《数学分析》下册教案」 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 §2一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学目标：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性. 教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别：可积性的判别，可微性的判别 (1)基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明 (②)较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明. 教学建议： (①)要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论 (②)对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题， 教学过程： 主要讨论连续性、可积性、可微性。 定理13.2.1设函数列/n(x)}在(a,x)U(x,b)上一致收敛于f(x),且对n, 风)=a,则ma,、mfx)均存在，且相等，即 mm才()=mmf(x)。(即在一致收敛的条件下两种极限可换序) 定理13.9（连续性）若函数列{U,(x)}在区间1上一致收敛于fx),且对n,f(x)在1 上连续，则f(x)在I上也连续。 说明：若各项为连续函数的函数列{(x)}在区间I上其极限函数不连续，则此函数列 (x)}在区间I上不一致收敛。如：在(-1，上。 定理13.10（可积性）若函数列{f(x)}在[a,]上一致收敛，且每一项都连续，则 m.wd=mfxd。 注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序： 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的： 例1、讨论下列函数的连续性与可积性函数
《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 1 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学目标：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性． 教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别． (1) 基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明． (2) 较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明． 教学建议： (1) 要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论． (2) 对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题． 教学过程： 主要讨论连续性、可积性、可微性。 定理 13.2.1 设函数列 f n (x) 在 ( , ) ( , ) a x0 x0 b 上一致收敛于 f (x) ，且对 n ， n n x x f x = a → lim ( ) 0 ，则 n n a → lim 、 lim ( ) 0 f x x→x 均存在，且相等，即 lim lim ( ) lim lim ( ) 0 0 f x f x n x x n n n→ x→x → → = 。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序） 定理 13.9（连续性） 若函数列 f n (x) 在区间 I 上一致收敛于 f (x) ，且对 n ， f (x) n 在 I 上连续，则 f (x) 在 I 上也连续。 说明：若各项为连续函数的函数列 f n (x) 在区间 I 上其极限函数不连续，则此函数列 f n (x) 在区间 I 上不一致收敛。如： n x 在 (−1,1] 上。 定理 13.10（可积性） 若函数列 f n (x) 在 [a,b] 上一致收敛，且每一项都连续，则 → → = b a n n n b a n lim f (x)dx lim f (x)dx。 注 1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注 2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的： 例 1、 讨论下列函数的连续性与可积性函数
《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 2nan,0≤x< 1闭=2a-2na元sx分n=l2 解：（略） 定理13.11（可微性）设{/，(x)}为定义在a,b上的函数列，若x。∈[a,b]为{f(x)}的收 敛点，{/(x)}的每一项在a,b1上有连续的导数，且{U(x)}在[a,b上一致收敛，则 云m()=m4). 注1：在该定理的条件下可以证明/，(x)}在区间[a,b]上一致收敛： 注2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序： 注3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如： 例2、设函数列 闭=六+㎡，n=2 作业：P41~421,2,3,4,5,6,7,8
《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 2 n x x n n n x n n x f x n n n n 1 1 1 0, 2 1 2 2 , 2 1 2 ,0 ( ) − = ，n = 1,2, 。 解：（略） 定理 13.11（可微性） 设 f n (x) 为定义在 [a,b] 上的函数列，若 0 x [a,b] 为 f n (x) 的收 敛点， f n (x) 的每一项在 [a,b] 上有连续的导数，且 f n (x) 在 [a,b] 上一致收敛，则 (lim ( )) lim f (x) dx d f x dx d n n n n→ → = 。 注 1：在该定理的条件下可以证明 f n (x) 在区间 [a,b] 上一致收敛； 注 2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序； 注 3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如： 例 2、设函数列 ln(1 ) 2 1 ( ) 2 2 n x n f x = + ，n = 1,2, 。 作业：P41～42 1,2,3,4,5,6,7,8
《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推 出。 定理1-2（选续性）若函数项级数，()在区间上一致收敛。且每一项L,)都造线， 则其和函数也在区间[a,b)]上连续。 注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 2m,(》=m24.(x》。 定理13-13（逐项求积）若函数项级数∑u.(x)在区间[a,b1上一致收敛，且每一项u,(x)都连续， 区4(e=u.(xd。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。 定理13-14（逐项求导）若函数项级数∑4，(x)在区间[a,)上每一项“，(x)都有连续导函数 x。∈[a,b为函数项级数∑u,(x)的收敛点，且∑(x)在区间[a,b1上一致收敛，则 22e-孟2u 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序
《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 3 下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推 出。 定理 13-12（连续性）若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，且每一项 u (x) n 都连续， 则其和函数也在区间 [a,b] 上连续。 注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 = → = → = 1 1 (lim ( )) lim ( ( )) 0 0 n n x x n n x x u x u x 。 定理 13-13（逐项求积）若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，且每一项 u (x) n 都连续， 则 = = u x dx n n b a ( ( )) 1 =1 ( ) n b a un x dx 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。 定理 13-14（逐项求导）若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上每一项 u (x) n 都有连续导函数， [ , ] x0 a b 为函数项级数 =1 ( ) n n u x 的收敛点，且 = 1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，则 = = = 1 1 ( ( )) ( ( )) n n n n u x dx d u x dx d 。 注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序