《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 §2二元函数的极限 教学目的掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系。 教学要求 ()基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别 与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法. (②)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在 性问题. 教学建议 (1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求 多元函数极限的方法。 (2②)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限 存在性的较完整的方法. 教学程序 一、二重极限与累次极限： 定义1设二元函数f为定义在DcR2上的二元函数，P为D的一个聚点，A 是一个确定的实数.若对任给正数e,总存在某正数6，使得当P∈U°(Po:8) nD时，都有 If(P)-Al<e, 则称f在D上当P一P时，以A为极限，记作 f(P)=A. 在对于P∈D不致产生误解时，也可简单地写作 Mo f(P)=A. 当P,P分别用坐标(x,y),(x,y)表示时，(1)式也常写作 (y)=4. 例1依定义验证xm2.)(x2+xy+y2)=7 证因为 lx+xy+y-71
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 1 §2 二元函数的极限 教学目的 掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系． 教学要求 (1) 基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别 与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法． (2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在 性问题． 教学建议 (1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求 多元函数极限的方法． (2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限 存在性的较完整的方法． 教学程序 一、二重极限与累次极限: 定义 l 设二元函数 f 为定义在 D 2 R 上的二元函数，P0为 D 的一个聚点，A 是一个确定的实数．若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当 P∈∪0 (Po；δ) ∩ D 时，都有 |f(P)-A|＜ε, 则称 f 在 D 上当 P→P0时，以 A 为极限，记作 p p f P A p D → = ( ) lim . (1) 在对于 P∈D 不致产生误解时，也可简单地写作 p→p f (P) = A lim 0 . 当 P，P0分别用坐标(x，y)，(x0，y0)表示时，(1)式也常写作 x y → x y f (x, y) = A lim ( , ) ( ) 0 0 . 例 1 依定义验证 ( ) 7 lim 2 2 (x,y)→(2,1) x + xy+ y = . 证 因为 |x2 +xy+y2 -7|
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 =1(x2-4)+xy-2+(y2-1) =|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)1 Ix-21lx+y+21+ly-1lly+31. 先限制在点(2,1)的6=1的方邻域 ((x,y)1川x-20,只须取8=2√E,当0<r=√2+y2<6时，不管0取什值 都有f(x,y)-0Ke,即xmo)f(x,y)=0 2
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 2 = |(x2 -4)+xy-2+(y2 -1)| =|(x+2)( x-2)+( x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)| ≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|. 先限制在点（2，1）的δ=1 的方邻域 {（x，y）||x-2|＜1，|y-1|＜1} 内讨论，于是有 |y+3|=|y-1+4|≤|y-1|+4＜5 |x+y+2|=|(x-2)+(y-1)+5| ≤|x-2|+|y-1|+5＜7． 所以 |x2 +xy+y2 -7|≤7|x-2|+5|y-1| ＜7(|x-2|+|y-1|). 设ε为任给的正数，取δ=min(1， 14 )，则当|x 一 2|＜δ,| y-1 |＜δ, (x，y)≠（2，1）时，就有 |x2 +xy+y2 -7|＜7·2δ=14δ＜ε. 例2 设 f(x,y)= 0 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2 2 = + − x y x y x y x y xy 证明 lim (x, y)→(0,0) f(x,y)=0． 证 对自变量作极坐标变换 x=rcos ,y=rsin ．这时(x，y)→(0，0)等 价于对任何 ,都有 r→0．由于 |f(x,y)-0|= 2 2 2 2 x y x y xy + − = 2 2 4 1 |sin 4 | 4 1 r r 因此，对任何ε＞0，只须取δ=2 ，当 0＜r= 2 2 x y + 时，不管 取什值 都有|f(x,y)-0|<ε,即 ( , ) 0 lim ( , ) ( ) 0 0 x y → x y f x y =
