海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十三章 函数列与函数项级数 13.1 一致收敛性

《数学分析》下册教案」 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 第十三章函数列与函数项级数 §1一致收敛性 教学目标：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性 判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法。 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义：函数序列与函数项级数一致收敛性判别 的柯西准则：函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法. (1)基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法。 (2)较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法. 敦学建议： (1)要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数 致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法。 (②)对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法. 教学过程： 我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或 函数项级数)来表示或定义一个函数。 一、函数列及其一致收敛性。 设 (1) 是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。也可简记为： {n}或∫n,n=1,2,.。 设x0∈E,将x代入，.，厂n,.得到数列： f(x2(xob.,fn(xob. (2) 若数列(2)收敛，则称函数列(1)在点x。收敛，x。称为函数列(1)的收敛点。若数列(2) 1

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 1 第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 教学目标：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性 判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别 的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (1)基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数 一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学过程： 我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或 函数项级数）来表示或定义一个函数。 一、 函数列及其一致收敛性。 设 f 1 , f 2 ,  , f n ,  （1） 是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在 E 上的函数列。也可简记为： { }n f 或 n f ， n = 1,2, 。 设 x0  E ，将 0 x 代入 f 1 , f 2 ,  , f n ,  得到数列： f 1 (x0 ), f 2 (x0 ), , f n (x0 ), （2） 若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点 0 x 收敛， 0 x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）

《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系一 发散，则称函数列(1)在点x。发散。则称函数列(1)在数集DcE上每一点都收敛，则称(1) 在数集D上收敛。这时收∈D,都有数列∫.(x)》的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确 定了D上的一个函数，称它为函数列{∫}的极限函数。记作∫。于是，有 im∫n(x)=f(x),xeD,或f(x)→f(x)(n→o),xeD. 函数列极限的ε-N定义对每一个固定的x∈D,对Ve>0,3N>0(注意：一般说来N 值的确定与ε和x的值都有关)，使得当n>N时，总有 f(x)-fx0（不妨设eMc闲时，线有因-长s,而当=0和=时，则对任何正 整数n,都有 fn(0)-f0以=01时，则有”→+0(n→o),当x=-1时，对应的数列为-1,1，-11.它显然是发散 的。所以函数列”在区间(-1，山外都是发散的。 例公、定义在（←2四）上的函数列)-血匹，n=12,由于对任何实数x,都有 n 四六故对任给的6>0，只要>N-上就有中-水8，所以函数列0的收 敛域为无限区间(-0，+∞)，函数极限f(x)=0。 定义1、设函数列{U}与函数∫定义在同一数集D上，若对任给的正数ε，总存在某一正 整数N,使得当n>N时，对一切的x∈D,都有

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 2 发散，则称函数列（1）在点 0 x 发散。则称函数列（1）在数集 D  E 上每一点都收敛，则称（1） 在数集 D 上收敛。这时 xD ，都有数列 { f (x)} n 的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确 定了 D 上的一个函数，称它为函数列 { }n f 的极限函数。记作 f 。于是，有 lim f (x) f (x) n n = → ， xD ，或 f (x) f (x) n → (n → )， xD。 函数列极限的  − N 定义 对每一个固定的 xD ，对   0，N  0 （注意：一般说来 N 值的确定与  和 x 的值都有关），使得当 n  N 时，总有 f (x) − f (x)   n 。 使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列 { }n f 的收敛域。 例 1、 设 n n f (x) = x ， n = 1,2,  为定义在 (−,) 上的函数列，证明它的收敛域是 (−1,1]， 且有极限函数    =  = 1, 1 0, 1 ( ) x x f x （3） 证： 任给   0 （不妨设  1 ），当 0  x 1 时，由于 n n f (x) − f (x) = x ，故只要取 x N x ln ln ( , )   = ，则当 n  N( , x) 时，就有 f (x) − f (x)   n 。而当 x = 0 和 x =1 时，则对任何正 整数 n ，都有 f (0) − f (0) = 0   n ， f (1) − f (1) = 0   n 。 这就证得 f n  在 (−1,1] 上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。 当 x 1 时，则有 x → +(n → ) n ，当 x = −1 时，对应的数列为−1,1,−1,1,  它显然是发散 的。所以函数列   n x 在区间 (−1,1] 外都是发散的。 例 2、 定义在 (−,+) 上的函数列 n nx f x n sin ( ) = ，n = 1,2,  ，由于对任何实数 x ，都有 n n sin nx 1  ，故对任给的   0 ，只要  1 n  N = ，就有 − 0   sin n nx 。所以函数列       n sin nx 的收 敛域为无限区间 (−,+) ，函数极限 f (x) = 0。 定义 1、 设函数列 f n  与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数  ，总存在某一正 整数 N ，使得当 n  N 时，对一切的 xD ，都有

