《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 §2隐函数组 教学目的掌握隐函数组存在的条件，学会隐函数组求导法。 教学要求 (①)掌握隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法。 (②)理解隐函数组和反函数组定理的证明. 教学建议 (1)要求学生熟记隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数 组求导法. (2)隐函数组和反函数组定理的证明较为繁复，对一般学生可不作要求. 教学程序 一、隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组 [au+bv+cx+dy+e=0, au+bv+cx+dy+e2=0. 设由方程组 Fxy以)=0确定了4，是xy的函数： G(xy,4,=0 “=xy,v=(xy)并且它们具有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导 数？ F.F 解决方案： F+FU,+FV=0 G,G. G,+GU,+G,=0 F,F. G.G, -,求U,V及U,V的方法与求U,V完全相同。 例设x=rcos0,y=rsin0,求r,50,0, x+y++u+v=0 例2+少+：2++2=2 求x。Yu.XwYm 二、隐函数组定理： 分析从上述线性方程组中解出“和v的条件入手，对方程组*)在一定条件
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 1 §2 隐函数组 教学目的 掌握隐函数组存在的条件，学会隐函数组求导法． 教学要求 (1)掌握隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法． (2)理解隐函数组和反函数组定理的证明． 教学建议 (1) 要求学生熟记隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数 组求导法． (2) 隐函数组和反函数组定理的证明较为繁复，对一般学生可不作要求． 教学程序 一、 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组 + + + + = + + + + = 0. 0 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 a u b v c x d y e a u b v c x d y e 设由方程组 = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 确定了 u,v是x, y,z的函数 ： u = u(x, y,z), v = v(x, y,z) 并且它们具有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导 数？ 解决方案： + + = + + = 0 0 x u x v x x u x v x G G U G V F F U F V ( 0) = v v u u v v x x x G F G F G F G F U ( 0) = v v u u x x u y x G F G F G F G F V . 求 U y Vy Uz Vz Ux Vx , 及 ， 的方法与求 , 完全相同。 例 设 x y x y x = r cos , y = rsin ,求r ,r , 例 u u uu uu x y x y x y z u v x y z u v , , , 2 0 2 2 2 2 2 求 + + + + = + + + + = 二、 隐函数组定理: 分析从上述线性方程组中解出 u 和 v 的条件入手 , 对方程组* ) 在一定条件
《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 下拟线性化，分析可解出和v的条件，得出以下定理 定理设()F(Gxu)和G(xy4在点D,山，)的一个邻域内对 各个变元有连续的偏导数：(2)F(x,o,4,)=0,G(o,4,o)=0:(3)F, G关于x,y,u,v的Jacobi矩阵： (仁，5，FE在点户的秩为2。则：存在 G.G.G.G.J 点P。的一个邻域，在此邻域内由方程组F(x,y,4,)=0,G(x,y,4,)=0:可以确 定唯一的函数：u=(x,y),v=v(x,y)满足： F(xy,(x,y),(x,y》=0, G(xy,(x,y),(x,y)=0: 并且u,v都是关于x和yu,v都是关于x和y的连续偏导数的连续偏导数 例1设x2=vw,y2=w,2=m及f(xy,)=F(u,w),证明： xf,+y,+f=uF,+vF,+wF [x2=w [x=x(u,v,w) 证方程组y2=w确定了函数组 y=u,w),先求这个函数组对各 :=w ===(u,v,w) 变元的偏导数，为此，对方程组求微分得 =云+ 2d=wdu+udhp,即{dy= 2zd vdu+udy 0 2x2x ”0 2 2y V u 22 0 将函数组代入方程f(x,y,)=F(，w),得关于变元，w的方程 f(x(u,v,w).y(u.v,w).=(u,v,w))=F(u.v,w), 在这方程两边分别对u,y,w求偏导，得
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 2 下拟线性化 , 分析可解出 u 和 v 的条件 , 得出以下定理 . 定理 (1) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0 0 0 0 0 设 F x y u v 和G x y u v 在点P x y u v 的一个邻域内对 各个变元有连续的偏导数；（2） F(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0，G(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0； （3）F， G 关于 x,y,u,v 的 Jacobi 矩阵： x y u v x y u v G G G G F F F F , , , , , , 在点 P0 的秩为 2。则：存在 点 P0 的一个邻域，在此邻域内由方程组 F(x, y,u,v) = 0，G(x, y,u,v) = 0； 可以确 定唯一的函数： u = u(x, y), v = v(x, y) 满足： ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 F x y u x y v x y G x y u x y v x y = = ， ； 并且 u , v 都是关于 x 和 y u , v 都是关于 x 和 y 的连续偏导数的连续偏导数. 