P4∈R,p2-4<0,k=12,1,则()有下列最简分式分解式 .*+a+高 A
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 3 2 2 2 2 2 ln( ) arctan 2 4 4 A B Ap x p x px q C q p q p − + + + + + − − 又 2 ( )n Ax B dx x px q + = + + 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2( ) 2 ( )n A x px q Ap B dx x px q x px q + + + − = + + + + 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 4 n n A Ap dx x px q B n p p x q − + + + − − + + − （3.3） 在式（3.3）右端积分中，令 2 p u x = + ， 2 4 p a q = − ，有 2 2 ( ) ( ) 2 4 n dx p p x q = + + − 2 2 ( )n n du I u a = + 根据式（2.7），积分 n I 有如下递推公式 n I = 2 2 2 1 2 1 1 2 3 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) n n u n I a n u a a n − − − + − + − ， n = 2,3, （3.4） 且 1 2 2 1 arctan du u I C u a a a = = + + 从 1 I 出发，重复应用 n I 的递推公式（3.4），再代回原变量 2 p u x = + 及 2 4 p a q = − ，即可求出类 型（4）的最简分式的不定积分。 关于有理真分式的分解，我们有如下定理。 定理 3.1 设 R x( ) = ( ) ( ) P x Q x 是一个有理真分式，且分母多项式函数 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t r l r l Q x x a x a x p x q x p x q = − − + + + + s t t 其中 1 1 1 , , ; , , , , s t t a a p q p q R ， 2 4 0 k k p q − ，k t =1,2, , ，则 R x( ) 有下列最简分式分解式 R x( ) = 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) s s s s r r r r s s A A A A x a x a x a x a + + + + + + + − − − −
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 Bx+C Bx+C! (x+px+q) -+.+ x+px+9 Bx+Ci B'x+C +p+9+.+r+Px+q 其中4.44BC,CR,CB,C4eR 定理3.1说明任何有理真分式一定可以分解为若干个最简分式之和，而上面的讨论展示了 ()~(④)种类型的最简分式的可积性。从而可知有理函数一定是可积的。 例3.1、把函数 (x-1)(x+3)(x2+2x+2 分解为最简分式之和，并求其不定积分。 解：由定理3.1知，给定函数的最简分式分解式应为 -+r+2+习.++410 Cx+D 消去分母，有 x=Ax+3(x2+2x+2)+B(x-1)(x2+2x+2)+(Cx+D(x-1x+3) 比较上式两端同次幂系数，有 A +B +C =0 5A+B+2C+D=0 8A -3C+2D=1 6A-2B-3D=0 解此代数方程，有 1 11311 于是(-l0x+训r+2x+2.20x+20x+357+2x+2 从霜-e*2可动高+易引年密。 动-邮22
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) l l l B x C B x C x p x q x p x q + + + + + + + + + + 1 1 2 2 ( ) t t t t t t t l l l t t t t B x C B x C x p x q x p x q + + + + + + + + 其中 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , ; ; , , ; , , ; , ; ; , , , , s t t s s t t t t A A A A B C B C B C B C R r r l l l l 。 定理 3.1 说明任何有理真分式一定可以分解为若干个最简分式之和，而上面的讨论展示了 ⑴～⑷种类型的最简分式的可积性。从而可知有理函数一定是可积的。 例 3.1、把函数 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 x x x x x − + + + 分解为最简分式之和，并求其不定积分。 解：由定理 3.1 知，给定函数的最简分式分解式应为 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 x x x x x − + + + = 2 1 3 2 2 A B Cx D x x x x + + + − + + + 消去分母，有 2 2 x A x x x B x x x Cx D x x = + + + + − + + + + − + ( 3)( 2 2) ( 1)( 2 2) ( )( 1)( 3) 比较上式两端同次幂系数，有 5 8 6 A A A A 2 B B B + + − 2 3 C C C + + − 2 3 D D D + + − 0 0 1 0 = = = = 解此代数方程，有 1 3 1 , , , 0 20 20 5 A B C D = = = − = 于是 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 x x x x x − + + + = 2 1 1 3 1 1 20 1 20 3 5 2 2 x x x x x + − − + + + 从而 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 xdx x x x x = − + + + 2 1 3 1 20 1 20 3 5 2 2 dx dx xdx x x x x + − − + + + = 2 2 1 3 1 ( 2 2) ln 1 ln 3 20 20 10 2 2 d x x x x x x + + − + + − + + +
