《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 §2正项级数 教学目标：掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法 和积分判别法. 教学内容：比较判别法：比式判别法：根式判别法：积分判别法. (①)基本要求：掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法。 (2)较高要求：介绍拉贝判别法 教学建议： (1)要求学生必须理解和掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法，要布置足量的习题。 (2)对较好学生可要求掌握拉贝判别法，可挑选适量的习题。 (3)由于这方面内容与反常积分的部分内容有类似之处，可向学生作比较与总结 教学过程： 一、正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成 的级数一一正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 定理12.2.1正项级数∑“n收敛一部分和数列S}有界。 证明：由于对m,”,>0,故S}是递增的，因此，有 ∑“，收敛台5.收敛台5，}有界。 定理12-2-2（比较原则）设∑“，和∑，均为正项级数，如果存在某个正数N,使得对 n>N都有 wn≤vn 则（①）若级数，收敛，则级数∑，也收敛： (2)若级数∑4，发散，则级数∑也发散
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 1 §2 正 项 级 数 教学目标：掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法 和积分判别法． 教学内容：比较判别法；比式判别法；根式判别法；积分判别法． (1) 基本要求：掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． (2) 较高要求：介绍拉贝判别法． 教学建议： (1) 要求学生必须理解和掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法，要布置足量的习题． (2) 对较好学生可要求掌握拉贝判别法，可挑选适量的习题． （3）由于这方面内容与反常积分的部分内容有类似之处，可向学生作比较与总结． 教学过程： 一、 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成 的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 定理 12.2.1 正项级数 n=1 n u 收敛 部分和数列 Sn 有界。 证明：由于对 n，un 0 ，故 Sn 是递增的，因此，有 n=1 n u 收敛 Sn 收敛 Sn 有界。 定理 12-2-2（比较原则） 设 n=1 n u 和 n=1 n v 均为正项级数，如果存在某个正数 N，使得对 n N 都有 n n u v ， 则 （1）若级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 n u 也收敛； （2）若级数 n=1 n u 发散，则级数 n=1 n v 也发散
《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系】 证明：由定义及定理12-2-1即可得。 例1、考察交的收数性， 解：由于当n≥2时，有 1 1 1 -m+i5w-nn-D5 (-D' 因正经数空收数，微空n收敛， 推论（比较判别法的极限形式）设。立“，和云，是两个正项级数。者 是= 则(1)当0N。,有”≤q,则级数∑.收敛：
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 2 证明：由定义及定理 12-2-1 即可得。 例 1、考察 =1 − + 2 1 1 n n n 的收敛性。 解：由于当 n 2 时，有 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 1 − − = − n − n + n n n n n ， 因正项级数 =2 − 2 ( 1) 1 n n 收敛，故 =1 − + 2 1 1 n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设 n=1 n u 和 n=1 n v 是两个正项级数，若 l v u n n n = → lim ， 则 （1） 当 0 l + 时，级数 n=1 n u 、 n=1 n v 同时收敛或同时发散； （2）当 l = 0 且级数 n=1 n v 收敛时，级数 n=1 n u 也收敛； （3）当 l = + 且 n=1 n v 发散时，级数 n=1 n u 也发散。 证明：由比较原则即可得。 例 2、讨论级数 − n n 2 1 的收敛性。 解：利用级数 n 2 1 的收敛性，由推论可知级数 − n n 2 1 收敛。 例 3、 由级数 n 1 的发散性，可知级数 n 1 sin 是发散的。 二、 比式判别法和根式判别法 定理 12.2.3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设 un 为正项级数，且存在某个正 整数 N0 及常数 q (0,1) ： （1）若对 n N0 ，有 q u u n n +1 ，则级数 un 收敛 ；
《数学分析》教案 第十二章数项缓数 海南大学数学系 (2)若对n>N,有“≥1，则级数∑4，发散。 证明：(1)不妨设对一切n,有”≤q成立，于是，有 u。 故费益一之≤9即5g由于当ge0时缓数 之g产收敛。由此较原则。可知级数∑，收敛。 (2)因此时m“,≠0，故级数∑4，发散 推论（比式判别法的极限形式）设∑4，为正项级数，且 2=g 则(1)当g1(可为+o)时，级数∑un发散 (3)当g=1时，级数∑4，可能收敛，也可能发散。如：∑，∑ 证明：由比式判别法和极限定义即可得。 例4、讨论级数 得8.8- 的收敛性。 例5、讨论级数∑-(x>0)的收敛性。 定理12.2.4（柯西判别法，或称根式判别法）设∑4.为正项级数，且存在某个正整 数N。及正常数1， (1)若对n>N。,有4。s1N。,有un≥1，则级数∑4n发散
