《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 第五章导数与微分 引言 导数与微分是数学分析的基本概念之一.导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的.导 数的概念在于刻划瞬时变化率，微分的概念在于刻划瞬时改变量， 求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分.本章主要 内容如下： 1.以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义： 2.给出求导法则、公式，继而引进微分的概念： 3.讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法： 4.可导与连续，可导与微分的关系. 导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本 章内容意义非凡. 总起来讲：1)什么是导数？ 2)导数有何用？ 3)怎么算导数？ 4)什么是微分？为什么引进？怎么算？ §1导数的概念 教学章节：第五章导数与微分一一§1导数的概念 教学目标：使学生准备掌握导数的概念.明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数 的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题. 教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义：明确其实际背景并给出物理、几何解释 能够从定义出发求某些函数的导数：知道导数与导函数的相互联系和区别：明确导数 与单侧导数、可导与连续的关系：能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应 用为体：会求曲线上一点处的切线方程。 教学重点：导数的概念 教学难点：导数的概念 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 1 第五章 导数与微分 引 言 导数与微分是数学分析的基本概念之一.导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的.导 数的概念在于刻划瞬时变化率.微分的概念在于刻划瞬时改变量. 求导数的运算被称为微分运算,是微分学的基本运算,也是积分的重要组成部分.本章主要 内容如下： 1．以速度问题为背景引入导数的概念,介绍导数的几何意义; 2．给出求导法则、公式,继而引进微分的概念; 3．讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法; 4．可导与连续,可导与微分的关系. 导数与微分有广泛的应用,特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具,因此学好本 章内容意义非凡. 总起来讲：1） 什么是导数？ 2） 导数有何用？ 3） 怎么算导数？ 4） 什么是微分？为什么引进？怎么算？ §1 导数的概念 教学章节：第五章 导数与微分——§1 导数的概念 教学目标：使学生准备掌握导数的概念.明确其物理、几何意义,能从定义出发求一些简单函数 的导数与微分,能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题. 教学要求：深刻理解导数的概念,能准确表达其定义;明确其实际背景并给出物理、几何解释; 能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的相互联系和区别;明确导数 与单侧导数、可导与连续的关系;能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应 用为体;会求曲线上一点处的切线方程. 教学重点：导数的概念. 教学难点：导数的概念. 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 教学过程： 一、导数的定义 (一)引言（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践具体来讲，导数的思想最初是有法国 数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的.后经牛顿、莱布尼兹(Leibuiz)等数学家的 努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题. f()-f(%o)-ga 几何背景x=X+△x,△r=x-x0, x-Xo 表示割线PP的斜率，当 X→时(r→0)，割线PP趋向于一个极限位置，为曲线在P的切线，其斜率ga,=) 即为fx)在xo点导数， ga=Rga=典@-） x-Xo 物理背景y=),1表时间，'表质点运动位移，1表时间增量：1→1+M；A少表位移 增量：f0→f0+Ay=fU+a,Ay=fU+M)-f0,这样 △y 1表示1→t+M时间内平均速度， 典是=0表示0在1时刻的即时速度 )=∫0也是时间的函数，我们还可对它求导，'0=)称为加速度，如此下去还有加加速 度，比如自由落体： 5=820=s0=m8+A-gr (g1+8)=g1.a=v=m8+A-80-g 上述两问题中，第一个是几何学的问题，后一个是物理学问题，分属不同的学科，但问题都归 结到求形如 典 的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 2 教学过程： 一、 导数的定义 (一) 引言（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践.具体来讲,导数的思想最初是有法国 数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的.后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz）等数学家的 努力,提炼出了导数的思想,给出了导数的精确定义. 在引入导数的定义前,先看两个与导数概念有关的实际问题. 