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 动别. arctan(x+1)+C 2x 例2、计算(+F+ 2x A Bx+C Dx+E 解：设 ++x*+i++ 消去分母，有 2x=Ax2+1)+(Bx+C)(x+I)(x2+)+(Dx+E)(x+1) (3.6) 在式（3.6)中令x=-,有-2=4h,即A=-2,令x=1,有21=D+E0+ (D+E)i+(E-D),于是 [D+E=2 -D+E=0 D=E=1 将1分0=6 代入式(3.6)，并令x=0,有 0=-+C+1c=-月 再令x=1,有 2=4+B-4+4B=月 于是 2x +
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 5 2 1 ( 1) 5 ( 1) 1 d x x + + + = 3 2 2 1 ( 1)( 3) ln 20 ( 2 2) x x x x − + + + + 1 arctan( 1) 5 x C + + 例 3.2、计算 ( )( ) 2 2 2 1 1 x dx x x + + 。 解：设 ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x A Bx C Dx E x x x x x + + = + + + + + + + 消去分母，有 ( ) ( )( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 x A x Bx C x x Dx E x = + + + + + + + + （3.6） 在式（3.6）中令 x =−1 ，有 − = 2 4A ，即 1 2 A = − ；令 x i = ，有 2 ( )( 1) i Di E i = + + = (D E i E D + + − ) ( ) ，于是 2 0 D E D E + = − + = D E = =1 将 1 , 1 2 A D E = − = = 代入式（3.6），并令 x = 0 ，有 1 1 0 1, 2 2 = − + + = − C C 再令 x =1 ，有 1 1 1 2 4 ( ) 4 4, 2 2 2 = − + − + = B B 于是 ( )( ) 2 2 2 1 1 x dx x x + + = 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ( 1) dx x x dx dx x x x − + − + + = + + + 2 2 1 1 2 1 ln 1 2 4 1 2 1 x dx x dx x x − + + − + + +
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 a cxC (利用公式3.4)= 00 x-1 从例3.1和例3.2可见，用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦， 况且有些有理函数的分母多项式根本就无法分解因式，所以，当我们求有理函数的积分时，应 尽可能地考虑是否有其它更简便的解法。 例3.3、计算x(+可 解：在实数域内，要将”+1分解因式，是相当困难的，故此题不宜用求最简分式分解式的 方法来计算，然而 刘-可 c 8.3.2三角有理函数的积分法 称由函数sinx,©osx与常数经过有限次四则运算而成的代数有理式为三角有理函数，记作 R(sinx,cosx) 由于tanx,cotx,sCcx与cScx都是由sin x,cosx与常数所构成，所以六个三角函数有理式都可 化为R(sinx,cos)的形式。 关于三角有理函数的积分，我们在前面已进行了一些讨论，现总结一下，得到以下规律： （I)∫R(sin)eosh,令u=sinx, ∫R(eosx)sin,令u=cos:
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 6 2 2 1 2 2 ( 1) x dx x + + 2 2 ( 1) dx x + = 2 2 2 1 1 1 1 1 ln arctan 4 ( 1) 2 2 1 x x x x + − − + + + 1 1 arctan 2 1 2 x x C x + + + （利用公式 3.4）= 2 2 2 1 1 1 ln 4 ( 1) 2( 1) x x C x x + − + + + + 从例 3.1 和例 3.2 可见，用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦， 况且有些有理函数的分母多项式根本就无法分解因式，所以，当我们求有理函数的积分时，应 尽可能地考虑是否有其它更简便的解法。 例 3.3、计算 ( ) 10 1 dx x x + 。 解：在实数域内，要将 10 x +1 分解因式，是相当困难的，故此题不宜用求最简分式分解式的 方法来计算，然而 ( ) 10 1 dx x x + = ( ) 9 10 10 10 10 10 1 1 1 ( ) 1 10 1 x dx dx x x x x = − = + + 10 10 1 ln 10 1 x C x + + 8.3.2 三角有理函数的积分法 称由函数 sin ,cos x x 与常数经过有限次四则运算而成的代数有理式为三角有理函数，记作 R x x (sin ,cos )。 由于 tan ,cot ,sec xxx 与 csc x 都是由 sin ,cos x x 与常数所构成，所以六个三角函数有理式都可 化为 R x x (sin ,cos ) 的形式。 关于三角有理函数的积分，我们在前面已进行了一些讨论，现总结一下，得到以下规律： （Ⅰ） R x xdx (sin cos ) ，令 u x = sin ； R x xdx (cos sin ) ，令 u x = cos ；
