海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第八章 不定积分 8.2 换元积分法与分部积分法

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 §8.2换元积分法与分部积分法 教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法， 教学内容：第一、二换元积分法：分部积分法 基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法。 教学建议： (1)布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题， (②)总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法。 散学过程： 一、第一类换元法一一凑微分法： 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如， 求不定积分c0s2迹，如果凑上一个常数因子2，使成为 fcos2xdbx-fc0sx*2xdk-3fcos2xd(2x) 令2x=u则上述右端积分 fcos2xd(2x)-fcosud-sinw+C 然后再代回原来的积分变量x,就求得原不定积分 jos2-m2x+ 更一般的，若函数F国是函数的一个原函数，“0（④是可微函数，_ 并且复合运算F[(]有意义，根据复合函数求导法则 {F[p(x)]=F[p(x)]o'(x)=f[p(x)]o'(x) 及不定积分的定义，有 [fo(x)o(x)dx=F[o(x)+c 由于 f(u)du=F(u)+C 从

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 1 §8.2 换元积分法与分部积分法 教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法． 基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议： (1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程： 一、第一类换元法 ——凑微分法： 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如， 求不定积分 cos 2xdx  ，如果凑上一个常数因子 2，使成为 ( ) 1 1 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 xdx x xdx xd x = • =    令 2x u = 则上述右端积分 ( ) 1 1 1 cos 2 2 cos sin 2 2 2 xd x udu u C = = +   然后再代回原来的积分变量 x ，就求得原不定积分 1 cos 2 sin 2 2 xdx x C = +  更一般的，若函数 F x( ) 是函数 f x( ) 的一个原函数，  = ( x) 是可微函数， 并且复合运算 F x    ( )   有意义，根据复合函数求导法则 F x F x x f x x      ( )  ( ) ( ) ( ) ( )        = =          及不定积分的定义，有 f x x dx F x C        ( ) ( ) = + ( )      由于 f u du F u C ( ) = + ( )  从

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 而 fr[o(x)b(x)d=(Jf(u)du) (1) 综上所述，可得如下结论 定理8.4：（第一换元积分法）设四是连续函数，F(四是四的一个原函数。又若 “=()连续可微，并且复合运算/儿(]有意义，则 f[o(x)b(x)dx=(f(u)du)=F[o(x)]+c 2) 第一换元积分公式(2)说明如果一个不定积分∫8（达的被积表达式8）本能够写成 [(】]()本的形式，可通过变量代换“=p()把被积表达式等同于四血，若不定积分 f(u)du=F(u)+c 容易求得，那么再将“=（四代入F(四，便求出原不定积分 ∫g(x)k=F[p(x]+C 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式8()本变为 了[(]()本=f[p(]do()的形式。也就是把被积函数8四分解成两个因子的乘积，其 中一个因子与本凑成某一函数()的微分，而另一因子是()的函数[（刃，且经过这样 的微分变形后被积表达式[(]40（四变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积 分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练 习，不断总结经验，才能运用自如。 凑徽分法1：far+b)d=二far+b)d(cx+b)=f)du 例1、利期-2(+)(a6eRa0,求下列积分 05x=j6x+4号a(6x+),令u=3x+4有 6*=d=+c=+c 再将u=3x+4代入，有

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 2 而 ( ) ( ) ( ( ) ) u x( ) f x x dx f u du   =    =     （1） 综上所述，可得如下结论 定理 8.4：（第一换元积分法） 设 f u( ) 是连续函数， F u( ) 是 f u( ) 的一个原函数。又若 u x = ( ) 连续可微，并且复合运算 f x    ( )   有意义，则 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) u x f x x dx f u du F x C    =      = = +       （ 2） 第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分 g x dx ( )  的被积表达式 g x dx ( ) 能够写成 f x x dx     ( ) ( )   的形式，可通过变量代换 u x = ( ) 把被积表达式等同于 f u du ( ) ，若不定积分 f u du F u C ( ) = + ( )  容易求得，那么再将 u x = ( ) 代入 F u( ) ，便求出原不定积分 g x dx F x C ( ) = +    ( )    由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式 g x dx ( ) 变为 f x x dx f x d x         ( ) ( ) = ( ) ( )     的形式。也就是把被积函数 g x( ) 分解成两个因子的乘积，其 中一个因子与 dx 凑成某一函数  ( x) 的微分，而另一因子是  ( x) 的函数 f x    ( )   ，且经过这样 的微分变形后被积表达式 f x d x     ( ) ( )   变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积 分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练 习，不断总结经验，才能运用自如。 凑微分法 1： ( ) . 1 ( ) ( ) 1 ( ) f u du a f ax b d ax b a f ax + b dx = + + = 例１、利用 ( ) ( ) 1 dx d ax b a b R a , , 0 a = +   ，求下列积分 ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 4 3 4 3 4 3 x dx x d x + = + +   ，令 u x = + 3 4 有 1 4 4 3 3 3 3 1 1 3 1 3 4 3 3 4 4 x dx u du u C u C + = =  + = +   再将 u x = + 3 4 代入，有