《数学分析》下册教案 第十三煮函数列与函数项级数 海南大学数学系 f(x)-f(x)N时，对一切x∈D,都有 fn(x)-fx0,存在正数N, 使得当n>N时，对一切xeD,都有 L.(x)-. (5) 于是当n,m>N,由(5)就有 国-.国sU.国-f+)-f国+6 [充分性]若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，}在D上任一点都收敛，记其 极限函数为f(x),x∈D。现固定(4)式中的n,让m→o,于是当n>N时，对一切x∈D都 有 f(x)-fx≤6。由定义1，∫(x) fx)(n→o),x∈D。 定理13.2函数列U}在区间D上一致收敛于f的充要条件是： mpn)-fxy=0。 (6) 证：[必要性]若∫(x) fx)(n→o),x∈D。则对任给的正数s,存在不 依赖与x的正整数N,当n>N时，有 f(x)-fx0，存在正整数N,使得当n>N,有 supl(x)-f(x)<s. (7) 因为对一切xeD,总有/(x)-fx≤sup/.(x)-fx·

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 3 f (x) − f (x)   n 则称函数列  f n 在 D 上一致收敛于 f ，记作： f (x) n f (x) (n → )， xD。 定理 13.1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列  f n 在数集 D 上一致收敛的充要条件 是：对任给的正数  ，总存在正数 N ，使得当 n m N ,  时，对一切 x D ，都有 f (x) − f (x)   n 。 （4） 证： [必要性] 设 f (x) n → f (x) (n → )， xD ，即对任给   0 ，存在正数 N ， 使得当 n  N 时，对一切 xD ，都有 2 ( ) ( )  f n x − f x  。 （5） 于是当 n,m  N ，由（5）就有    −  − + −  + = 2 2 f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) n m n m 。 [充分性] 若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则， f n  在 D 上任一点都收敛，记其 极限函数为 f (x) ，xD 。现固定（4）式中的 n ，让 m→ ，于是当 n  N 时，对一切 xD 都 有 f (x) − f (x)   n 。由定义 1， f (x) n f (x) (n → )， xD。 定理 13.2 函数列 f n  在区间 D 上一致收敛于 f 的充要条件是： lim sup ( ) − ( ) = 0  → f x f x n x D n 。 （6） 证： [必要性] 若 f (x) n f (x) (n → )， xD 。则对任给的正数  ，存在不 依赖与 x 的正整数 N ，当 n  N 时，有 f (x) − f (x)   n ， xD。 由上确界的定义，亦有 −    sup f (x) f (x) n x D 。 则有 lim sup ( ) − ( ) = 0  → f x f x n x D n 。 [充分性] 由假设，对任给的   0 ，存在正整数 N ,使得当 n  N ，有 −    sup f (x) f (x) n x D 。 （7） 因为对一切 xD ，总有 f (x) f (x) sup f (x) f (x) n x D n −  − 

《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 故由(7)式得(x)-fx,就有f)=0,故在(0，上 有f)=m()=0。于是函数列(8)在0，上的极限函数)=0，又由于 即x)-fx=.2分)=n→0u→o, 所以函数列(8)在[0,1]上不一致收敛。 二、函数顶级数及其一致收敛性 设{u(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式 4(x)+h2(x)+.+u(x)+.,x∈E (9) 称为定义在E上的函数顶级数，简记为∑u,(x)或∑山，(x)。称 S)=24),x∈E,n=l2 (10) 为函数顶级数(9)的部分和函数列。 若x。∈E,数顶级数4(xo)+山(x)+.+u)+ (11) 收敛，既部分和S,化，)=立4化，)当n→时极限存在，则称级数(9)在点x,收敛，x,称为 级数(9)的收敛点，若级数(11)发散，则称级数(9)在点x。发散。若级数(9)在E某个 子集D上每个点都收敛，则称级数(9)在点D上收敛，若D为级数(9)全体收敛点的集合， 这时则城D为级数(9)的收敛域。级数(9)在D上每一点x与其所对应的数项级数(11)的 和S(x)构成一个定义在D上的函数，称为级数(9)的和函数，并写作

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 4 故由（7）式得 f (x) − f (x)   n 。于是 f n  在 D 上一致收敛于 f 。 例 3、定义在 [0,1] 上的函数列            −     = 1 1 0, 1 2 1 2 2 , 2 1 2 ,0 ( ) 2 2 x n n x n n n x n n x x f x n n = 1,2,  （8） 由于 (0) 0 n f = ，故 (0) = lim (0) = 0 → n n f f 。当 0  x 1 时，只要 x n 1  ，就有 f n (x) = 0 ，故在 (0,1] 上 有 ( ) = lim ( ) = 0 → f x f x n n 。于是函数列（8）在 [0,1] 上的极限函数 f (x) = 0 ，又由于 − = = →   n n f x f x f n n x ) 2 1 sup ( ) ( ) ( [0,1] (n → )， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛。 二、 函数顶级数及其一致收敛性 设 u x n ( ) 是定义在数集 E 上的一个函数列，表达式 1 2 ( ) ( ) ( ) n u x u x u x + + + + ， x E  （9） 称为定义在 E 上的函数顶级数，简记为 1 ( ) n n u x  =  或 u (x) n 。称 = = n k n k S x u x 1 ( ) ( )， xE ，n = 1,2,  （10） 为函数顶级数（9）的部分和函数列。 若 x0  E ，数顶级数 u1 (x0 ) + u2 (x0 ) ++ un (x0 ) + （11） 收敛，既部分和 = = n k n k S x u x 1 0 0 ( ) ( ) 当 n → 时极限存在，则称级数（9）在点 0 x 收敛， 0 x 称为 级数（9）的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点 0 x 发散。若级数（9）在 E 某个 子集 D 上每个点都收敛，则称级数（9）在点 D 上收敛，若 D 为级数（9）全体收敛点的集合， 这时则城 D 为级数（9）的收敛域。级数（9）在 D 上每一点 x 与其所对应的数项级数（11）的 和 S(x) 构成一个定义在 D 上的函数，称为级数（9）的和函数，并写作

