《数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 §3收敛定理的证明 敦学目的了解收敛定理的证明 教学要求 ()掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理：了解收敛定理的证明要点. (2)理解收敛定理的证明. 教学建议 (①)要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的 证明要点 (②)对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题. 教学程序 一、预备定理及收敛定理的证明 Dii定理-收敛定理设以2π为周期的函数∫在区间[-π，π]上按段光滑， 则在每一点xe[-π，π]，∫的Fourier级数收敛于∫在点x的左、右极限的算 术平均值，即 +0/-0-号+0+6m, 2 其中an和bn为f的Fourier系数. 正明思路设国~受+20，o+点sm应对每个x-,小.我 们要证明S.()→+0)+x-0 2 即证明 =(+0:-0-3-0 2 方法是把该极限表达式化为积分，利用Riemann-—一Lebesgue定理证明相应 积分的极限为零 施证方案 1.写出S,()=?+立a,c0s:+6sm:的简缩形式.称这一简缩形式为 2台 S,(x)的积分形式，或称为Dirichlet积分，即 利用该表示式，式fx+0)+x-0-S,.们可化为 2
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 1 §3 收敛定理的证明 教学目的了解收敛定理的证明． 教学要求 (1)掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2)理解收敛定理的证明． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的 证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． 教学程序 一、 预备定理及收敛定理的证明 Dini定理-收敛定理 设以 2 为周期的函数 f 在区间 [ − , ] 上按段光滑, 则在每一点 x[ − , ] , f 的 Fourier 级数收敛于 f 在点 x 的左、右极限的算 术平均值, 即 a nx b nx f x f x a n n n cos sin 2 2 ( 0) ( 0) 1 0 = + + + + − = , 其中 n a 和 n b 为 f 的 Fourier 系数. 证明思路 设 f (x) ～ = + + 1 0 cos sin . 2 n an nx bn nx a 对每个 x[ − , ] , 我 们要证明 Sn (x) → 2 f (x + 0) + f (x − 0) . 即证明 0 2 ( 0) ( 0) lim = − + + − → n n S f x f x 方法是把该极限表达式化为积分, 利用 Riemann—Lebesgue 定理证明相应 积分的极限为零. 施证方案 1．写出 S (x) n = = + + n k k k a kx b kx a 1 0 cos sin 2 的简缩形式. 称这一简缩形式为 S (x) n 的积分形式, 或称为 Dirichlet 积分, 即 − + = + dt t t n S x f x t n 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 ( ) . 利用该表示式, 式 2 f (x + 0) + f (x − 0) S (x) − n 可化为
《数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 +0+f-0-S=fx+0)+/-0-rfx+ 2sm -dt 2n+, -1±0-u+02 2n+, 2 d, 2 2sin +0-上+w2 于是把问题归结为证明 2 0-+0 h]=0, m2n+, 和=l-+ 2 2 2如0. 这两式的证明是相同的，只证第一 2.为证上述第一式，先利用三角公式 +csp+cos20++eosnp- 2m号 建立所谓Dirich1et积分sm,1 2 d山=1，利用该式把f+0表示为 2 积分，即把九”表示为i积分 sin 2n+1 0=u+02 2 dt. 2 2sin! 于是又把上述1中所指的第一式左端化为 sin n+1 sin 2n+1 回9n子1=▣+0-+0 2 di 2sn 2月 3.利用所谓R1 emann-一Lebesgue定理证明上述极限为零.为此，先证明 Bessel不等式（课本预备定理1），再建立Riemanr一Lebsge定理，然后把 以上最后的式子化为 2
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 2 2 f (x + 0) + f (x − 0) S (x) − n = 2 f (x + 0) + f (x − 0) − + − + dt t t n f x t 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 = = 2 f (x + 0) + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 dt t t n f x t + 2 f (x − 0) − + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 dt t t n f x t , 于是把问题归结为证明 n→ lim 2 f (x + 0) + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 dt t t n f x t = 0 , 和 n→ lim 2 f (x − 0) − + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 dt t t n f x t = 0 . 这两式的证明是相同的, 只证第一式. 2．为证上述第一式, 先利用三角公式 2 2sin 2 2 1 sin cos cos 2 cos 2 1 + + + + + = n n 建立所谓 Dirichlet 积分 = + 0 1 2 sin 2 2 1 sin 1 dt t t n , 利用该式把 2 f (x + 0) 表示为 积分,即把 2 f (x + 0) 表示为 Dirichlet 积分 2 f (x + 0) = + + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( 0) 1 dt t t n f x . 于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为 n→ lim 2 f (x + 0) + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 dt t t n f x t ] → = n lim + + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( 0) ( ) 1 dt t t n f x f x t . 3．利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明 Bessel 不等式(课本预备定理 1 ), 再建立 Riemann — Lebesgue 定理, 然后把 以上最后的式子化为
