海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第六章 微分中值定理及其应用 6.2 Rolle Lagrange Cauchy定理的进一步应用

《数学分折》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 §6.2 Rolle Lagrange Cauchy定理的进一步应用 教学章节：第六章微分中值定理及其应用-6.2 Rolle Lagrange Cauchy定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法：掌握L'Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极 限 教学要求：熟练掌握L'Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限，深刻 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件：熟练掌握运用导数判断函数 单调性与单调区间的方法：能利用函数的单调性证明某些不等式 教学重点：利用函数的单调性，L'Hospital法则 教学难点：L'Hospital法则的使用技巧：用辅助函数解决问题的方法： 教学方法：问题教学法，结合练习 教学过程： 一、中值定理与函数的单调性 定理1设f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上递增（减）一f(x)≥0（≤0）： 注1这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间. 例1设f(x)=x-x,试讨论函数f的单调区间. 注2从实现充分性的证明中发现，若f(x)>0(fx)x)0(1+x 3

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 §6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用—6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法；掌握 L’Hospital 法则,或正确运用后求某些不定式的极 限. 教学要求：熟练掌握 L’Hospital 法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数 单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式. 教学重点: 利用函数的单调性,L’Hospital 法则 教学难点: L’Hospital 法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；. 教学方法: 问题教学法,结合练习. 教学过程: 一、中值定理与函数的单调性 定理 1 设 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上递增（减）    f x ( ) 0( 0) . 注 1 这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性,确定单调区间. 例 1 设 3 f x x x ( ) = − ,试讨论函数 f 的单调区间. 注 2 从实现充分性的证明中发现,若 2 1 f x f x f x ( ) 0( 0) ( ) ( )     2 1 ( ( ) ( )) f x f x  ,即 f 严 格递增（减）,从而有如下推论： 推论 设函数 f 在区间 I 上可微,若 f x ( ) 0( 0)   ,则 f 在 I 上严格递增（减）. 注 3 上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件. 定理 2 若函数 f 在(a,b)内可导,则 f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对 一切 x a b ( , ) ,有 f x ( ) 0( 0)   ；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上 f x ( ) 0  . 注 4 一个问题：f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内严格递增（减）,那么 f(x)在[a,b]上是 否一定严格递增（减）呢？ 答案：不一定. 推论 若 f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内严格递增（减）,且 y=f(x)在右端点 a 右连续, 则 f 在[a,b]上变为严格递增（减）,对左端点 b 也有类似讨论. 例 2 证明等式：当 x  0 时, 1 x e x  +

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 卵证明>0时，m>- 例4已知f+∫≠0，证明：f(x)=0至多只有一个根 证明方程：x-0只有-个根x=0: 二、中值定理与不定式极限 (一)什么是不定式极限 在第3章函数的根限的学习中我们肉道：000)=0，但册不一定是无穷小量，甚至 于两个无穷小量极限不存在，例如： )当x→0，sm=00.=00,g=10,即-0： 2当x0f-0.=00.=00： (3)当x→0，x=00x=00,m不存在. 由此可见，两个无穷小量之比的极限是不确定的，于是我们把这种类型的极限称为“。”型 的不等式极限. 除了型不等式极限外，还有许多类型的不等式极限，如：(i)二型：(i)0-∞型：（甜） 0∞型：(iv)0°型：(v)广型：(vi)0,∞型等，其中最基本的是。型和型，其它类型都 可化成这两种基本类型来解决 (仁)。不定式极限的计算 当只得号时因意在于极果自的层失效！务母一学，在之能我是 助于一1政等价变换来解决这两种解决有些同医是有效的，但造墙的是起一得化为 一类型时，或寻求等价变换时往往需要很大的运算量，甚至很难找到等价量 州= 州 为此，我们引进求解这类极限的更为有效的工具-L'Hospital(洛必达法则).（有的同学 4

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 例3 证明： x  0 时, 3 sin 3! x x x  − 例4 已知 f f +  0 ,证明： f x( ) 0 = 至多只有一个根 例5 证明方程： sin 0 2 x x − = 只有一个根 x = 0 . 二、中值定理与不定式极限 (一) 什么是不定式极限 在第 3 章函数的极限的学习中我们知道：0(1)+0(1)=0(1),但 0(1) 0(1) 不一定是无穷小量,甚至 于两个无穷小量极限不存在,例如： （1）当 x →0 , sin 0(1) x = , x = 0(1) , 0 sin lim 1 0 x x → x =  ,即 sin 0(1) x x  ； （2）当 x →0 , 2 x = 0(1) , x = 0(1) , 2 0 lim 0 x x → x = ,即 0(1) x x = ； （3）当 x →0 , 2 x = 0(1) , x = 0(1) , 2 0 lim x x → x 不存在. 由此可见,两个无穷小量之比的极限是不确定的,于是我们把这种类型的极限称为“ 0 0 ”型 的不等式极限. 除了 0 0 型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如：（ⅰ）   型；（ⅱ）  −  型；（ⅲ） 0 型；（ⅳ） 0 0 型；（ⅴ） 1  型；（ⅵ） 0  , 0  型等,其中最基本的是 0 0 型和   型,其它类型都 可化成这两种基本类型来解决. (二) 0 0 不定式极限的计算 当 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 是 0 0 型时,困难在于极限商的运算失效！例： 2 0 1 cos lim x x → x − . 在此之前,我们是借 助于 0 sin lim 1 x x → x = 或等价变换来解决.这两种解决有些问题是有效的,但遗憾的是把 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 化为 0 sin lim x x → x 类型时,或寻求等价变换时往往需要很大的运算量,甚至很难找到等价量. 例 2 1 cos lim x x → tan x + . 例 1/ 2 2 0 (1 2 ) lim ln(1 ) x x e x → x − + + . 为此,我们引进求解这类极限的更为有效的工具－L’Hospital（洛必达法则）.（有的同学

