《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系] 第十六章多元函数的极限与连续 §1平面点集与多元函数 教学目的了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，了解的完 备性，掌握二元及多元函数的定义. 教学要求 基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及R的 完备性，掌握二元及多元函数的定义。 较高要求：掌握R的完备性定理。 教学建议 (1)要求学生清楚地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关 的概念，可布置适量习题. (2)有关R的完备性定理的证明可对较好学生提出要求. 教学程序 一、平面点集：平面点集的表示：E={(x,y)川(x,y)满足的条件P以.余集E. (一)、常见平面点集： 1全平面和半平面 全平面：R2 半平面：{(x,)川x≥0，{(x,y川x>0},{(x,)川x>a,{(xy川y2ar+b} 等。 2矩形域：例[a,b1×[c,d小，{(x,yx+y1} 3圆域：开圆，闭圆，圆环圆的个部分。极坐标表示，特别是 ((r,0)Irs 2acos(r0)Irs2asin 0). 4角域：{(r,0)1a≤0≤B). 5简单域：X-型域和Y-型域. (二)、邻域：圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域 空心邻域和实心邻域，空心方邻域与集
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 1 第十六章 多元函数的极限与连续 §1 平面点集与多元函数 教学目的 了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，了解 2 R 的完 备性，掌握二元及多元函数的定义． 教学要求 基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及 2 R 的 完备性，掌握二元及多元函数的定义． 较高要求：掌握 2 R 的完备性定理． 教学建议 (1) 要求学生清楚地了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关 2 R 的概念，可布置适量习题． (2) 有关 2 R 的完备性定理的证明可对较好学生提出要求． 教学程序 一、 平面点集: 平面点集的表示: E = {( x, y) | (x, y) 满足的条件 P}.余集 c E . （一）、常见平面点集: 1 全平面和半平面 全平面: 2 R 半平面：{( x, y) | x 0}, {( x, y) | x 0}, {( x, y) | x a}, {( x, y) | y ax + b} 等。 2 矩形域: 例 [a,b][c,d], {(x, y)| x | + | y |1 }. 3 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分. 极坐标表示, 特别是 {(r, ) | r 2a cos} 和 {(r, ) | r 2asin } . 4 角域: {(r, ) | }. 5 简单域: X −型域和 Y −型域. （二）、邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 {(x川0x-xk6,0y-%k的区别. 二、点集拓扑的基本概念： (一)、内点、外点和界点： 内点：若存在点P的某邻域U(P)使得U(P)cE,则称P是集合E的内点。 外点：若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)∩E=O,则称P是集合E的 外点。 界点：若P的任何邻域内既有属于E的点，又有不属于E的点，则称点P 是E的界点 集合E的全体内点集表示为mtE,边界表示为E. 集合的内点∈E,外点EE,界点不定， 例1确定集E={(x,)川0<(x-1)2+0y+2)2<1}的内点、外点集和边界
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 2 {( , ) | 0 | | , 0 | | } x y x − x0 y − y0 的区别. 二、点集拓扑的基本概念: （一）、内点、外点和界点： 内点：若存在点 P 的某邻域 U P( ) 使得 U P E ( ) ，则称 P 是集合 E 的内点。 外点：若存在点 P 的某邻域 U P( ) ，使得 U P E ( ) = ，则称 P 是集合 E 的 外点。 界点：若 P 的任何邻域内既有属于 E 的点，又有不属于 E 的点，则称点 P 是 E 的界点 集合 E 的全体内点集表示为 int E , 边界表示为 E . 集合的内点 E , 外点 E , 界点不定 . 例１确定集 { ( , ) | 0 ( 1) ( 2) 1 } 2 2 E = x y x − + y + 的内点、外点集和边界 . P0
