海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十八章 隐函数定值及其应用 18.1 隐函数

《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 第十八章 隐函数定值及其应用 §1隐函数 教学目的掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法， 教学要求 ()掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导 法. (2)掌握隐函数定理的证明。 教学建议 (1)本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法.要求学生必须熟记隐函 数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点 (②)本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求. 教学程序 一、隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法。 (一)、隐函数及其几何意义：以F(x,y)=0为例作介绍. (二)、隐函数的两个问题：1隐函数的存在性：2隐函数的解析性质. 二、隐函数存在条件的直观意义： 三、隐函数定理： 定理：（隐函数存在唯一性定理）若满足下列条件： 1函数F(x)在以P,(x,y)为内点的某一区域DcR2上连续： 2F(x,%)=0:（通常称这一条件为初始条件) 3在D内存在连续的偏导数F,(x,y): 4F,(x0y)≠0 则在点P,的某邻域U(P,)cD内，方程F(x,)=0唯一地确定一个定义在某区 间 (x0-a,x。+a)内的隐函数y=fx),使得 1f(x)=%,x∈(x。-a,x。+a)时(，fx)eU(P)且

《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 1 第十八章 隐函数定值及其应用 §1 隐函数 教学目的 掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法． 教学要求 (1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导 法． (2)掌握隐函数定理的证明． 教学建议 (1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函 数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点． (2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求． 教学程序 一、 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. （一）、隐函数及其几何意义: 以 F(x, y) = 0 为例作介绍. （二）、隐函数的两个问题: 1 隐函数的存在性； 2 隐函数的解析性质. 二、 隐函数存在条件的直观意义: 三、 隐函数定理: 定理: ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: 1 函数 F(x, y) 在以 ( , ) 0 0 0 P x y 为内点的某一区域 D 2  R 上连续 ; 2 ( , ) 0 0 F x y = 0 ; ( 通常称这一条件为初始条件 ) 3 在 D 内存在连续的偏导数 F (x, y) y ; 4 ( , ) 0 0 F x y y = 0. 则在点 P0 的某邻域  ( P0 )  D 内 , 方程 F(x, y) = 0 唯一地确定一个定义在某区 间 ( , ) x0 − x0 + 内的隐函数 y = f (x) , 使得 1 ( ) 0 0 f x = y , x( , ) x0 − x0 + 时 (x , f (x)) ( P0 )且

《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 F(x,f(x)=0. 2函数fx)在区间(x。-a,x。+a)内连续 例1设x2=w,y2=w,z2=m及f(x,y,)=F(u,yw),证明 对+f,+f=uF+vF+wF [x2=vw [x=x(u.v.w) 证方程组y2=w确定了函数组 y=山，yw),先求这个函数组对各 2=m =z(u,w) 变元的偏导数，为此，对方程组求微分得 [2xdx=wdy +vdw =h+2咖 B=+咖，即=号血+号 2d vdu+udy 0" du ov ow 2x2x 0 u ov aw（2:2 0 将函数组代入方程f(x,y,)=F(,w),得关于变元山，w的方程 f(x(u,v,w)vu,v,w)=(u,v.w))=F(u.v,w), 在这方程两边分别对“，”，w求偏导，得 ++宗 将上面三式分别乘以“，w后再相加，得 5%+1+2要+2+器+罗

《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 2 F(x , f (x))  0 . 2 函数 f (x) 在区间 ( , ) x0 − x0 + 内连续 . 例 1 设 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 及 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，证明 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 证 方程组      = = = z uv y uw x vw 2 2 2 确定了函数组      = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ，先求这个函数组对各 变元的偏导数，为此，对方程组求微分得      = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即          = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故                                     w z v z u z w y v y u y w x v x u x                   = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，得关于变元 u, v,w 的方程 f (x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) = F(u,v,w) ， 在这方程两边分别对 u, v,w 求偏导，得 x y z Fu u z f u y f u x f =   +   +   , x y z Fv v z f v y f v x f =   +   +   , x y z Fw w z f w y f w x f =   +   +   , 将上面三式分别乘以 u, v,w 后再相加，得 + + z uv f y uw f y z 2 2 z uv f x vw f x z 2 2 + y uw f x vw f x y 2 2 + +

《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 =uF +vF+wF 将x2=w,y2=w,2=m代入即得 xf+f,+f:=F。+E+wF 例2若：=x,)有连续二阶偏导数，满足方程：： 三，证明： =( 若把：=(x,y)中y看成x,:的函数，则它满足同样形状的方程 证由：=fx,y)确定y是x,:的函数，则有：=fx,(x,),方程两边分别 对x,:求偏导，得 0=Y+ (1) dx dy dx 1s⊙ (2) ()式再分别对x,:求偏导，得 0器器 (3) 0=0⊙+0+a (4) ary证2xzyx (2)式再对：求偏导，得 (5) dy d 由(3)(5)式 票0+碧器+兴1 3