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 3 （2）若对 n N0 ，有 1 1 + n n u u ，则级数 un 发散。 证明：（1）不妨设对一切 n ，有 q u u n n +1 成立，于是，有 q u u 1 2 ， , 2 3 q u u ， , 1 q u u n n − 。 故 1 2 1 3 1 2 − − n n n q u u u u u u ， 即 1 1 − n un u q ，由于，当 q (0,1) 时，级数 = − 1 1 n n q 收敛，由比较原则，可知级数 un 收敛。 （2）因此时 lim 0 → n n u ，故级数 un 发散。 推论（比式判别法的极限形式） 设 un 为正项级数，且 q u u n n n = + → 1 lim ， 则（1）当 q 1 时，级数 un 收敛； （2）当 q 1 （可为 + ）时，级数 un 发散； （3）当 q = 1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如： n 1 ， 2 1 n 。 证明：由比式判别法和极限定义即可得。 例 4、讨论级数 + + − + − + + + + 1 5 9 [1 4( 1)] 2 5 8 [2 3( 1)] 1 5 9 2 5 8 1 5 2 5 1 2 n n 的收敛性。 例 5、 讨论级数 ( 0) 1 − nx x n 的收敛性。 定理 12.2.4（柯西判别法，或称根式判别法） 设 un 为正项级数，且存在某个正整 数 N0 及正常数 l， （1）若对 n N0 ，有 n un l 1， 则级数 un 收敛； （2）若对 n N0 ，有 n un 1， 则级数 un 发散
《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 证明：由比较判别法即可得。 推论（根式判别法的极限形式）设∑4，为正项级数，且 ma。=1, 则(1)当11（可为+0）时，级数∑un发散： (3)当g=1时，级数∑4，可能收敛，也可能发散。如：∑号，∑ 例6、讨论级数∑2+仁少的敛散性。 解：由上推论即得。 说明：因中=9户中版=g这就设明凡能用比式别法刻定收敛性的级数。也 能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。 三、积分判别法 特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正 项级数的敛散性。 定理12-9设f(x)为[1，+o)上非负减函数，则正项级数∑f()与反常积分广f(x)k同 时收敛或同时发散。 证明：由假设fx)为[1，+∞)上非负减函数，则对任何正数A,fx)在[1，A]上可积，从而 有f(m)≤f(x)≤fn-l),n=2,3. 依次相加，得 m≤fxdt≤2fm-)=fm) 2 若反常积分收敛，则对m,有 S.-f(m)sf)+f(xdssf()+["f(x)ds. 于是，知级数∑fm)收敛 反之，若级数∑fm)收敛，则对任意正整数m心)，有
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 4 证明：由比较判别法即可得。 推论（根式判别法的极限形式） 设 un 为正项级数，且 u l n n n = → lim ， 则 （1）当 l 1 时，级数 un 收敛； （2）当 l 1 （可为 + ）时，级数 un 发散； （3）当 q = 1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如： n 1 ， 2 1 n 。 例 6、 讨论级数 + − n n 2 2 ( 1) 的敛散性。 解：由上推论即得。 说明：因 + = → q u u n n n 1 lim n un q n = → lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也 能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例 6。 三、 积分判别法 特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正 项级数的敛散性。 定理 12-9 设 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，则正项级数 f (n) 与反常积分 + 1 f (x)dx 同 时收敛或同时发散。 证明：由假设 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，则对任何正数 A， f (x) 在[1，A]上可积，从而 有 − − n n f n f x dx f n 1 ( ) ( ) ( 1) ，n = 2,3, 依次相加，得 − = = = − = 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( 1) ( ) m n m m n m n f n f x dx f n f n 若反常积分收敛，则对 m ，有 + = = + + 1 1 1 S f (n) f (1) f (x)dx f (1) f (x)dx m m n m 。 于是，知 级数 f (n) 收敛。 反之，若级数 f (n) 收敛，则对任意正整数 m( 1) ，有
《数学分析》教案 第十二章数项缓数 海南大学数学系 f≤S-2fms∑/m=s. 又因fx)为[1，+o)上非负减函数，故对任何A>1,有 0sfx)k≤Sn<S,nsAsn+l。 故知，反常积分fx)收敛： 同理可证它们同时发散。 例7、讨论下列级数 站@ n(n nX(in In n) 的敛散性。 作业：P16:1,2,3,4,5,6,7,8,9
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 5 = = − = f x dx S − f n f n S m n m m ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 。 又因 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，故对任何 A 1 ，有 f x dx Sn S A 1 0 ( ) , n A n +1。 故知，反常积分 + 1 f (x)dx 收敛。 同理可证它们同时发散。 例 7、讨论下列级数 （1） =1 1 n p n ，（2） =2 (ln ) 1 n p n n ， （3） =3 (ln )(ln ln ) 1 n p n n n 的敛散性。 作业： P16：1，2，3，4，5，6，7，8，9．