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 Ran)sec2迹，令u=tanx. 例3.4、1)∫sn5 fsincos'xdsinx- [sin'x(-sindsinx -[(sin'x-2sin'sinsinsinsinC (2)Iseetn(+tn)dtaxc (II)R(sins.cosx)=R(-sinx,-cosx) 由于R(sinx,cosx)=R(tan.xcosx,.cosx)=R(anx,cosx),且R(tanx-cos) =R(tanx(-cosx),-cosx)-R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)=R(tanx,cosx) 知，R必为tanx与cosx的有理函数，即可设 R(sinx,cosx)=R(tanx,cosx)=R2(tanx,cos x) 是，令u=anx,则x=arctanu,欣=1+n,从面和 ∫R(sin x.cosx)达=∫Ru1+1+T du 转化为有理函数的积分，根据上一小节的讨论，它是可积的。 Cos2x 例.5、计算2. 品令mw应品，品.手我 1 1,岛 du 2-1*0 j2恤=m 万aca方+C=
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 7 ( ) 2 R x xdx tan sec ，令 u x = tan 。 例 3.4、（1） 3 3 4 sin cos5 sin cos sin x xdx x xd x = = 3 2 2 3 5 7 sin (1 sin ) sin (sin 2sin sin ) x x d x x x x dx − = − + = 1 1 1 4 4 8 sin sin sin 4 3 8 x x x C − + + （2） ( ) ( ) 4 2 2 2 sec sec 1 tan 1 tan tan xdx x x dx x d x = + = + = 1 3 tan tan 3 x x C + + （Ⅱ） R x x R x x (sin ,cos ) ( sin , cos ) = − − 由于 R x x R x x x (sin ,cos ) (tan cos ,cos ) = = 1 R x x (tan ,cos ) ，且 1 R x x (tan , cos ) − = R x x x (tan ( cos ), cos ) − − = R x x ( sin , cos ) − − = R x x (sin ,cos ) = 1 R x x (tan ,cos ) 知， R1 必为 tan x 与 2 cos x 的有理函数，即可设 R x x (sin ,cos ) = 1 R x x (tan ,cos ) = 2 2 R x x (tan ,cos ) 于是，令 u x = tan ，则 x u = arctan ， 2 1 du dx u = + ，从而积分 2 2 2 1 (sin ,cos ) ( , ) 1 1 du R x x dx R u u u = + + 转化为有理函数的积分，根据上一小节的讨论，它是可积的。 例 3.5、计算 2 2 cos 2 sin x dx − x 。 解：令 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 tan tan ,cos ,sin 1 tan 1 1 tan 1 x u u x x x x u x u = = = = = + + + + ， 2 1 du dx u = + ，于是 ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 2 sin 1 1 2 2 1 x du du u dx x u u u u u + = = = − + + + − + 2 2 1 1 1 ( ) arctan arctan 1 2 2 2 u du u C u u − = − + = + + 1 tan arctan 2 2 x x C − +
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 （)对任意的三角有理函黄心血无s),可作万能代换”-m,将其变为有是函数。 sinx=- 2sin os 2tamn u *ow号1+m芳17 s-1m.1- cosx=- +ow号1+m度+7 于是 风mo恤可风品高血 .1 2 j如-2t2 +29-同可 m+2++C= tan+2-5 2 1 +C (2) ∫n2x+2snx-∫2 sin (cos+ 2I-+01+2=4J(+w)hs 「 1 、2u1-2 +受+c=mm1+c
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 8 （Ⅲ）对任意的三角有理函数 R x x (sin ,cos ) ，可作万能代换 tan 2 x u = ，将其变为有理函数， 事实上令 tan 2 x u = ， x u = 2arctan ， 2 2 1 dx u = + ，而 2 2 2 2 2sin cos 2 tan 2 2 2 2 sin 1 sin cos 1 tan 2 2 2 x x x u x x x x u = = = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 1 2 2 2 cos 1 sin cos 1 tan 2 2 2 x x x u x x x x u − − − = = = + + + 于是 2 222 2 1 2 (sin ,cos ) ( , ) 111 u u u R x x dx R du uuu − = +++ 例 3.6、（1） 1 2sin dx + x tan 2 x u= = 2 2 1 2 2 1 1 2 1 du u u u = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 ( 2) 2 4 1 2 3 du d u u u u + = = + + + − 1 2 3 ln 3 2 3 u C u + − + = + + tan 2 3 1 2 ln 3 tan 2 3 2 x C x + − + + + （2） tan 2 sin 2 2sin 2sin (cos 1) x u dx dx x x x x = = = + + 2 2 2 2 1 2 1 1( ) 2 1 1 4 2 ( 1) 1 1 du u du u u u u u u = + = − + + + + 2 1 1 1 2 (ln ) [ln tan (tan ) ] 4 2 4 2 2 2 u x x u C C + + = + +
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 8.3.3某些无理函数的积分法 一些无理函数的不定积分，通过适当的变量代换，可以化为有理函数的不定积分。 其中a,B,y,6eRa6-By≠0，m,neN ax+B 设P是m,”的最小公倍数，设u=V+6,则 于是 J网oFob 由于R0,0均为有理系数.品吕eN, ，所以上式右端为有理函数的不定积分。 例3.7、(1)x+语 1aww- 14可血=i4u-i+r-u+h= 1写-片号-号++c= huc 23 2,J-x+高 x+1 -6m2 ,代入原式，有
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 9 8.3.3 某些无理函数的积分法 一些无理函数的不定积分，通过适当的变量代换，可以化为有理函数的不定积分。 （Ⅰ） ( , , ) m n x x R x dx x x + + + + 。 其中 , , , , 0 − R ，m n N , 。 设 p 是 m n, 的最小公倍数，设 u = p x x + + ，则 1 , ( ) p p p x u u x R u x u + − + = = = + − 于是 ( , , ) m n x x R x dx x x + + + + = 1 1 [ ( ), , ] ( ) p p m n R R u u u R u du 由于 1 R t()， 1 R t () 均为有理函数， , p p N m n ，所以上式右端为有理函数的不定积分。 例 3.7、（1） 1 14 1 1 7 2 2 7 13 1 15 16 15 7 14 14 u x x x u u dx u du u u x x = + + = = + + 5 1 4 3 2 14 14 ( 1) 1 u du u u u u du u + = − + − + = + 5 4 3 2 14( ) 5 4 3 2 u u u u − + − + + = u C 5 1 2 1 14 14 7 7 14 7 14 14 5 2 3 x x x x u C − + + + （2） 3 3 2 1 ( 1)( 1) 1 1 dx x dx x x x x + = − + − + 令 3 1 1 x u x + = − ，则 3 3 1 1 u x u + = − ， 2 3 2 6 ( 1) u dx du u − = − ，代入原式，有
《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 x-1Xx+三 篇赔 1-62 j+品w=邮-小咖 引n-6am 2+G *anctmC 岩y悟小ia受 +G h可T-可+5m合c 其中C=G+2 (Ⅱ)某些最简无理函数的不定积分可直接利用基本积分表求。 dx d d(x-3) 例3.8、(1) Jn+6x+F∫2-r∫2- dx (2) du du+1)
《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 10 3 2 ( 1)( 1) dx x x − + = 2 3 3 2 3 3 1 6 3 1 ( 1) 1 1 1 u du u du u u u u − = − = + − − + − 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ln 1 1 1 2 1 u u du u du u u u u u + + + = − + + − + + + + 2 2 2 1 1 3 1 1 2 ln 3 arctan 2 1 2 ( 1) 3 2 u du u u C u u u + + + = + + + + − = 3 3 1 1 1 2 1 ln 3 arctan 2 ( 1) 3 u u C u − + + + = − 3 3 3 1 1 2 1 1 1 1 1 ln (1 ) /( 1) 3 arctan 2 1 1 3 x x x x C x x + + + + − − − + + = − − 3 3 3 3 2 1 1 ln 1 1 3 arctan[ ( )] 2 1 2 3 x x x C x + − + − − + + + − 其中 1 ln 2 2 C C= + 。 （Ⅱ）某些最简无理函数的不定积分可直接利用基本积分表求。 例 3.8、（1） 2 2 2 2 ( 3) 11 6 20 ( 3) ( 20) ( 3) dx dx d x x x x x − = = = + + − − − − 3 3 arcsin arcsin 20 2 5 x x C C − − + = + （2） 1 2 2 2 2 1 ( ) 3 2 1 2 1 2 1 u x d dx dx x x x x x x x x x x x = = = − = − − − − − − 2 2 2 ( 1) 3 2 2 ( 1) du d u u u u + − = − = − − − +