《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 4,(x)+42(x)+.+un(x)+.=S(x),x∈D, 即mS,()=S),x∈D 也就是说，函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和函数列(10)的收敛性。 例4、定义在(-0，+0)上的函数项级数（几何级数） 1+x+x2+.+x"+. (12) 的分国数为@子·故时时 5()5.() 所以几何级数(2)在(-内收敛于和函数S)-文当时≥1时，几何级最是发敬的： 定义2（函数项级数一致收敛性定义）设{S,(x)}是函数项级数∑u,(x)的部分和函数列。 若{S(x)}在数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级数∑“，(x)在D上 一致收敛于函数S,或称4.()在D上一致收敛。 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有 定理13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数∑4，(x)在D上一致收敛一对 于V>0,N,使得当n>N时，对一切x∈D和一切正整数p,都有 Sp(x)-S,(x)<, n(x)+4n42(x)+.+n+p(x)<E。 特别地，当p=1时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论：函数项级数∑4(x)在D上一致收敛的必要条件是函数列u(x)}在D上一致收敛 千0。 设立u,()=Sx),xeD,称R,()=S)-S,)为函数项级数∑，()的余项

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x S x + ++ n += ， x D ， 即 lim S (x) S(x) n n = → ， x D 。 也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。 例 4、定义在 (−,+) 上的函数项级数（几何级数） 1+ x + x 2 ++ x n + （12） 的部分和函数为 x x S x n n − − = 1 1 ( ) 。故当 x 1 时， x S x S x n n − = = → 1 1 ( ) lim ( ) 。 所以几何级数（12）在 (−1,1) 内收敛于和函数 x S x − = 1 1 ( ) ；当 x 1 时，几何级数是发散的。 定义 2（函数项级数一致收敛性定义） 设 S x n ( ) 是函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的部分和函数列。 若 S x n ( ) 在数集 D 上一致收敛于函数 S x( ) ，则称函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上 一致收敛于函数 S(x) ，或称 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛。 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有 定理 13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛  对 于   0，N ，使得当 n  N 时，对一切 xD 和一切正整数 p ，都有 −   + S (x) S (x) n p n ， 即 + + +   + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n n  n p 。 特别地，当 p = 1 时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论： 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛的必要条件是函数列 un (x) 在 D 上一致收敛 于 0。 设 1 ( ) n n u x  =  = S(x)， xD ，称 R (x) S(x) S (x) n = − n 为函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的余项

《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 定理13.4函数项级数∑“，(x)在D上一致收敛于S(x)一 (sups(x)-s.(. 例5、讨论几何级数∑r”在所给区间上的一致收敛性：(1)-a,a0<a<):(2)(-1,)。 三、函数项级数的一致收敛性判别法 1.用定义： 2.柯西准则（定理13-3）： 3.定理13-4（必须己知和函数S(x)才可用此判别法）： 4.定理13-5（魏尔斯特拉斯判别法，也称M判别法或优级数判别法） 设函数项级数∑4(x)定义在数集D上，∑M,为收敛的正项级数，若x∈D,有 4n(x≤Mn,n=l,2,., 则函数项级数∑4，(x)在D上一致收敛。 注：(1)应用此判别法的关键是：从u,(x)出发找到所需的M。 (2)由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 作业：P351,2,3,4,5,6

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 6 定理 13.4 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛于 S(x)  lim sup ( ) = lim sup ( ) − ( ) = 0  →  → R x S x S x n x D n n x D n 。 例 5、讨论几何级数   n=0 n r 在所给区间上的一致收敛性：（1） [−a,a](0  a  1) ；（2） (−1,1) 。 三、 函数项级数的一致收敛性判别法 1．用定义； 2．柯西准则（定理 13-3）； 3．定理 13-4（必须已知和函数 S(x) 才可用此判别法）； 4．定理 13-5（魏尔斯特拉斯判别法，也称 M 判别法或优级数判别法） 设函数项级数 1 ( ) n n u x  =  定义在数集 D 上，   n=1 M n 为收敛的正项级数，若 xD ，有 n Mn u (x)  ，n = 1,2, ， 则函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛。 注： （1）应用此判别法的关键是：从 u (x) n 出发找到所需的 M n 。 （2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。 作业：P35 1，2，3，4，5，6．