《数学分析)下册教 第土四章琴级数 海南大学数学系 第十四章幂级数 第一节幂级数 教学目标：掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，掌握幂级数的性质和运算， 教学内容：幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法：掌握幂级数收敛半径，收敛区间和收敛 域的概念. (1)基本要求：学握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，学会解答有关幂级数收敛半 径和收敛区间的习题. (②)较高要求：学会解答有关幂级数收敛区域的习题， 教学建议： (1)布置足量求幂级数收敛半径和收敛区间的习题。 (②)有关幂级数收敛域的问题，对较好的学生可布置适量的习题 散学过程： 一、引言 前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收 敛函数项级数的性质。从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数， 类是“幂级数”（代数多项式的推广）：另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级 数的特例，在物理中有广泛的应用)。 二、什么样的函数项级数是幂级数 1、定义（幂级数）：形如 a.(x-广=a,+a-x)+a-+ (1) 的函数项级数称为幂级数。 2、特例：当。=0，即在点零处展开的幂级数为 oxa (2)
《数学分析》下册教案 第十四章 幂级数 海南大学数学系 1 第十四章 幂级数 第一节 幂级数 教学目标：掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，掌握幂级数的性质和运算． 教学内容：幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法；掌握幂级数收敛半径，收敛区间和收敛 域的概念． (1)基本要求：掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，学会解答有关幂级数收敛半 径和收敛区间的习题． (2) 较高要求：学会解答有关幂级数收敛区域的习题． 教学建议： (1) 布置足量求幂级数收敛半径和收敛区间的习题． (2) 有关幂级数收敛域的问题，对较好的学生可布置适量的习题 教学过程： 一、 引言 前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收 敛函数项级数的性质。从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一 类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier 级数”（三角多项式的推广，三角级 数的特例，在物理中有广泛的应用）。 二、 什么样的函数项级数是幂级数 1、定义（幂级数）：形如 2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x = − = + − + − + （1） 的函数项级数称为幂级数。 2、特例：当 0 x = 0 ，即在点零处展开的幂级数为 2 0 1 2 0 n n n a x a a x a x = = + + + （2）
《数学分析》下册教案 第土四章易级数 海南大学数学系 3、若在(1)中令x-x=1,则(1)化为(2)的形式，故研究幂级数， 一般研究在点零 处的展开幂级数即可。 4、幂级数形式上的特点：一般项为a(x-x)”,从而所求的和是多项式（最简单函数） 是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间 一点)。又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 三、幂级数的收敛性 定理幂级数立a,(x-x广在r-R内发散。 推论：幂级数a,(x-》的收敛城为区间,幂级数a,(x-)在 的内部(-Rx+R)内绝对收敛。 四、求收敛半径和收敛域的例子 102若 22r a品 例2.证明变+（了在（宁绝对收敛。在其他点发散。 五、幂级数的性质 性质1（阿贝尔第二定理）：若∑0，(：-y的收敛半径为R,则此级数在收敛域内部 (x一R,x+R)上内闭一致绝对收敛：在收敛域上内闭一致收敛。 性质2设幂级数∑x-x的收敛半径为R,和函数为()，则和函数在收敛域 上连续，于收敛域内部(x-R。+)上可以逐项积分和逐项微分，即： 对(-R+R)上任一点x,有 2a-yh-2导-r=0h
《数学分析》下册教案 第十四章 幂级数 海南大学数学系 2 3、若在（1）中令 0 x x t − = ，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零 处的展开幂级数即可。 4、幂级数形式上的特点：一般项为 0 ( )n n a x x − ，从而所求的和是多项式（最简单函数）， 是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间— —点）。又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 三、 幂级数的收敛性 定理 幂级数 0 0 ( )n n n a x x = − 在 0 x x R − 内绝对收敛，在 0 x x R − 内发散。 推论：幂级数 0 0 ( )n n n a x x = − 的收敛域为区间 0 0 − + x R x R , ，幂级数 0 0 ( )n n n a x x = − 在 0 0 − + x R x R , 的内部 0 0 ( , ) x R x R − + 内绝对收敛。 四、 求收敛半径和收敛域的例子 例 1、（1） 1 n n x n = ； （2） 1 n n n n x = ； （3） 0 ! n n x n = 例 2、证明 0 (3 ( 1) ) n n n n x = + − 在 1 1 ( , ) 4 4 − 绝对收敛，在其他点发散。 五、 幂级数的性质 性质 1（阿贝尔第二定理）：若 0 0 ( )n n n a x x = − 的收敛半径为 R ，则此级数在收敛域内部 0 0 ( , ) x R x R − + 上内闭一致绝对收敛；在收敛域 0 0 − + x R x R , 上内闭一致收敛。 性质 2 设幂级数 0 0 ( )n n n a x x = − 的收敛半径为 R ，和函数为 s x( ) ，则和函数在收敛域 0 0 − + x R x R , 上连续，于收敛域内部 0 0 ( , ) x R x R − + 上可以逐项积分和逐项微分，即： 对 0 0 ( , ) x R x R − + 上任一点 x ，有 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 x x n n n n x x n n a a t t dt x x s t dt n = = − = − = +
《数学分析)下册教姿 第土四章级数 海南大学数学系 2aa-r1-2m-r- 并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为R。 六、幂级数性质的应用 例3、求帮级最空-广号=的和数小，何2：空m产的和函数 例：求空-少的和函数，例求空号的和函数 作业：P50-51:1,2,3,4
《数学分析》下册教案 第十四章 幂级数 海南大学数学系 3 1 0 0 0 0 [ ( ) ] ( ) ( ) n n n n n n d d a x x na x x s x dx dx − = = − = − = ， 并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为 R 。 六、 幂级数性质的应用 例 3、 求幂级数 1 1 ( 1) ( ) n n n x s x n − = − = 的和函数 s x( ) . 例 2: 求 2 1 n n nx = 的和函数 s x( ) . 例 4: 求 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n + = − + 的和函数 s x( ) . 例 4: 求 0 n n x n = 的和函数 s x( ) . 作业： P50-51：1，2，3，4