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 ∫3x+4d=3x+4)+C ∫产产=+c 再将后代入 i+a'1+宫 j岛m+c 再将“-a代入，有 如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换“=()可以不写出米，只需默记在头脑中 就可以了。 凑微分法2、 r一=ae)=o咖，特别地，有 dd(x)udu2 例2、利用 au+可a+(a.bHeR.ar*0ra-)） 1 x“k 求下列积分

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 3 ( ) 4 3 3 1 3 4 3 4 4 x dx x C + = + +  ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 ( ) 0 1 ( ) 1 ( ) dx dx x d a a x x x a a a a = =  − − −    令 x u a = ，有 2 2 2 arcsin 1 dx du u C a x u = = + − −   再将 x x a = 代入， 有 2 2 arcsin dx x C a x a = + −  ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 1 3 [(1 ( ) )] 1 ( ) x d dx dx a a x a x x a a a = = + + +    令 x u a = 2 2 2 1 1 arctan 1 dx du u C a x a u a = = + + +   再将 x u a = 代入，有 2 2 1 arctan dx x C a x a = + +  如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换 u x = ( ) 可以不写出来，只需默记在头脑中 就可以了。 凑微分法 2、 f u du k f x d x k x f x dx k k k k ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 = = − . 特别地, 有 f x xdx f x d x f (u)du 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 = = 和 dx f ( x )d x x f x 2 ( ) = . 例２、利用 ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , 0, 1 1 x dx d ax b a b R a a      + = +    − + ， 求下列积分

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 （f5xr+7小d=j65x2+7)2d65x+7） 06r+7列ar+7列-06r+7+c_动5x+7+c (a-(-c j流司-可 2arctan+C 1+( 产 (x>0) 解：(4) 得的 府 -c何c 例3、若被积函数 得有用o咖器得.有下式 jrow得可铝±npoc 求下列积分 盒-nrc (ajm达高=-has+c jm-m产-haC 以上3例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分 的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。 例4、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 7 5 7 5 7 5 2 x xdx x d x + = + + =    ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 5 7 5 7 5 7 10 10 2 x d x x C + + =  + +  ＝ ( ) 2 1 2 5 7 20 X C + + ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1 ( ) x x x e dx e d e C x x = − = − +   ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2arctan 1 1 1 dx d x d x x C x x x x = = = + + + +    ( ) ( ) 2 2 4 0 1 dx x x x  +  解：（4） 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dx d d x x x x x x x   = − = − =   + +     +        2 2 1 1 1 2 1 1 d x x     − =             +      1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 d x x −         − + +                      1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 C C x x       = −  + + = − + +               例 ３ 、 若被积函数 ( ) ( ) ( ) , x f x x    =  利 用 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x d x f x dx dx x x      =  =  ，有如下公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) x d x f x dx dx x C x x       =  =  =  +    求下列积分 ( ) ln 1 ln ln ln ln dx d x x C x x x = = +   ( ) sin cos 2 tan ln cos cos cos x d x xdx dx x C x x = = − = − +    ( ) cos sin 3 cot ln sin sin sin x d x xdx dx x C x x = = = +    以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分 的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。 例４、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 h w 高子会 j (c sin'x 凑微分法3：f(sinx)cosxdx=fsnx)dsnx=fu)dh f(cosx)sin xdx=-f(cosx)dcosx=-f(u)du. f(igx)secxdx=f(igx)digx=f(u)du. 例5、对于5厂s血'迹与厂cos (n∈川形式的积分，当”是偶数，时可利用三角恒等式 sinx=(1-cos2x)cosx=(1+cos2x) 来降低三角函数的幂，当”是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。 0jsn达=月-cos2jk-=0-2os2x+os2h -2oas2h++cas4树] -sin2xsind C 追x-sm2x+安m4c

