《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 §3二元函数的连续性 教学目的掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有 界闭域上的整体性质」 教学要求 (①)基本要求：掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的 性质. (②)较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点 教学建议 (1)有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学 中可通过复习一元连续函数的定理引出. (2)对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习 题. 教学程序 一、二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入· (一)、连续的定义： 定义.设∫为定义在DcR2上的二元函数，B∈D(为D的一个聚点或孤 立点)，若任给正数6，总存在d,使得当P∈U(Bd)nD时，都有 /(P)-f(B<e, 则称∫关于D在点B连续。 函数(x)有定义的孤立点必为连续点， 例1 fm=F*,+2*0, xy 1+m,产+少2=0. m 证明函数f(x)在点(0,0)沿方向y=mr连续 fx功=0<<，-w<x<tm 例2 0,其他
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 1 §3 二元函数的连续性 教学目的 掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有 界闭域上的整体性质． 教学要求 (1) 基本要求：掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的 性质． (2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点． 教学建议 (1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学 中可通过复习一元连续函数的定理引出． （2） 对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习 题． 教学程序 一、二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 . （一）、连续的定义: 定义. 设 f 为定义在 2 D R 上的二元函数， P D 0 （为 D 的一个聚点或孤 立点），若任给正数 ， 总存在 ， 使得当 ( ) 0 0 P U P D ; 时， 都有 f P f P ( ) − ( 0 ) , 则称 f 关于 D 在点 P0 连续。 函数 f (x, y) 有定义的孤立点必为连续点 . 例 1 + = + + + = , 0. 1 , 0 , ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y m m x y x y x y f x y 证明函数 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 沿方向 y = mx 连续 . 例 2 − + = 0 , . 1, 0 , , ( , ) 2 其他 y x x f x y
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 证明函数fx)在点(0,0)沿任何方向都连续，但并不全面连续 函数的增量：全增量、偏增量，用增量定义连续性， 函数在区域上的连续性. (二)、连续函数性质： (1)若f在点a连续，并且f(a)>0,则存在a的领域O,(a),当x∈O,(a) 时有f(x)>0: (2)两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数： (3)(符合函数的连续性)：设D是R2中的开集，(x,%)ED。函数 :D→R,(x,)→Z在点(xo,%)∈D连续。又设x=x(),y=y),x和y 的值域在D内，并且当1=，时x)=x,心o)=,而xy却在1连续。则复 合函数在连续。 (4)(零点存在定理)：设D是R"中的一个区域，P。和P是D内任意两点， ∫是D内的连续函数，如果f(B)>0,fP)<0,则在D内任何一条连结P,P 的折线上，至少存在一点P,使f(P,)=0。 (三)、紧集上连续函数的性质 无似于闭区间上连续函数的性质，紧集（有界闭集）上的连续函数也具 有类似性质： (1)(有界性)紧集上的连续函数是有界的： (②)（最大（小）值)紧集上的连续函数必有最大值和最小值： (3)(Cautor定理)紧集上的连续函数必一致连续。 例求函数：=g(x2+y2)的不连续点。（讨论函数的连续性） 二元初等函数，二元初等函数的连续性 一致连续性：定义 二.有界闭区域上连续函数的性质： (一)、有界性与最值性。（证） (二)、一致连续性 （证) (三)、介值性与零点定理.（证)
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 2 证明函数 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 沿任何方向都连续 , 但并不全面连续. 函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 . 函数在区域上的连续性 . （二）、连续函数性质： （1）若 f 在点 a 连续，并且 f (a) 0 ，则存在 a 的领域 O (a) ，当 x O (a) 时有 f (x) 0 ； （2） 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数； （3）（符合函数的连续性）：设 D 是 2 R 中的开集， (x0 , y0 ) D 。函数 f : D → R ， (x, y) → Z 在点 (x0 , y0 ) D 连续。又设 x = x(t), y = y(t)，x 和 y 的值域在 D 内，并且当 0 t = t 时 0 0 0 0 x(t ) = x , y(t ) = y ，而 x, y 却在 0 t 连续。则复 合函数在连续。 （４）（零点存在定理）：设 D 是 n R 中的一个区域， P0 和 P1 是 D 内任意两点， f 是 D 内的连续函数，如果 f (P0 ) 0 ， f (P1 ) 0 ，则在 D 内任何一条连结 0 1 P , P 的折线上，至少存在一点 Ps ，使 f (Ps ) = 0。 （三）、紧集上连续函数的性质 无似于闭区间上连续函数的性质，紧集（有界闭集）上的连续函数也具 有类似性质： (1)（有界性）紧集上的连续函数是有界的； (2)（最大（小）值）紧集上的连续函数必有最大值和最小值； (3)（Cautor 定理）紧集上的连续函数必一致连续。 例 求函数 ( ) 2 2 z = tg x + y 的不连续点。（讨论函数的连续性） 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. 一致连续性: 定义. 二．有界闭区域上连续函数的性质: （一）、有界性与最值性. ( 证 ) （二）、一致连续性. ( 证 ) （三）、介值性与零点定理. ( 证 )
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 作业教材104页：1一5
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 3 作业 教材 104 页:1—5