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归原 则（而且证明方法也相似）.读者可通过它们进一步认识定义1中“P→R”所 包含的意义 定理16.5罗P=A的充要条件是：对于D的任-子集E,只要 P,是E的聚点，就有 P)=A. 推论1设EcD,P是E,的聚点.若f(P)不存在，则。f(P)也不 存在. 推论2设E,EcD,P,是它们的聚点，若存在极限 (P)=(P)= 但A≠，则f(P)不存在· 推论3极限。f(P)存在的充要条件是：对于D中任一满足条件P≠P。 且P,=P的点列{P},它所对应的函数列{f(P)}都收敛. 下面两个例子是它们的应用. 例3讨论，功平当，刃一0,0时是否存在极限。 解当动点(x,y)沿着直线y=mx而趋于定点(0,0)时，由于此时 f.功，因而南 wx0=。f儿，m)=1+m, 这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此 所讨论的极限不存在。 例4二元函数 1,当0<y<x2,-0<x<+oo时， 心x,=0.其余部分 3
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 3 下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归原 则(而且证明方法也相似)．读者可通过它们进一步认识定义 1 中“ P P → 0 ”所 包含的意义． 定理 16.5 0 lim ( ) P P P D f P A → = 的充要条件是：对于 D 的任一子集 E，只要 Po是 E 的聚点，就有 0 lim ( ) P P P E f P A → = . 推论 1 设 E1 D，P0是 El的聚点.若 0 1 lim p p ( ) p E → f P 不存在，则 ( ) lim p p 0 f P p D → 也不 存在． 推论 2 设 E1，E2 D，P0是它们的聚点，若存在极限 1 lim ( ) 0 1 p p f P A p E → = , 2 lim ( ) 0 2 p p f P A p E → = 但 A1≠A2，则 ( ) lim p p 0 f P p D → 不存在· 推论 3 极限 ( ) lim p p 0 f P p D → 存在的充要条件是：对于 D 中任一满足条件 Pn≠P。 且 0 lim n→ Pn = P 的点列{Pn}，它所对应的函数列{f(Pn)}都收敛． 下面两个例子是它们的应用． 例 3 讨论 f(x，y)= 2 2 x y xy + 当(x，y)→(O，0)时是否存在极限． 解 当动点(x，y)沿着直线 y=mx 而趋于定点(0，0)时，由于此时 f(x，y)=f(x，mx)= 2 1 m m + ，因而有 2 lim 0 lim 1 (( , ) (0,0) ( , ) ( , ) m m f x y f x mx x y x y mx + → = → = = , 这一结果说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此 所讨论的极限不存在． 例 4 二元函数 2 1, 0 , , ( , ) 0, . y x x f x y − + = 当 时 其余部分
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 如左图所示，当(x,y)沿任何直线趋于原点 时，相应的f(x,y)都趋于零，但这并不表明此函数 在(x,y)一(0,0)时极限存在.因为当点 (x,y)沿抛物线y=kx(0M,则称f在D上当P一Po时，存在非正常极限+∞，记作 n(. 仿此可类似地定义： mfp)=-o与mnfp)= 例5设fx,)产2x+3y 证明 wmo0f(x,y）=too. 证因为2x2+3y2M. 这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见下图
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 4 如左图所示，当(x，y)沿任何直线趋于原点 时，相应的 f(x，y)都趋于零，但这并不表明此函数 在(x，y)→(0，0)时极限存在．因为当点 (x，y)沿抛物线 y=kχ 2 (0<k<1)趋于 0 点时， f(x，y)将趋于 1．所以极限 lim (x, y)→(0,0) f(χ，y)不存在． 下面我们再给出当 P(x，y)一 P0(x0，y0)时， f(x，y)趋于+∞(非正常极限)的定义． 定义 2 设 D 为二元函数，的定义域，P0(x0，y0)是 D 的一个聚点．若对任给 正数 M，总存在点 P0的一个δ邻域，使得当 P(x，y)∈∪0 (Po；δ)∩D 时，都有 f(P)＞M，则称 f 在 D 上当 P→Po 时，存在非正常极限+∞，记作 → ( , ) = + lim 0 f x y p p , 仿此可类似地定义： → ( ) = − lim 0 p p f p 与 → ( ) = lim 0 p p f p 例 5 设 f(x，y)= . 2 3 1 2 2 x + y 证明 lim (x, y)→(0,0) f(x，y)=+∞. 证 因为 2x 2 +3y2 <4(x 2 +y2 )，对任给正数 M，取 δ= , 2 1 M 就有 , 2 1 3 2 2 M x + y 由此推得 2 x 2 +3y2 < M 1 , 即 M x y + 2 2 2 3 1 . 这就证得结果(该函数在原点附近的图象参见下图:
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别 「(x,y)看作点函数f(P)时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再列出. 二、累次极限 在上一段所研究的极限f(x,)中，两个自变量x,y同时以任何方 式趋于x,yo.这种极限也称为重极限.在这一段里，我们要考察x与y依一定 的先后顺序相继趋于x与y时f的极限，这种极限称为累次极限. 定义3设E,EyCR,xo是E的聚点，y是E,的聚点，二元函数f在集合 E.XE上有定义。若对每一个y∈Ey≠y,存在极限旦影一fx,以由于此 极限一般与y有关，因此记作 py)=■fx,y) 而且进一步存在极限 L=品fx以 则称此极限为二元函数f先对x(一x)后对y(一y)的累次极限，并记作 L是盘x,) 或简记作 L=mmfx,以 类似地可以定义先对y后对z的累次极限 K=四fx,以 累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系 下面三个例子将说明这一点。 5
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 5 二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别 f(x，y)看作点函数 f(P)时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再列出． 二、 累次极限 在上一段所研究的极限 lim (x, y)→(0,0) f(x，y)中，两个自变量 x，y 同时以任何方 式趋于 x0，y0．这种极限也称为重极限．在这一段里，我们要考察 x 与 y 依一定 的先后顺序相继趋于 x0与 y0时 f 的极限，这种极限称为累次极限． 定义 3 设 Eχ，Ey R，x0是 Eχ的聚点，yo是 Ey的聚点，二元函数 f 在集合 D=Eχ×Ey ①上有定义。若对每一个 y∈Ey,y≠y0,存在极限旦影 ( , ), lim 0 x x f x y Ex x → 由于此 极限一般与 y 有关，因此记作 ( y) = ( , ), lim 0 x x f x y Ex x → 而且进一步存在极限 L= ( , ), lim 0 x x f x y x Ey → 则称此极限为二元函数 f 先对 x(→x0)后对 y(→y0)的累次极限，并记作 L= ( , ) lim lim 0 0 y y x x f x y Ex x E y y → → 或简记作 L= ( , ). lim lim 0 0 f x y y→y y→y 类似地可以定义先对 y 后对 z 的累次极限 K= ( , ). lim lim 0 0 f x y y→x y→y 累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系． 下面三个例子将说明这一点．
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 例6设，功平·由斜3已经知道，功一0,0时的重极 限不存在.但当y≠0时有 xV 0+y=0. 从而有 字0 同理可得 =0 即F的两个累次极限都存在而且相等。 例7设fK,)==y+?+少它关于原点的两个累次极限分别为 x+y x +y y 与 品a0 当沿斜率不同的直线y=x,(x,y)→(0,0)时，容易验证所得极限也不同.因 此该函数的重极限不存在（下面的定理16.6将告诉我们，这是一个必然的结果）. 例8设f(x,)=xsin{+ys1n上，它关于原点的两个累次极限都不存在.这 是因为对任何y≠0，当x→0时f的第二项不存在极限.同理，对任x≠0，当y →0时「的第一项也不存在极限.但是由于 故按定义1知道f的二重极限存在，且mfx,)=0. 下述定理告诉我们：二重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的， 定理16.6若f(x,y)在点(x,y)存在二重极限 四wfx,) 与累次极限 .y) 6
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 6 例 6 设 f(x，y)= . 2 2 x y xy + ．由例 3 已经知道(x，y)→(0，0)时 f 的重极 限不存在．但当 y≠0 时有 0. 2 2 lim 0 = + → x y xy x 从而有 0. 2 2 lim lim 0 0 = + → → x y xy x x 同理可得 0. 2 2 lim lim 0 0 = + → → x y xy x y 即 f 的两个累次极限都存在而且相等． 例 7 设 f(x，y)= . 2 2 x y x y x y + − + + 它关于原点的两个累次极限分别为 ( 1) 1 lim 0 2 lim 0 2 2 lim lim 0 0 = − = − − = + − + + → → → → y y y y x y x y x y x y y y , 与 ( 1) 1 lim 0 2 lim 0 2 2 lim lim 0 0 = + = + = + − + + → → → → x x x x x y x y x y x y x y . 当沿斜率不同的直线 y=xm，(x，y)→(0，0)时，容易验证所得极限也不同．因 此该函数的重极限不存在(下面的定理 16．6 将告诉我们，这是一个必然的结果)． 例8 设f(χ，y)= xsin y 1 +ysin x 1 ,它关于原点的两个累次极限都不存在．这 是因为对任何 y≠0，当 x→0 时 f 的第二项不存在极限．同理，对任 x≠0，当 y →0 时 f 的第一项也不存在极限．但是由于 x y y x 1 sin 1 sin + ≤|x|+|y|， 故按定义 1 知道 f 的二重极限存在，且 ( , ) 0. lim lim x→0 y→0 f x y = 下述定理告诉我们：二重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的． 定理 16.6 若 f(x，y)在点(xo，yo)存在二重极限 ( , ) lim lim ( , ) ( , ) 0 0 f x y x y → x y 与累次极限 ( , ) lim lim 0 0 f x y x→x y→y