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 5 ( ) 2 2 1 1 1 1 2 dx dx a x a a x a x   = + =   − − +     1 1 ( ) ( ) ln 2 2 d x a d x a x a C a x a x a a x a   + − +   − = +   + − −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x dx e e dx d e dx e e e e + − + = = − = + + + +     1 1 1 (1 ) 1 1 1 1 x x x x x x x e e d e dx dx e e e e + − + + = − + = + + + +    ( ) 2 1 ln 1 1 x x e C e − + + + + ( ) 2 2 2 2 2 sin 1 1 1 3 1 1 sin 1 sin sin 1 1 sin x dx dx dx dx x x x x   = − = −   + +   +     ＝ 2 cot cot 1 2 2 cot 2 cot 1 2 x d d x x x x x + = + +   +       ＝ 1 cot arctan 2 2 x x C   + +     凑微分法 3： f (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x = f (u)du; f (cos x)sin xdx = − f (cos x)d cos x = − f (u)du; ( )sec ( ) ( ) . 2 f tgx xdx = f tgx dtgx = f u du 例５、对于 sinn xdx  与 cosn xdx  (n N  ) 形式的积分，当 n 是偶数时，可利用三角恒等式 ( ) ( ) 2 2 1 1 sin 1 cos 2 cos 1 cos 2 2 2 x x x x = − = + 来降低三角函数的幂，当 n 是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。 ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 1 1 sin 1 cos 2 1 2cos 2 cos 2 2 4 xdx x dx x x dx   = − = − +        ＝ ( ) 1 1 2 cos 2 1 cos 4 4 2 dx xdx x dx   − + + =        1 1 sin 2 sin 4 4 2 8 x x x x C     − + + +   ＝ 1 3 1 sin 2 sin 4 4 2 8 x x x C     − + +  

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 (2)fcos'xd-f(1-sin'x)cosxdx= ∫cosxds-小5sn2 xdsinx=-smx-写sn2x+C 例6、对于5∫sinaxsin d∫利B形式的积分，可利用三角函 数的积化和差公式 ()fcosxcas/巨=J[cos+回)rx+cos-x4 99 +C (2jcos2xsin3xd=[sin(2+3)x-sin(6-2)x]本」 sn5h-小sn-oasx-os5rc 例7、根据 sin x=2sin cos=2tan cos tacsex-co sinx o (0cscd=∫1 ikxC @- m+ -hc(+)-o(c Insecx+tanx+C 例8、 - 2faresin d aresin(aresinc 凑徽分法4： f(e")e'dx=f(e")de"=f(u)du

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 6 ( ) ( ) 3 2 2 cos 1 sin cos xdx x xdx = − =  2 3 1 cos sin sin sin sin 3 xdx xd x x x C − = − +   例６、 对于 sin sin , cos sin cos cos       x xdx x xdx x xdx    和 形式的积分，可利用三角函 数的积化和差公式 ( ) ( ) ( ) 1 1 cos cos 2 cos 1 2 cos 1 2 2 x xdx x x dx = + + −       1 sin 1 2 sin 1 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 x x C   + − = + +     + −   ( ) ( ) ( ) 1 2 cos 2 sin 3 sin 2 3 sin 3 2 2 x xdx x x dx = + − −      ＝ ( ) 1 1 1 sin 5 sin cos cos5 2 5 5 xdx xdx x x C   − = − +       例７、根据 2 sin 2sin cos 2 tan cos 2 2 2 2 x x x x x = = 1 cos tan csc cot 2 sin x x x x x − = = − ( ) 2 1 1 1 csc tan 2 2tan cos tan 2 2 2 x xdx dx d x x x   = = =        ln tan ln csc cot 2 x + = − + C x x C ( ) 2 2 sec ln csc cot 2 2 sin 2 d x xdx x x C x         +       = = + − + +             +     ＝ ln sec tan x x C + + 例８、 ( ) ( ) 2 arcsin arcsin arcsin 2 2 1 1 1 x x x dx dx d x x x x x = = − − −    ＝ ( ) 2 2 arcsin arcsin arcsin xd x x C = +  凑微分法 4： f (e )e dx f (e )de f (u)du. x x x x = =

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 例9、2名 凑微分法5：f查=f(nx)dhxi=f0d 例10、∫x0+2h 凑徽分法6： f(aresin x)d(aresin )daresin(dur 1-x2 f(arctgx)f(aretgx)darctgx-fuydu. 1+x2 、本-4晋- =2 arcigidarctgt (arcigt)+c=(arcig)+c. 其他凑法举例： 例、=可=e+e*e e*+ex 例13、 血= 例14∫ecx=∫cecr+g到k=∫ocr+scgk secx+fgx secx+tgx -hleselee. 例1、 1、遮 1+1 ,dx-） 例17、 （+2 1 例18、 以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变 1