《数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 m2Lfx+0-c+0"2 2sn 4.把上式化为应用Riemann一Lebesgue定理的形式，即令 p0=-r+0-f+0] 1∈(0，π] 【 sin m2n+, 则=+0-+o三=ma+ 为使最后这一极限等于零，由Riemann一Lebesgue定理，只要函数p()在 区间[0，π]上可积.因此希望(0+0)存在.由函数∫在区间[-π，π]上按段光 滑，可以验证(0+0)存在 预备定理及其推论为实施以上证明方案，我们先建立以下预备定理和其 推论 预备定理1(Bessel不等式)若函数f在区间[-π，π]上可积，则有 Bessel不等式 受+2a+)fre恤， 其中an和b,为函数f的Fourier系数 推论1（Riemann-一Lebesgue定理)若函数f在区间[-π，π】上可积， 则有 im(x)cosmd0 imfx)sinx=0· 推论2若函数∫在区间[-π，π]上可积，则有 ()sn(n+)d=0. m「fx)sin+与xk=0. 预备定理2若f(x)是以2π为周期的周期函数，且在区间[-π，π]上可积， 3
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 3 n→ lim + + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( 0) ( ) 1 dt t t n f x f x t . ４．把上式化为应用 Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令 , (0 , ] 2 sin ( ) ( 0) 2 ( ) + − + = − t t t t f x t f x t , 则 n→ lim + + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( 0) ( ) 1 dt t t n f x f x t = + → 0 0 2 1 ( )sin 1 lim t n tdt n . 为使最后这一极限等于零, 由 Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数 (t) 在 区间 [ 0 , ] 上可积. 因此希望 (0 + 0) 存在. 由函数 f 在区间 [ − , ] 上按段光 滑, 可以验证 (0 + 0) 存在. 预备定理及其推论 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其 推论. 预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 f 在区间 [ − , ] 上可积, 则有 Bessel 不等式 = − + + 1 2 2 2 2 0 ( ) 1 ( ) 2 n an bn f x dx a , 其中 n a 和 n b 为函数 f 的 Fourier 系数 推论 1 ( Riemann— Lebesgue 定理 ) 若函数 f 在区间 [ − , ] 上可积, 则有 → − = lim f (x) cos nxdx 0 n , → − = lim f (x)sin nxdx 0 n . 推论 2 若函数 f 在区间 [ − , ] 上可积, 则有 + = → 0 ) 0 2 1 lim f (x)sin( n xdx n , → − + = 0 ) 0 2 1 lim ( )sin( f x n xdx n . 预备定理 2 若 f (x) 是以 2 为周期的周期函数, 且在区间 [ − , ] 上可积
(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 则函数f(x)的Fourier级数部分和S.(x)有积分表示式 S.()-+ -dt 2sm 当t=0时，被积函数中的不定式由极限 simn+与r 来确定. 2 sn? -di=1. 证明：由三角公式 +cs++= 2 2 2 Dini收敛定理定理的证明：。 二、逐项积分定理 (一)定理设周期为2π的函数f(x)局部绝对可积且在[-π，π]上 f)-受+2(a,osm+6sinm) 则名收敛，且逐项积分公式成立： (d(a.cosm+b.sinntydi. 注：(1)以上是默认在[一π，上讨论的，一般的逐项积分公式为 (di=(a cosmt+b.sinmydi
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 4 则函数 f (x) 的 Fourier 级数部分和 S (x) n 有积分表示式 − + = + dt t t n S x f x t n 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 ( ) . 当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限 2 1 2 2sin ) 2 1 sin( lim 0 = + + → n t n t t 来确定. Dirichlet 积分: = + 0 1 2 sin 2 2 1 sin 1 dt t t n . 证明：由三角公式 2 2sin 2 2 1 sin cos cos 2 cos 2 1 + + + + + = n n , = + 0 2 sin 2 2 1 sin 1 dt t t n = ( − − = + 1 2 2sin 2 2 1 sin 1 dt t t n cos cos 2 cos n 2 1 + + ++ )dt = 1. Dini 收敛定理定理的证明: 。 . 二、 逐项积分定理 （一） 定理 设周期为 2 的函数 f x( ) 局部绝对可积且在 [ , ] − 上 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx = + + ， 则 1 n n b n = 收敛, 且逐项积分公式成立： 0 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 x x x n n n a f t dt dt a nt b nt dt = = + + . 注: （1）以上是默认在 [ , ] − 上讨论的,一般的逐项积分公式为： 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 x x x n n c c c n a f t dt dt a nt b nt dt = = + +
《数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 其中c,x是[-π，]上任意两点： (2)逐项积分定理中，并没有要求f(x)的Fourier级数是收敛的，但逐项 积分后所得的级数总是收敛的：(3)并非每个三角技术都能成为局部绝对可积 函数的Fourier级数. 树-会细 (二)逐项积分定理的应用求(x)在O,2π]上的Fourier展开并证明 二、Fourier级数的逐项求导问题 假定f(x)在[0,2π]上连续可微，且 f(x)(d.cosm+b.sinm). 0≤x≤2π， 问是否成立下式： fx)-(%)'+∑(d cosnx+b.sinx',0≤x≤2π. 这就是Fourier级数的逐项求导问题 作业教材P83:1,2,3,4,5
《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 5 其中 c x, 是 [ , ] − 上任意两点; (2 ) 逐项积分定理中,并没有要求 f x( ) 的 Fourier 级数是收敛的, 但逐项 积分后所得的级数总是收敛的; (3 ) 并非每个三角技术都能成为局部绝对可积 函数的 Fourier 级数. 例 2 sin ( ) n ln nx s x x = = . （ 二）逐 项积分 定理的 应用 求 f x( ) 在 [0, 2 ] 上的 Fourier 展开并 证明 2 2 1 1 n n 6 = = . 二、 Fourier 级数的逐项求导问题 假定 f x( ) 在 [0, 2 ] 上连续可微, 且 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx = + + , 0 2 x , 问是否成立下式: 0 1 '( ) ~ ( )' ( cos sin )' 2 n n n a f x a nx b nx = + + , 0 2 x . 这就是 Fourier 级数的逐项求导问题. 作业 教材 P83:1,2,3,4,5