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 则它们必相等. 证设 ()=A 则对任给的正数e,总存在正数8，使得当P(x,y)∈U(P:6)时，有 f(x,y)-Al<E 另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式0<x-x<8的x,存在极限 =a,=06. 回到不等式(2)，让其中y一y。,由(4)可得 |p(x)-A≤e. 故由(3)，（⑤）证得p(x)=A,即 m四（x,y)=-w）(x,y)=A 由这个定理可导出如下两个便于应用的推论. 推论1若累次极限 f红川，nfx》 和二重极限 a周wf6x,刀 都存在，则三者相等. 推论2若累次极限 fx,y)与nfx,y) 存在但不相等，则二重极限，f(x,y)必不存在。 注意：定理16.6保证了在二重极限与一个累次极限都存在时，它们必相 等.（本节习题3则给出较定理16.6弱一些的充分条件.）但它们对另一个累次 极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题2（⑤）. 推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件：推论2可被用来否定二重极限的存 在性（如例7）. 总的来说二重极限与累次极限的关系如下： 7
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 7 则它们必相等． 证设 x y → x y f (x, y) = A lim ( , ) ( , ) 0 0 则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当 P(x，y)∈∪0 (Po；δ)时，有 |f(x,y)-A|＜ε 另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式 0＜|x-x0|＜δ的 x，存在极限 lim 0 y→y (x，y)= (x)． 回到不等式(2)，让其中 y→yo，由(4)可得 | (x)-A|≤ε． 故由(3)，(5)证得 lim 0 x→x (χ)=A，即 lim 0 x→x lim 0 y→y (χ，y)= lim ( , ) ( ) 0 x y → y→y (x，y)=A. 由这个定理可导出如下两个便于应用的推论． 推论 1 若累次极限 ( , ) lim lim 0 0 f x y x→x y→y ， ( , ) lim lim 0 0 f x y y→y x→x 和二重极限 lim ( , ) ( ) 0 x y → y→y f(x，y) 都存在，则三者相等． 推论 2 若累次极限 ( , ) lim lim 0 0 f x y x→x y→y 与 ( , ) lim lim 0 0 f x y y→y x→x 存在但不相等，则二重极限 lim ( , ) ( ) 0 x y → y→y f(x，y)必不存在． 注意: 定理 16.6 保证了在二重极限与一个累次极限都存在时，它们必相 等．(本节习题 3 则给出较定理 16.6 弱一些的充分条件．)但它们对另一个累次 极限的存在性却得不出什么结论，对此只需考察本节习题 2(5)． 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论 2 可被用来否定二重极限的存 在性(如例 7)． 总的来说二重极限与累次极限的关系如下:
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 (1)两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注 意不能随意改变它们的次序 (2)两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 (3)二重极限存在也不能保证累次极限存在.二重极限存在时，两个累次 极限可以不存在 （4）二重极限极限思》和累次极限职职儿》或另一次序) 都存在，则必相等。 (5)累次极限与二重极限的关系 若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等 作业教材P99:1,2,3,4,5
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 8 （１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注 意不能随意改变它们的次序. （２） 两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在. （３）二重极限存在也不能保证累次极限存在.二重极限存在时, 两个累次 极限可以不存在. （4）二重极限极限 和累次极限 (或另一次序) 都存在 , 则必相等. （5）累次极限与二重极限的关系 若累次极限和二重极限都存在， 则它们必相等 作业 教材 P99:1,2,3,4,5