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 7 例 9、  − − . 2 t e dt 凑微分法 5 ： (ln ) f (ln x)d ln x f (u)du. x dx f x = = 例 10、  + . x(1 2ln x) dx 凑微分法 6： (arcsin ) arcsin ( ) ; 1 (arcsin ) 2 dx f x d x f u du x f x = = − dx f arctgx darctgx f u du x f arctgx ( ) ( ) 1 ( ) 2 = = + . 例 11、    = + ===== + = + = dt t arctgt d x x arctg x dx x x arctg x t x 2 1 2 1 2 (1 )  = arctgtdarctgt = arctgt + c = arctg x + c 2 2 2 ( ) ( ) . 其他凑法举例: 例 12、 e e c e e d e e dx e e e e x x x x x x x x x x = + + + + = + − − − − − −   ln( ) ( ) . 例 13、   = = + 2 2  ( ln ) ( ln ) ( ln ) ln 1 x x d x x dx x x x 例 14    = + + = + + = dx x tgx x xtgx dx x tgx x x tgx xdx sec sec sec sec sec (sec ) sec 2  = + + + + = x tgx c x tgx d x tgx ln |sec | sec (sec ) . 例 15、  − + dx x x x x 5 sin cos cos sin . 例 16、  + + dx x x x x sin cos cos 5sin . 例 17、    =  +      −       − = + + = + +  2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 x x x d x dx x x x dx x x 例 18、  + + − dx x x x 2 2 5 2 . 以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。 习题：P188-1891(1)~(24): 二、第二类换元法 从积分∫cos21d出发，从两个方向用凑微法计算，即 小-二-m27dsn1=josh-+eas2h=+n2+c, 在式(1)中，如果()连续可微且(y)定号，式(2.)中左端的不定积分 Jf[o(x)lo(x)dx=F(x)+C 容易求得，并且=p()是！=()的反函数，则式(2)右端的不定积分 ∫/恤=F['(]+C。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定理8.5（第二换元积分法）：设()是连续函数，（冈是连续可微函数，且(）定号， 复合运算f[o(]有意文。设F0是f[]o'0的一个原函数， 即∫r[p)aodh=F0+c 则 ∫f本=f[]o'0dww.F[o(]+c (3) 其中。'()是)的反函数 正明：有定理假设（四定号，故函数0存在反函数9（四，又 r9-ooi0 tu小四-w-0pnol （[0]lre=f 可见F[9(】是式(3)左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式(3)成立. 第二换元积分法指出，求式(3)左端不定积分，作变量代换水=00，从而 f)=f[,本=p0d,于是

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 8 形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。 习题：P188—189 1（1）～(24)； 二、第二类换元法 从积分  tdt 2 cos 出发，从两个方向用凑微法计算，即   − ==== − = x dx td t x t 1 1 sin sin 2 sin 2 = tdt  2 cos =  + = + sin 2 + , 4 1 2 1 (1 cos 2 ) 2 1 t dt t t c 在式（１）中，如果   ( x x )连续可微且 ( )定号，式(2.1)中左端的不定积分 f x x dx F x C     ( ) ( ) = + ( )    容 易 求 得 ， 并 且 ( ) ( ) 1 x u u x   − = = 是 的反函数 ，则式（ 2 ） 右 端 的 不 定 积 分 ( ) ( ) 1 f u du F x C  − = +      。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定理 8.5（第二换元积分法）:设 f x( ) 是连续函数，  ( x) 是连续可微函数，且 ( x) 定号， 复合运算 f t    ( )   有意义。设 F t( ) 是 f t t     ( ) ( )   的一个原函数， 即 f t t dt F t C     ( ) ( ) = + ( )    则 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) 1 t x f x dx f t t dt    − = =        = ( ) 1 F x C  −   +   （3） 其中 ( ) ( ) 1   x t − 是 的反函数。 证明：有定理假设 ( x) 定号，故函数  (t) 存在反函数 ( ) 1  u − ，又 ( ) ( ) ( ) dF t f t t dt =       于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 t x d dt dF t F x f t t dx dt dx t      − − =       = =                   ( ) 1 t x  − = = ( ( ) ) ( ) 1 ( ) t x f t f x   − =   =   可见 ( ) 1 F x  −     是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立。 第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换 x t = ( ) ，从而 f x f t dx t dt ( ) = =     ( ) , ( )   ，于是