几何背景 x = x + x 0 , 0 x = x − x , tg x x f x f x = − − 0 0 ( ) ( ) 表示割线 p0 p 的斜率,当 0 x → x 时 (x → 0) , 割线 p0 p 趋向于一个极限位置,为曲线在 0 p 的切线,其斜率 ( ) 0 0 tg = f x 即为 f (x) 在 0 x 点导数, ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 0 f x x x f x f x t g t g x x x x = − − = = → → . 物理背景 y = f (t) ,t 表时间, y 表质点运动位移, t 表时间增量： t →t + t ; y 表位移 增量： f (t) → f (t) + y = f (t + t), y = f (t + t) − f (t) ,这样 t y 表示 t →t + t 时间内平均速度, lim ( ) 0 f t t y t = → 表示 f (t) 在 t 时刻的即时速度. v(t) = f (t) 也是时间的函数,我们还可对它求导, v(t) = a(t) 称为加速度,如此下去还有加加速 度,。 比如自由落体: 2 2 1 s = g t , t g t t g t v t s t t + − = = → 2 2 2 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ) lim , g t g t g t t + = → lim ( ) 2 1 0 . g t g t t g t a v t = + − = = → ( ) ( ) lim 0 . 上述两问题中,第一个是几何学的问题,后一个是物理学问题,分属不同的学科,但问题都归 结到求形如 0 0 ( ) ( lim 0 x x f x f x x x − − → ） 的极限问题.事实上,在学习物理学时会发现,在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如(1)的极限问题。为了统一解决这些问题，引进 “导数”的概念，即称之为“f在点x,处的导数”，记作了(x) 1、导数的定义 定义1（导数）设函数y=f(x)在x,的某邻域内有定义，若极限 -0 存在，则称函数∫在点x处可导，并称该极限为了在点x。处的导数，记作了(x).即 ,)=m-f x-Xo 若上述极限不存在，则称f在点。处不可导. 2、用导数定义求导数的几个例子 例1求f(x)=x在点x=1处的导数，并求曲线在点(1)处的切线方程 例2证明函数fx)x在x=0处不可导， 例3fx)=C(C是常数)，则P(x)=0 3、可导与连续的连续 定理5.1若函数f在点x。可导，则f在点x。连续。 证明如果f()在x点可导，当△x→0时 )=).)+0) △r 所以如果(x)在x点可导，它在该点必连续」 反过来，我们举一个反例， f)=,当x=0时连续，但 如0如名0 当△x→0时，极限不存在，故不可导. 注∫若在点x不连续，则∫在x。必不可导. 上述反例中定义导数的双侧极限不存在，但单侧极限是存在的，我们称之为单侧导数.一般 地我们可以定义 4、导数的概念 定义2（右导数）设函数y=fx)在点x,的某右邻域(x,x+6)上有定义，若右极限 3
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 3 尽管其背景各不相同,但最终都归化为讨论形如（1）的极限问题.为了统一解决这些问题,引进 “导数”的概念,即称之为“ f 在点 0 x 处的导数”,记作 '( ) 0 f x . 1、导数的定义 定义 1（导数） 设函数 y = f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义,若极限 0 0 ( ) ( lim 0 x x f x f x x x − − → ） 存在,则称函数 f 在点 0 x 处可导,并称该极限为 f 在点 0 x 处的导数,记作 '( ) 0 f x .即 0 0 0 ( ) ( '( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → ）. 若上述极限不存在,则称 f 在点 0 x 处不可导. 2、 用导数定义求导数的几个例子 例 1 求 2 f (x) = x 在点 x =1 处的导数,并求曲线在点 (1,1) 处的切线方程. 例 2 证明函数 f (x) =| x | 在 x = 0 处不可导. 例 3 f (x) = C （C 是常数）,则 f '(x) = 0 . 3、可导与连续的连续 定理 5.1 若函数 f 在点 0 x 可导,则 f 在点 0 x 连续. 证明 如果 f (x) 在 x 点可导,当 x →0 时 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x x f x x f x f x x f x x → + = + − + = + , 所以如果 f (x) 在 x 点可导,它在该点必连续. 反过来,我们举一个反例, f (x) = x ,当 x = 0 时连续,但 − = = + − 1 0 1 0 sgn (0 ) (0) x x x x f x f , 当 x →0 时,极限不存在,故不可导. 注 f 若在点 0 x 不连续,则 f 在 0 x 必不可导. 上述反例中定义导数的双侧极限不存在,但单侧极限是存在的,我们称之为单侧导数.一般 地我们可以定义 4、 导数的概念 定义 2 （右导数） 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某右邻域 ( , ) x0 x0 + 上有定义,若右极限
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 是-g5+10<A<6) 存在，则称该极限为了在点x的右导数，记作，'(x): 左导数人)器 左、右导数统称为单侧导数 Dx)-0, 「1，x有理数， 例4 Dirichlet函数 x无理数 讨论下列函数在x=0连续性，可导性. (1)D),(2)xDx),(3)x2Dx). 解(1)D()在x=0间断，是第二类间断点 (2)xDx)在x=0连续，但不可导. Ax.D(AX)=D(Ax) △x 当△x→0时不存 在极限. (3)x2D()在x=0连续，且可导，导数为 (△r2.Da)-0=Ar-D(ar)-→0 Ar 例5 5=m0 0,x=0 (1)S(x)在x=0间断，是第二类间断点。 (2)xS)在x=0连续，不可导，甚至单侧导数也不存在 (3)xSx)在x=0连续，可导，导数为0. 06已蜘w车在，则回50-2 h 四飞-) h 巴K+,-画k+-.-的）4 h h h 二、导函数
