《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 第十二章数项级数 §1级数的收敛性 教学目标：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质 教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质：等比级数：调和级数。 (①)基本要求：掌握数项级数收敛性的定义和基本性质，等比级数，调和级数 (②)较高要求：应用柯西收敛准则判别级数的敛散性。 教学建议： (①)要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质：掌握等比级数与调和级数 的敛散性. (②)应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求 散学程序： 一、级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数4，山2，.，相加，其结果仍是一个实数，在本 章将讨论一一无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特征。如 ++++ 从直观上可知，其和为1。 又如，1+(-1)+1+(-)+.。 其和无意义： 若将其改写为：1-1)+(1-)+1-1)+. 则其和为：0： 若写为： 1+[(-1)+川+(-)+月+. 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和： 如果存在，和等于什么。 定义1、给定一个数列u},将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 1+2+13++4n+. (1) 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中“.称为级数(1)的通项
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 1 第十二章 数项级数 §1 级数的收敛性 教学目标：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质 教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数． (1) 基本要求：掌握数项级数收敛性的定义和基本性质，等比级数，调和级数． (2) 较高要求：应用柯西收敛准则判别级数的敛散性． 教学建议： (1)要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数 的敛散性． (2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求 教学程序： 一、级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数 u u un , , , 1 2 相加，其结果仍是一个实数，在本 章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 + + ++ n + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 从直观上可知，其和为 1。 又如， 1+ (−1) +1+ (−1) +。 其和无意义； 若将其改写为： (1−1) + (1−1) + (1−1) + 则其和为：0； 若写为： 1+[(−1) +1] +[(−1) +1] + 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义 1、 给定一个数列 un ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 u1 + u2 + u3 ++ un + （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中 n u 称为级数（1）的通项
《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系】 级数(1)简记为：∑4。，或∑4。 二、级数的收敛性 记Sn=∑4=4+山2+.+4n 称之为级数立山，的第n个部分和，简称部分和。 定义2、若数项级数∑“，的部分和数列S}收敛于S(即mS。=S),则称数项级 数∑“，收敛，称S为数项级数∑“，的和，记作 S=∑4=4++4++私，+. 若部分和数列5}发散，则称数项级数∑4，发散。 例1、试讨论等比级数（几何级数） 2og=atag+a时++ag”+a0) 的收敛性。 解：见P2。 例2、讨论级数 111 1 12*23+34t+mm+0+. 的收敛性。 解：见P2。 三、收敛级数的性质 由于级数∑4，的敛散性是由它的部分和数列5，}来确定的，因而也可以认为数项级数
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 2 级数（1）简记为： n=1 n u ，或 un 。 二、级数的收敛性 记 n n k Sn = uk = u + u + + u = 1 2 1 称之为级数 n=1 n u 的第 n 个部分和，简称部分和。 定义 2、 若数项级数 n=1 n u 的部分和数列 Sn 收敛于 S（即 Sn S n = → lim ），则称数项级 数 n=1 n u 收敛 ，称 S 为数项级数 n=1 n u 的和，记作 S = n=1 n u = u1 + u2 + u3 ++ un +。 若部分和数列 Sn 发散，则称数项级数 n=1 n u 发散。 例 1、试讨论等比级数（几何级数） = − − = + + + + + 1 1 2 1 n n n aq a aq aq aq ，(a 0) 的收敛性。 解：见 P2。 例 2、讨论级数 + + + + + + ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性。 解：见 P2。 三、收敛级数的性质 由于级数 n=1 n u 的敛散性是由它的部分和数列 Sn 来确定的，因而也可以认为数项级数