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 ∫f(x=∫f[p()]' 若 上 式 右 端 的 不定 积 分 ∫f[p()]p'()d=F0+c (4) 容易求出，那么再代回原来的变量=p(),便求出原不定积分 ∫f(x=F[p'(x)]+C 由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换x=0),从而使式(4)的不定 积分容易求出。那么如何选择变换x=0呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积 函数中有根式，一般选择适当的变换=0来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积 分容易求出。 常用代换有所谓无理代换，三角代换，双曲代换，倒代换，万能代换，ulr代换等 以下我们着重介绍三角代换和无理代换。 1、三角代换 (1)正弦代换：正弦代换简称为“弦换”.是针对型如√a2-x2(a>0)的根式施 行的，目的是去掉根号.方法是：令x=asm1,(a>0),则 =acos1,ds=acostdlt,arcsin 例19、计算∫匠-在a>0 解，令as4-号1号则=n后-a≤x50,且 N后-F==acos1,k=os,从而 j后-h.J小oso=afcos2d=j0+cos2h g引+n2c-号+号1+c 由图2.1知 cos1=a- a- 图2

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 9 f x dx f t t dt ( ) =     ( ) ( )     若 上 式 右 端 的 不 定 积 分 f t t dt F t C     ( ) ( ) = + ( )    （4） 容易求出，那么再代回原来的变量 ( ) 1 t x  − = ，便求出原不定积分 ( ) ( ) 1 f x dx F x C  − = +      由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理 8.5 条件的变换 x t = ( ) ，从而使式（4）的不定 积分容易求出。那么如何选择变换 x t = ( ) 呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积 函数中有根式，一般选择适当的变换 x t = ( ) 来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积 分容易求出。 常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等. 以下我们着重介绍三角代换和无理代换. 1、三角代换 （1）正弦代换：正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 2 2 a − x (a  0) 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令 x = asin t, (a  0) , 则 cos , 2 2 a − x = a t dx = a costdt, arcsin . a x t = 例 19、计算 ( ) 2 2 a x dx a −  0  解：令 sin , , arcsin , 2 2 x x a t t t a x a a   = −   = −   则 ，且 2 2 a x a t a t dx a tdt − = = = cos cos , cos , 从而 2 2 a x dx −  = ( ) 2 2 2 cos . cos cos 1 cos 2 2 a a t a tdt a tdt t dt = = +    = 2 2 2 1 sin 2 sin cos 2 2 2 2 a a a t t C t t t C     + + = + +   由图 2.1 知 2 2 sin cos x a x t t a a − = =

《数学分析》教案 第八章不定积分 海南大学数学系 所以小G-号sn子+匠C a 2 aa gm子5FF+c (2)正割代换：正割代换简称为“割换”.是针对型如√x2-a2(a>0)的根式施 行的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sec21-1=g21,令x=asec1, 有√2-a2=ag,k=xsec1~1g1d.变量还愿时，常用辅助三角形法. 例20、计算F-后 (a>0) 解令0e学1号号1K时.a0存在反漏散m后】 “a。这里仅讨论 00)的根式施行 的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sCc21-1g21=1,即1+g21=sCc21, 令x=g,本=asec2d.此时有+r=asec41=amcg后变量还原时，常用所 谓辅助三角形法

《数学分析》教案 第八章 不定积分 海南大学数学系 10 所以 2 2 a x dx −  = 2 2 2 2 arcsin 2 2 a x a x a x C a a a − +  + = 2 2 2 arcsin 2 2 a x x a x C a + − + （2）正割代换：正割代换简称为“割换”. 是针对型如 2 2 x − a (a  0) 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 sec 1 , 2 2 t − = tg t 令 x = asect, 有 , 2 2 x − a = atgt dx = x sec t tgtdt. 变量还愿时, 常用辅助三角形法. 例 20、计算 ( ) 2 2 0 dx a x a  −  解“令 sec , 0 sec 2 2 x a t t t x a t   =     = 当 或 时，  存在反函数 arcsin x t a = 。这里仅讨论 0 2 t    的情况，同法可讨论 2 t     的情况。 由于 0 2 t    0<t< 2  ， 2 2 x a a t a t dx a t tdt − = = = tan tan , tan sec ，从而 2 2 1 tan sec tan dx a t tdt a x a t =  = −   sec ln sec tan tdt t t C = + +  由图 2.2 知， 2 2 sec tan x x a t t a a − = = ，所以 2 2 2 2 ln dx x x a C a x a a − = + +  −  2 2 = + − + ln x x a C 这里 C C a = −  ln （3）正切代换： 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 2 2 a + x (a  0) 的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 sec 1, 2 2 t − tg t = 即 1 sec , 2 2 + tg t = t 令 x = atgt, dx a tdt 2 = sec . 此时有 sec , 2 2 a + x = a t . a x t = arctg 变量还原时, 常用所 谓辅助三角形法