《数学分析》下册 第十六章多元两数的极限与连续 海南大学数学系 例2E={(x,y)川0≤y≤D(x),x∈[0，I];,Dx)为Dirichleti函数 确定集E的内点、外点和界点集· （二)、（以凝聚程度分为)聚点和孤立点： 定义（聚点）若P的任何空心邻域内都含有E中的的点，则称点P是E的聚 点。 定义（孤立点）：若存在6，使得U(A)∩E=⑦，则称点A是E的孤立 点。孤立点必为界点。 例3E={K,川y=sn).确定集E的聚点集。 解：E的聚点集=EU[-1,1]. (三)、（以包含不包含边界分为）开集和闭集： tE=E时称E为开集，E的聚点集cE时称E为闭集.存在非开非闭 集. R2和空集◆为既开又闭集. (四)、（以连通性分为）开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域， 开区域：若非空开集E具有连通性，即E中任何两点都可以用一条完全含于 E的有限折线链接起米，则称E为开区域。 闭区域：开域连同其边界所构成的点集称为闭域。 区域：开域、闭域，或者开域连同其部分边界所构成的点集，统称区域。 (五)、有界集与无界集： 有界集：对于平面点集E，若存在某一正数r>0,使得EcU(0,r).则称E 是有界点集，否则称为无界点集。 3
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 3 例２ E = { (x, y) | 0 y D(x), x [ 0 ,1] }, D(x) 为 Dirichlet 函数. 确定集 E 的内点、外点和界点集 . （二）、( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 定义（聚点）若 P 的任何空心邻域内都含有 E 中的的点，则称点 P 是 E 的聚 点。 定义（孤立点）: 若存在 ，使得 0 U A E ( , ) = ，则称点 A 是 E 的孤立 点。 孤立点必为界点. 例３ E = { (x, y) | } 1 sin x y = . 确定集 E 的聚点集 . 解： E 的聚点集 = E [ −1,1]. （三）、( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: int E = E 时称 E 为开集 , E 的聚点集 E 时称 E 为闭集. 存在非开非闭 集. 2 R 和空集 为既开又闭集. （四）、( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . 开区域：若非空开集 E 具有连通性，即 E 中任何两点都可以用一条完全含于 E 的有限折线链接起来，则称 E 为开区域。 闭区域：开域连同其边界所构成的点集称为闭域。 区域：开域、闭域，或者开域连同其部分边界所构成的点集，统称区域。 （五）、有界集与无界集: 有界集: 对于平面点集 E ，若存在某一正数 r 0 ，使得 E U r (0, ) .则称 E 是有界点集，否则称为无界点集
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 (六)、点集的直径d(E):两点的距离p(B,B) 两点的距离：pB,D)=Vx-x)户+0y-) 点集的直径，d国器P,) (七)、三角不等式： 1x-x21(或y-为2)≤Vg-x)尸+0出-乃2)≤到x-x+|-乃 三、点列的极限：设P=(x。y),R=(x,%) 定义mP=R的定义（用邻域语言）· 例4(x。出)→(x为)白x→x,.→，(n→0) 例5设P为点集E的一个聚点·则存在E中的点列{P},使 mP。=R 四、R2中的完备性定理 (一)、Cauchy收敛准则： 定理16.1(Cauchy准则)平面点列{P}收敛的充要条件是：对任意e>0, 存在N,n>N时，对一切正整数p,都有 p(P.Pp)<E 先证{(x,y,)}为Cauchy列一{x,}和y,}均为Cauchy列. (二)、闭域套定理：P89. 定理16.2（闭域套定理）设D}是中的闭域列，它满足： (i)D.D.n=1,2,(ii)d.=d(D.),"d.=0, 则存在惟一的点Po∈Da,n=l,2
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 4 （六）、点集的直径 d(E) ： 两点的距离 ( , ) P1 P2 . 两点的距离： 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) P P x x y y = − + − 点集的直径： （七）、三角不等式： | | 1 2 x − x （或 | | 1 2 y − y ） ( ) ( ) | | | | 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x − x + y − y x − x + y − y . 三、 点列的极限: 设 ( , ) n n n P = x y , ( , ) 0 0 0 P = x y . 定义 0 lim Pn P n = → 的定义 ( 用邻域语言 ) . 例４ ( , ) n n x y → ( , ) 0 0 x y 0 x x n → , 0 y y n → , ( n → ) . 例５ 设 P0 为点集 E 的一个聚点 . 则存在 E 中的点列 { } Pn , 使 0 lim Pn P n = → . 四、 2 R 中的完备性定理: （一）、 Cauchy 收敛准则: 定理 16.1 （Cauchy 准则）平面点列{ P n }收敛的充要条件是：对任意 0 ， 存在 N n N , 时，对一切正整数 p,都有 ( , ) P P n n p + 先证{ ( , ) n n x y }为 Cauchy 列 { }n x 和 { }n y 均为 Cauchy 列. （二）、闭域套定理: P89. 定理 16.2 (闭域套定理)设{Dn}是 R 2中的闭域列，它满足： (i) Dn Dn+1，n=1，2，.； (ii) dn =d(Dn), 0 lim n→ dn = ， 则存在惟一的点 Po∈Dn，n=1，2，.．