《数学分析》教案 第十二章数项缓数 海南大学数学系 立心，是数列包，的另一表现形式。反之，对于任意的数列红，小总可视其为数项级数 .+(@-a)+(a-d)++ 的部分和数列，此时数列{an}与级数a,+(a2-a)+(a-a)++(a。-an)+.有 相同的敛散性，因此，有 定理1（级数收敛的Cauchy准则）级数(1)收敛的充要条件是：任给正数s,总存在正 整数N,使得当m>N以及对任意的正整数p,都有 um1+un2+.+unp0，对任何正整数N,总存在正整数 m(N),P。,有 um州+4%+2+.+nm*n之6od 推论（必要条件）若级数(1)收敛，则 m“。=0。 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3 例3、讨论调和级数 的敛散性。 解：显然，有m山，=m月=0，但当令p=m时，有 ku+a*+t中2品 1 1 11 2m+2加*2m*叶202 111 因此，取，=)，对任何正整数N,只要m>N和p=m就有 um1+42+.+4之E0, 故调和级数发散。 3
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 3 n=1 n u 是数列 Sn 的另一表现形式。反之，对于任意的数列 an ，总可视其为数项级数 n=1 n u = a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 的部分和数列，此时数列 an 与级数 a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 有 相同的敛散性，因此，有 定理 1（级数收敛的 Cauchy 准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数 ，总存在正 整数 N ，使得当 m N 以及对任意的正整数 p ，都有 + + + um +1 um +2 um + p 。 注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个 0 0 ，对任何正整数 N，总存在正整数 0 0 m ( N), p ，有 0 1 0 2 0 0 0 + + + um + um + um + p 。 推论（必要条件） 若级数（1）收敛，则 lim = 0 → n n u 。 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例 3。 例 3、讨论调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 的敛散性。 解：显然，有 0 1 lim = lim = → → n u n n n ，但当令 p = m 时，有 um+1 + um+2 + um+3 ++ u2m m m m 2m 1 3 1 2 1 1 1 + + + + + + + = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + + + + = m m m m 。 因此，取 2 1 0 = ，对任何正整数 N，只要 m N 和 p = m 就有 0 1 0 2 0 0 0 + + + um + um + um + p ， 故调和级数发散
《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 例4、应用级数收敛的阿西准则正明级数∑一收敛。 证明：由于 k+++nm+m+2r+.+m+p 1 故对Vc>0,取N=白，使当m>N及对任何正整数p,都有 kh+。a++<<6。 故级数∑是收敛。 定理2若级数三，与，都有收敛，则对任意常数c,d,级数(，+小，)也收敛， 且 豆m+)=+空 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 定理3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。 (即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的)。 若级数∑收敛，设其和为S,则级数4+2+.也收敛，且其和为 Rn=S-S。并称为级数∑4n的第n个余项（简称余项），它代表用S代替S时所产生的误差。 定理4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如：1-1)+1-1)+.+1-1)+.=0+0++0+. 收敛，而级数 1-1+1-1+. 是发散的。 作业：P5；1,2,3,4,5,6,7
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 4 例 4、应用级数收敛的柯西准则证明级数 2 1 n 收敛。 证明：由于 um +1 + um +2 ++ um + p = 2 2 2 ( ) 1 ( 2) 1 ( 1) 1 m m m + p + + + + + 1)( ) 1 ( 1)( 2) 1 ( 1) 1 m m m m m + p − m + p + + + + + + m m p m 1 1 1 + = − 。 故对 0 ，取 ] 1 [ N = ，使当 m N 及对任何正整数 p ，都有 um +1 + um +2 ++ um + p m 1 。 故级数 2 1 n 收敛。 定理 2 若级数 n=1 n u 与 n=1 n v 都有收敛，则对任意常数 c, d ，级数 ( ) 1 n n cun + dv = 也收敛， 且 ( ) 1 n n cun + dv = = = = + 1 n 1 n n n c u d v 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 定理 3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。 （即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。 若级数 n=1 n u 收敛，设其和为 S，则级数 un+1 + un+2 + 也收敛，且其和为 Rn = S − Sn 。并称为级数 n=1 n u 的第 n 个余项（简称余项），它代表用 n S 代替 S 时所产生的误差。 定理 4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： (1−1) + (1−1) ++ (1−1) + = 0+ 0++ 0+ 收敛，而级数 1−1+1−1+ 是发散的。 作业： P5；1,2,3,4,5,6,7