《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 §4泰勒公式与极值问题 教学目的掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值 的必要条件与充分条件. 教学要求 (1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极 值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大（小）值. (②)掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必 要条件充分条件定理的证明. 教学建议 (1)布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习 题. (②)讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度， 只对较好学生布置有关习题. 教学程序 一、中值定理： 定理设二元函数∫在凸区域DcR2上连续，在D的所有内点处可微，则 对D内任意两点P(a,b),Qa+h,b+k)∈mtD,存在0(0<0<1)，使 f(a+h,b+k)-f(a,b)=f(a+0h,b+)h+f(a+h,b+)k. 证：令Φ()=f(a+h,b+k),然后利用一元函数的中值定理. 推论若函数∫在区域D上存在偏导数，且了，=∫，=0，则∫是D上的常 值函数. 二、Taylor公式： 定理(Taylor公式)若函数f在点B(xo,)的某邻域U(B)内有直到 n+1阶连续偏导数，则对U(P)内任一点(xo+h,6+k),存在相应的 0∈(0,1)，使
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 1 §4 泰勒公式与极值问题 教学目的 掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值 的必要条件与充分条件． 教学要求 (1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极 值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值． (2)掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必 要条件充分条件定理的证明． 教学建议 (1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习 题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度， 只对较好学生布置有关习题． 教学程序 一、中值定理： 定理 设二元函数 f 在凸区域D 2 R 上连续 , 在D 的所有内点处可微 . 则 对 D 内任意两点 P(a,b), Q(a + h , b + k) int D , 存在 ( 0 1) , 使 f a h b k f a b f a h b k h f a h b k k x ( + , + ) − ( , ) = ( + , + ) + ( + , + ) . 证: 令 = + + ( ) ( , ) , t f a th b tk 然后利用一元函数的中值定理. 推论 若函数 f 在区域 D 上存在偏导数 , 且 x f y f 0 , 则 f 是 D 上的常 值函数. 二、 Taylor 公式: 定理 (Taylor 公式) 若函数 f 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域 ( ) P0 内有直到 n +1 阶连续偏导数 , 则对 ( ) P0 内任一点 ( , ) 0 0 x + h y + k ,存在相应的 (0 ,1) , 使
《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 f(x。+h,yo+k) 会4别"层a剧 证略 例1求函数f(x,y)=x'在点(1,4)的7 aylor公式（到二阶为止）·并 用它计算(1.08)36 三、极值问题： (一)、极值的定义：注意只在内点定义极值， (二)、极值的必要条件：与一元函数比较. 定理设P,为函数∫P)的极值点·则当f,(P)和存在时，有 f(B)=f(P)=0. （证) 函数的驻点、不可导点，函数的可疑点， (三)、极值的充分条件： 代数准备：给出二元（实）二次型g(x,)=a2+2bxy+gy2.其矩阵为 (a b b c 1g(x,)是正定的，台顺序主子式全>0， g(x,)是半正定的，一顺序主子式全≥0： 2g(x,)是负定的，一(-1)1a,1>0,其中|a,为k阶顺序主子式 g(x)是半负定的，台(-1)1a,20. 3侣80时，感是不定的 充分条件的讨论设函数f(x,y)在点P(x。,八)某邻域有二阶连续偏导数 由Taylor公式，有 ++-xw-(会++会+)+o 2
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 2 = + + + + + + + + + = n i i n f x h y k y k x h n f x y y k x h i f x h y k 0 0 0 1 0 0 0 0 ( , ). ( 1)! 1 ( , ) ! 1 ( , ) 证 略 例 1 求函数 y f (x, y) = x 在点 (1, 4 ) 的 Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并 用它计算 (1.08 ) . 3.96 三、 极值问题: （一）、极值的定义: 注意只在内点定义极值. （二）、极值的必要条件：与一元函数比较 . 定理 设 P0 为函数 f (P) 的极值点 . 则当 ( ) P0 f x 和存在时 , 有 ( ) P0 f x = ( ) P0 f y = 0 . ( 证 ) 函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 . （三）、极值的充分条件: 代数准备: 给出二元( 实 )二次型 2 2 g(x, y) = ax + 2bxy + cy . 其矩阵为 b c a b . 1 g(x, y) 是正定的, 顺序主子式全 0 , g(x, y) 是半正定的, 顺序主子式全 0 ; 2 g(x, y) 是负定的, (−1) | | 1 0 k ij k a , 其中 k aij 1 | | 为 k 阶顺序主子式. g(x, y) 是半负定的, (−1) | | 1 0 k ij k a . 3 b c a b < 0 时, g(x, y) 是不定的. 充分条件的讨论 设函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 某邻域有二阶连续偏导数 . 由 Taylor 公式 , 有 ( ) ( ) 2! 1 ( , ) ( , ) ( ) 2 0 2 0 0 0 0 0 + + + + + + − = f P y k x f P h y k x f x h y k f x y h