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系】 (三)、聚点原理：列紧性，Weierstrass聚点原理. 定理16.3（聚点原理）设EcR2为有界无限点集，则E在R2中至少有一 个聚点。 推论：有界无限点列P}cR2必存在收敛子列{P} (四)、有限复盖定理 定理16.4（有限复盖定理）设DcR2为一有界闭域，{△.}为一开域族，它 覆盖了D(卿DcUA,),则在{△)中必存在有限个开域△，△，△，它 们同样覆盖了D(即DcU△，) 五、二元函数： n元函数的定义设D是R"的一个子集，R是实数集，∫是一个规律，如 果对D中的每一点X=(x,.,x),通过规律f,在R中有唯一的一个y与此对 应，则称∫是定义在D上的一个n元函数，它在的函数值是y,并记此值为fx), 即y=f(x)。 与一元函数相仿，常采用下面的记号来记此函数： f:D→Rx=(,x)→y=fx)=fx,x2,.x), 并称D是∫的定义域
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 5 （三）、 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理. 定理 16.3（聚点原理） 设 E R2 为有界无限点集，则 E 在 R2 中至少有一 个聚点． 推论：有界无限点列{Pn} R2必存在收敛子列 P nk . （四）、有限复盖定理: 定理 16.4（有限复盖定理）设 D R 2为一有界闭域，{△a}为一开域族，它 覆盖了 D(即 a a D )，则在{△a}中必存在有限个开域△1，△2，.，△n，它 们同样覆盖了 D（即 1 n i i D = ） 五、二元函数: n 元函数的定义 设 D 是 n R 的一个子集， R 是实数集， f 是一个规律，如 果对 D 中的每一点 ( , , ) 1 n X = x x ，通过规律 f ，在 R 中有唯一的一个 y 与此对 应，则称 f 是定义在 D 上的一个 n 元函数，它在的函数值是 y ，并记此值为 f (x) ， 即 y = f (x)。 与一元函数相仿，常采用下面的记号来记此函数： f : D → R ； ( , , ) ( ) ( , , , ) 1 n 1 2 n x x x y f x f x x x = → = = , 并称 D 是 f 的定义域
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系 =f.r) (一)、二元函数的定义、记法、图象： 球面的图象 (二)、定义域： 例6求定义域： 4w-:四)e功 In y Vx2+y2-1 (三)、二元函数求值： 例7fx,)=2x-32,求1，-1)，f1,). 例8fx,y)=M(1+x2+y2),求f(pcos0,psim) (四)、三种特殊函数： ()变量对称函数：fx,)=f心y,x),例8中的函数变量对称. (2②)变量分高型函数：fx,y)=(x)wy).例如 :=, :=xy+2x+y+2, x)=y+X"-2等 (x) 但函数：=x+y不是变量分离型函数
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 6 （一）、 二元函数的定义、记法、图象： 球面的图象 （二）、定义域： 例６求定义域： ⅰ（1） f (x, y) 1 9 2 2 2 2 + − − − = x y x y ; ⅱ（2） f (x, y) ln( 1) ln 2 − + = y x y . （三）、二元函数求值: 例７ f (x, y) 2 = 2x − 3y , 求 (1, 1) , (1, ) x y f − f . 例８ f (x, y) ln(1 ) 2 2 = + x + y , 求 f ( cos , sin ) . （四）、三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: f (x, y) = f ( y, x) ,例 8 中的函数变量对称. ⑵ 变量分离型函数: f (x, y) = (x)( y) .例如 x y z xy e 2 +3 = , z = xy + 2x + y + 2, f (x, y) 2 ( ) ( )( ) xy xy + y xy − x = 等 . 但函数 z = x + y 不是变量分离型函数
《数学分析》下册 第十六章多元函数的极限与连续 海南大学数学系了 (③)具有奇、偶性的函数：可以指明关于某个变量的奇偶性 作业教材P91:2-8
《数学分析》下册 第十六章 多元函数的极限与连续 海南大学数学系 7 ⑶ 具有奇、偶性的函数：可以指明关于某个变量的奇偶性. 作业 教材 P91:2-8