例 1 设 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 及 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，证明: x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + . 证 方程组 = = = z uv y uw x vw 2 2 2 确定了函数组 = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ，先求这个函数组对各 变元的偏导数，为此，对方程组求微分得 = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即 = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故 w z v z u z w y v y u y w x v x u x = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，得关于变元 u, v,w 的方程 f (x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) = F(u,v,w) ， 在这方程两边分别对 u, v,w 求偏导，得
《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 倍倍+综R 将上面三式分别乘以山，”，w后再相加，得 人器+12++是++罗 =uF,+vF+wF 将x2=w,y2=0w,2=w代入即得 x从+以，+手.=f。+F+wF 例2-+y=0 +广++r=1问：（)由方程确定的u,v是关于x和y的 可微函数？ (2)由方程确定的u,x都是关于v和y的可微函数？ u=fx,y,） 例3设{g0y,:,)=0 ，问什么条件下u是x,y的函数啊？求， 0x' h(z.1)=0 解当8，h对各变元有连续的偏导数，且e,月≠0时，方程组80：0=0 (a,) h,0=0 可确定函数组：=)，代入M=K,X:)即得u是xy的函数 1=ty) 4=f(x,y,0y)y》 [u=fx,y,0 对方程组{y,)=0求微分，得 h=,)=0 (du=f dx+f dy+fd+fdt (1) g,dy+g.d止+g,d=0 (2) h;d=+hdt =0 (3) 3
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 3 x y z Fu u z f u y f u x f = + + x y z Fv v z f v y f v x f = + + x y z Fw w z f w y f w x f = + + 将上面三式分别乘以 u, v,w 后再相加，得 + + z uv f y uw f y z 2 2 z uv f x vw f x z 2 2 + y uw f x vw f x y 2 2 + + u v wFw = uF + vF + 将 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 代入即得 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + . 例 2 + + + = − + = 1 0 2 2 2 2 x y u v u v xy 问：（1）由方程确定的 u , v 是关于 x 和 y 的 可微函数？ （2）由方程确定的 u , x 都是关于 v 和 y 的可微函数？ 例 3 设 = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t ，问什么条件下 u 是 x, y 的函数啊？求 y u x u , 。 解 当 g,h 对各变元有连续的偏导数，且 0 ( , ) ( , ) z t g h 时，方程组 = = ( , ) 0 ( , , ) 0 h z t g y z t 可确定函数组 = = ( ) ( ) t t y z z y ，代入 u = f (x, y,z,t) 即得 u 是 x, y 的函数 u = f (x, y,z( y),t( y)) . 对方程组 = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t 求微分，得 + = + + = = + + + 0 (3) 0 (2) (1) h dz h dt g dy g dz g dt du f dx f dy f dz f dt z t y z t x y z t
(数学分析》下册 第十八章隐雨数定值及其应用海南大学数学系 记J=8,m,若J≠0，由(2)(3)式 商墙 h=88,例_8 代入(1)得 d加=f+j,+18,h+万8血 =+U+g,w=+U+号 J 故+号 J a(=,t) 注：利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 创1在纺兰高等0，微热 4=x+上v=x-yw=y-:将w看作弘，的函数，求代换后的方程？ 三、反函数组和坐标变换： (一)、反函数组存在定理： (二)、坐标变换：两个重要的坐标变换 作业教材P1571,2,3,52
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 4 记 ( , ) ( , ) z t g h J = ，若 J 0 ，由（2）（3）式 J g h dy h g dy g J dz y t t y t − = − = 0 1 J g h dy h g g dy J dt y z z z y = − = 0 1 代入（1）得 x y z du = f dx + f dy + f J g h dy − y t J g h dy f y z + t dy J f h f h f dx f g t z z t x y y [ ] − = + + dy z t h f J g f dx f y x y ] ( , ) ( , ) [ = + + 故 x f x u = ， y u ( , ) ( , ) z t h f J g f y y = + 注: 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 例 4 在方程 2 0 2 2 2 2 2 2 = + + dy y z x y z x z ，做变换： u = x + y, v = x − y,w = xy− z 将w看作u,v的函数，求代换后的方程？ 三、 反函数组和坐标变换: （一）、反函数组存在定理: （二）、坐标变换: 两个重要的坐标变换. 作业 教材 P157 1，2，3，5⑵