《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 =f(B)+()k+(+2(+(]p) 令A=(B),B=了n(B),C=了(B),则当P为驻点时，有 f,+h,%+k)-f,)=+2Bk+C+(p.其中p=F+。 可见式fx。+h,+)-fx0,)的符号由二次型Ah+2所k+CK2完全决 定 称该二次型的矩阵为函数f(x,y)的esse矩阵.于是由上述代数准备，有 1A>0,AC-B2>0,→P为（严格)极小值点： 2A0,→P为（严格)极大值点； 3AC-B20,.∫n-fP)>0时，P为极小值点； 2f(B)0时，P为极大值点： 3fm-fB)<0时，P不是极值点： 4.f,-fP)=0时，P可能是极值点，也可能不是极值点， 四、函数的最值： 例8求函数 f(x,y)=x2+4xy-2y2-10x+4y 在域D={(x,)川x≥0，y≥0，x+y≤4}上的最值. 解令 [f(x,y)=2x+4y-10=0, f,(x,y)=4x-4y+4=0. 解得驻点为(1,2).f(1,2)=-1 在边界x=0(0≤y≤4)上，f0,)=-2y2+4y,驻点为y=1, 3
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 3 = ( ) P0 f x h + ( ) P0 f y k + ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2! 1 2 2 0 0 2 f xx P0 h + f xy P hk + f yy P k + . 令 ( ) P0 A f = xx , ( ) P0 B f = xy , ( ) P0 C f = yy , 则当 P0 为驻点时, 有 2 ( ) 2 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 f x0 + h y0 + k − f x0 y0 = Ah + Bhk + Ck + . 其中 2 2 = h + k . 可见式 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k − f x y 的符号由二次型 2 2 Ah + 2Bhk + Ck 完全决 定. 称该二次型的矩阵为函数 f (x, y) 的 Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有 1 0 , 0 2 A AC − B , 0 P 为 ( 严格 ) 极小值点 ; 2 0 , 0 2 A AC − B , 0 P 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 3 0 2 AC − B 时, P0 不是极值点; 4 0 2 AC − B = 时, P0 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上 , 有以下定理 : 定理 设函数 f (P) 在点 P0 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , P0 是驻点 . 则 1 ( ) 0, ( )( 0 ) 0 2 f xx P0 f xx f yy − f xy P 时 , P0 为极小值点; 2 ( ) 0, ( )( 0 ) 0 2 f xx P0 f xx f yy − f xy P 时 , P0 为极大值点; 3 ( )( 0 ) 0 2 f xx f yy − f xy P 时 , P0 不是极值点; 4 ( )( 0 ) 0 2 f xx f yy − f xy P = 时 , P0 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 四、 函数的最值： 例 8 求函数 f (x, y) x 4xy 2y 10x 4y 2 2 = + − − + 在域 D = { (x, y) | x 0 , y 0 , x + y 4 } 上的最值 . 解 令 = − + = = + − = ( , ) 4 4 4 0. ( , ) 2 4 10 0, f x y x y f x y x y y x 解得驻点为 (1, 2 ) . f (1, 2 ) = −1. 在边界 x = 0 ( 0 y 4 ) 上 , f (0, y) 2y 4y 2 = − + , 驻点为 y = 1
《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 f0,)=2: 在边界y=0(0≤x≤4)上，f(x,0)=x2-10x,没有驻点 在边界y=4-x(0≤x≤4)上，fx,4-x)=-5x2+18x-16, 驻点为x=1.8,f0.8,4-1.8)=0.2. 又f0,0)=0,f0,4)=-16,f4.0)=-24. 于是，mx x.川=mf0,2),f0,f0.8,22),f0.0),f0,4).f4,0}= =max{-1,2,0.2,0,-16,-24}=0.2 mmfx,)=mmf-1,2,0.2,0,-16,-24}=-24 作业教材P140-141:1-11
《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 4 f (0,1) = 2 ; 在边界 y = 0 ( 0 x 4 ) 上 , f (x,0) x 10x 2 = − , 没有驻点; 在边界 y = 4 − x ( 0 x 4 ) 上 , ( , 4 ) 5 18 16 2 f x − x = − x + x − , 驻点为 x =1.8, f (1.8 , 4 −1.8) = 0.2 . 又 f (0,0) = 0 , f (0,4) = −16 , f (4,0) = −24 . 于是 , max f (x, y) = max{ f (1,2), f (0,1), f (1.8 , 2.2), f (0,0), f (0,4), f (4,0)} = D = max{ −1, 2 , 0.2 , 0 , −16 , − 24} = 0.2 . min f (x, y) D = min{ −1, 2 , 0.2 , 0 , −16 , − 24} = −24 . 作业 教材 P140-141:1-11