《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 3 u v wFw = uF + vF + . 将 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 代入即得 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + . 例 2 若 z = f (x, y) 有连续二阶偏导数，满足方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，证明： 若 把 z = f (x, y) 中 y 看 成 x,z 的 函 数 ， 则 它 满 足 同 样 形 状 的 方 程 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     . 证 由 z = f (x, y) 确定 y 是 x,z 的函数，则有 z = f (x, y(x,z)) ，方程两边分别 对 x,z 求偏导，得 x y y f x f     +   0 = , （1） z y y f     1 = , （2） (1)式再分别对 x,z 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) x y y f x y y f x y x y f x f     +     +      +   = , (3) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       +      = 2 2 2 2 0 , （4） (2)式再对 z 求偏导，得 2 2 2 2 2 0 ( ) z y y f z y y f     +     = , （5） 由（3）（5）式 2 2 2 2 2 ( ) z y y f x f       [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y y f x y x y f z y y f     +     +          = ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          +       =

《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 -票警亲+1仙动 evoy oleveoloy0l dx2 d22 oy'dy2 dx dz dxdy d oy2 dx de 由(4)式 学整等 停+含等器 y2axa正yara 停+2整+盖 因为票等-则 -8是+ 结合(4)式得 警-停+是·影染等 - 即 u=f(x,y,） 例3设8000，问什么条件下是x)的函数阿？求密容 h(e,)=0 解当g,h对各变元有连续的偏导数，且g,+0时，方程组80)=0 d(=,t) h(e,)=0 4

《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 4 ( ) ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          −       = (由（5）式) ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y       +            −       = , 由（4）式 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       =      x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f            +       +      = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f      +             +      = , 因为 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，则 ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y       +            −       ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f      +             +      = , 结合（4）式得 2 2 2 2 2 ( ) y f z y x y       ( ) 2 [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y f z y x y y f x z y y f      +       +            +      = 2 2 ( ) x z y y f      = . 即 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     . 例 3 设      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t ，问什么条件下 u 是 x, y 的函数啊？求 y u x u     , 。 解 当 g,h 对各变元有连续的偏导数，且 0 ( , ) ( , )    z t g h 时，方程组    = = ( , ) 0 ( , , ) 0 h z t g y z t

《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 可确定函数组：二)代入“=x)即得”是y的函数 u=f(x.y,=(y).t(y)). u=f(x.y.z.t) 对方程组{g,:,)=0求微分，得 h(,)=0 du=f,dk+f,+f正+fd(l) 8,dy+g:d=+g,di=0 (2) h.d正+h,di=0 (3) 记J=g,若J≠0，由(2)(3)式 a,) 北8 代入(1)得 d加=fd+j+人8，h+68 =+U+g,fh-,f财=f+心，+8：Dw, J0=,0 故 器人等6+号驰骨 注：利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 四、隐函数可微性定理： 定理设函数F(x)满足隐函数存在唯一性定理的条件，又设在D内 F(x,y)存在且连续.则隐函数y=f(x)在区间(x。-a,x。+a)内可导，且 I()-E() F,(x,y) 例1验证方程F化川=y-x如y=0在点(0,0)满足隐函数存在唯- 5

《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 5 可确定函数组    = = ( ) ( ) t t y z z y ，代入 u = f (x, y,z,t) 即 得 u 是 x, y 的函数 u = f (x, y,z( y),t( y)) . 对方程组      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t 求微分，得      + = + + = = + + + 0 (3) 0 (2) (1) h dz h dt g dy g dz g dt du f dx f dy f dz f dt z t y z t x y z t 记 ( , ) ( , ) z t g h J   = ，若 J  0 ，由（2）（3）式 J g h dy h g dy g J dz y t t y t − = − = 0 1 , J g h dy h g g dy J dt y z z z y = − = 0 1 , 代入（1）得 x y z du = f dx + f dy + f J g h dy − y t J g h dy f y z + t dy J f h f h f dx f g t z z t x y y [ ] − = + + dy z t h f J g f dx f y x y ] ( , ) ( , ) [   = + + , 故 x f x u =   ， y u   ( , ) ( , ) z t h f J g f y y   = + . 注: 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些. 四、隐函数可微性定理: 定理 设函数 F(x, y) 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在 D 内 F (x, y) x 存在且连续 . 则隐函数 y = f (x) 在区间 ( , ) x0 − x0 + 内可导 , 且 ( , ) ( , ) ( ) F x y F x y f x y x  = − . 例 1 验证方程 sin 0 2 1 F(x, y) = y − x − y = 在点 ( 0 , 0 ) 满足隐函数存在唯一

《数学分析》下册 第十八章隐雨数定值及其应用海南大学数学系 性定理的条件，并求隐函数的导数· 例2：=少户-之.其中)y=心)为由方程r+广-3如y=0所确定的险 函数。求安 例3（反函数存在性及其导数）设函数y=f(x)在点x,的某邻域内有连 续的导函数f(x),且fx)=。,∫"(x)≠0.用隐函数定理验证存在反函数 并求反函数的导数 五、n元隐函数： 例4F(x,y,)=xz2+x2+y-:=0.验证在点(0,0,0)存在：是(x,) 的隐函数，并求偏导数· 作业教材151页：1一5

《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 6 性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . 例 2 2 2 2 1 z = y − x . 其中 y = f (x) 为由方程 3 0 3 3 x + y − axy = 所确定的隐 函数 . 求 dx dz . 例 3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域内有连 续的导函数 f (x) , 且 0 0 f (x ) = y , f (x0 )  0 . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数. 五、 n 元隐函数: 例 4 ( , , ) 0 3 2 3 F x y z = xyz + x + y − z = . 验证在点 ( 0 , 0 , 0 ) 存在 z 是 (x, y) 的隐函数 , 并求偏导数 . 作业 教材 151 页: 1—5