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 4 x f x x f x x y x x + − = → + → + 0 0） 0 0 ( ) ( lim lim 0 0 （ 0 x ） 存在,则称该极限为 f 在点 0 x 的右导数,记作 '( ) 0 f x + . 左导数 x y f x x = − → − 0 0 0 '( ) lim . 左、右导数统称为单侧导数. 例 4 Dirichlet 函数 = ， 。 ， 无理数 有理数 x x D x 0 1, ( ) 讨论下列函数在 x = 0 连续性,可导性. （1） D(x) , （2） xD(x) , （3） ( ) 2 x D x . 解 （1） D(x) 在 x = 0 间断,是第二类间断点. （2） xD(x) 在 x = 0 连续,但不可导. ( ) ( ) D x x x D x = 当 x →0 时不存 在极限. （3） ( ) 2 x D x 在 x = 0 连续,且可导,导数为 ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 = → − x D x x x D x . 例 5 = = 0 , 0 , 0 1 sin ( ) x x S x x （1） S(x) 在 x = 0 间断,是第二类间断点. （2） xS(x) 在 x = 0 连续,不可导,甚至单侧导数也不存在. （3） ( ) 2 x S x 在 x = 0 连续,可导,导数为 0 . 例 6 已知 f (x ) 0 / 存在,则 = + → h f(x 2h) - f(x ) lim 0 0 h 0 2f (x ) 0 / = − → h f(x 5h) - f(x ) lim 0 0 h 0 5f (x ) 0 / − h f(x h) - f(x ) h f(x 3h) - f(x ) lim h f(x 3h) - f(x - h) lim 0 0 0 0 h 0 0 0 h 0 − − + = + → → 4f (x )0 / = 二、导函数
《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 (一)可导函数 若函数「在区间1上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称「为I上的可导 函数 (仁)导函数 1、函数在x。点的导数与导函数的区别与联系 区别导数是就一点而言的，是一个确定的数，一般与所给函数以及x。的值均有关，与△x无 关：导函数是就一个区间而言的，是一个确定的函数，与所给函数有关，与x、△x均无关。 联系函数在某点的导数就是导函数在该点的值，因此，∫在x。的导数也记为： 密lw)- 4导数与左、右导数的关系： 定理5.2若函数y-f(x)在点x的某邻域内有定义，则f(xo)存在一∫，'(x),'(xo)都 存在，且'(x)=f'(x. 例7设/=020讨论倒在x=0处的左、右号数与导数。 x,x0.a+Lx>0). 特别地：山= 三、导数的几何意义 =- 曲线y=f(x)在点(x,)的切线方程：y-片。=了(x,(x-x) 法线方程：y-%=-o) 例9求曲线y=x在点P(x,)处的切线方程与法线方程。 作业教材P94一953,8,9,10,12
《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 5 (一) 可导函数 若函数 f 在区间 I 上每一点都可导（对区间端点,仅考虑单侧导数）,则称 f 为 I 上的可导 函数. (二) 导函数 1、 函数在 0 x 点的导数与导函数的区别与联系 区别 导数是就一点而言的,是一个确定的数,一般与所给函数以及 0 x 的值均有关,与 x 无 关;导函数是就一个区间而言的,是一个确定的函数,与所给函数有关,与 x 、x 均无关. 联 系 函数在某点的导数就是导函数在该点的值,因 此, f 在 0 x 的导数也记 为： 0 ' x x y = , 0 x x dx dy = , 0 '( ) ' 0 x x f x f = = . 导数与左、右导数的关系： 定理 5.2 若函数 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域内有定义,则 '( ) 0 f x 存在 '( ) 0 f x + , '( ) 0 f x − 都 存在,且 '( ) 0 f x + = '( ) 0 f x − . 例 7 设 , 0 1 cos , 0 ( ) { − = x x x x f x 讨论 f (x) 在 x = 0 处的左、右导数与导数. 注 函数在一点处的导数,不仅与函数在该点的函数值有关,而且还与函数在该点左、右两 边的表达式有关.讨论分段函数在分段点处的导数,应用导数的定义. 例 8 证明（ⅰ） 1 ( )' − = n n x nx ,（ n 为正整数）;（ⅱ） (sin x)'= cos x ,(cos x)'= sin x ;（ⅲ） e x x a a log 1 (log )'= , (a 0,a 1, x 0) . 特别地： x x 1 (ln )'= . 三、导数的几何意义 '( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x x x f x f x k x x = − − = → 曲线 y = f (x) 在点 ( , ) 0 0 x y 的切线方程： '( )( ) 0 0 0 y − y = f x x − x ; 法线方程： ( ) '( ) 1 0 0 0 x x f x y − y = − − . 例 9 求曲线 3 y = x 在点 ( , ) 0 0 P x y 处的切线方程与法线方程. 作业 教材 P94—95 3,8,9,10,12