《数学分折》上册教案 第六意微分中值定理及其应用 浙南大学数学系 可能会有疑问：既然这么好的工具，为什么不早介绍呢？因为L'Hospital法则要使用函数的导 数，而且其理论依据在中值定理，所以放在中值定理的应用中来讲)， (型极限的)洛必达法则 定理1设 1Df,8)在U,(c⊙)上连续，且m)=8)=0, 2)f(x),g(x)在U(a)上可导，且8'(x)≠0， 得 (k为有限或±0)， 一得-得-大 f()=k 正明先证丹gW ,由1)，我们补充定义fa=a)=0,则f,8成为在[a-6,d连 续，(a-d,a上可导函数.x∈(a-d,a,x),(x)在x,a满足 Cauchy中值定理条件，所以有 f(x)f(x)-f(a)fla+ax-a)] gx)g(x)-g(a)g1a+x-a】,0<0<1, 巴 网腿得经地来有侣 注把x→a改为x→a+0或x→a-0结论也成立. 定理2设 1)f),86)在(a,+o)连续，且血④)=血8)=0 2)f,g)在a+o)可导，且gx)≠0， ”(k为有限或±0,0)， f(x)=k 证明先算极限，然后再验证条件

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 可能会有疑问：既然这么好的工具,为什么不早介绍呢？因为 L’Hospital 法则要使用函数的导 数,而且其理论依据在中值定理,所以放在中值定理的应用中来讲）. （ 0 0 型极限的）洛必达法则 定理 1 设 1） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上连续,且 = → lim f (x) x a lim ( ) = 0 → g x x a , 2） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x a =   → ( ) ( ) lim （ k 为有限或   ）, 则 k g x f x g x f x x a x a =   = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim . 证明 先证 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim ,由 1）,我们补充定义 f (a) = g(a) = 0 ,则 f , g 成为在 [a − ,a] 连 续, (a −  ,a) 上可导函数.x (a − ,a) , f (x) , g(x) 在 [x,a] 满足 Cauchy 中值定理条件,所以有 [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a x a f a x a g x g a f x f a g x f x  + −  + − = − − =   , 0  1, 由 3）, k g a x a f a x a x a =  + −  + − → − [ ( )] [ ( )] lim 0   ,所以 k g x f x x a = → − ( ) ( ) lim 0 . 同理 k g x f x x a = → + ( ) ( ) lim 0 ,综合起来有 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim . 注 把 x →a 改为 x →a + 0 或 x →a −0 结论也成立. 定理 2 设 1） f (x) , g(x) 在 (a,+) 连续,且 = →+ lim f (x) x lim ( ) = 0 →+ g x x , 2） f (x) , g(x) 在 (a,+) 可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x =   →+ ( ) ( ) lim （ k 为有限或  , ）, 则 k g x f x x = →+ ( ) ( ) lim . 证明 先算极限,然后再验证条件

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 L re- 瑞 其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件.不妨设a>0,(),在0，》上连续，且 m=m8)=0,且f,8》在0，)可导，且 [gr=g}X-)0,有 注把x→+换成x→-0和x→0也有相应的结论 若函数f和g满足：（)m)=m8)=0:(2)在点，的某空心邻城内两者都可导， 且：o=得A得得A 例1=？ shx-x chx-1 shx 解 例2虫- 1 解 m1e2证卿1-e产m-20=克x=. 例3m写-arcdg)=? 他写0m哪e子： 1 1+x2=1 要 例4椰-e 例5 子、巴型不定式极限的'Hospital法则

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 ( ( ) ( ( ) lim [ ( [ ( lim ( ( lim ( ) ( ) lim 2 2 0 0 0 1 ) 1 1 ) 1 )] 1 )] 1 ) 1 ) 1 t t t t t t t t g f g f g f g x f x x t t t  −  − =   = = →+ → + → + → + ) 1 ( ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 0 t k x g x f x g f t x t t = =   =   = → + →+ 。 其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件.不妨设 a  0 , ( ) 1 t f , ( ) 1 t g 在 (0, ) 1 a 上连续,且 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) 0 t t t t f g → + → + = = ,且 ( ) 1 t f , ( ) 1 t g 在 (0, ) 1 a 可导,且 [ ( )] ( )( ) 0 2 1 1 1  =  −  t t t g g ,有 k g f t t t =   → + [ ( )] [ ( )] lim 1 1 0 . 注 把 x → + 换成 x →− 和 x → 也有相应的结论. 若函数 f 和 g 满足：（1） 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x → → = = ；（2）在点 0 x 的某空心邻域内两者都可导, 且 g x ( ) 0  ；（3） 0 ( ) lim ( ) x x f x A → g x  =  ,则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x  = =  . 例 1 ? sin lim 0 = − − → x x shx x x 解 1 cos lim sin lim cos 1 1 lim sin lim 0 0 0 0 = − − = − = − − = − − → → → → x chx x shx x chx x x shx x x x x x . 例 2 ? 1 lim 0 2 = − x→ + x e x 解 2 1 2 1 lim 1 lim 1 lim 2 0 2 0 2 0 = − − = − = − → + → + → + t t t x x t e e t e x ( ) 2 x = t . 例 3 lim ( ) ? 2 − = →+ x arctg x x  解 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 2 2 1 2 2 = − + − = − − = →+ →+ →+ x x arctg x x arctg x x x x x   . 例 4 0 lim 1 x x x e → + − 例 5 3 0 1 lim x x e → x − 3、   型不定式极限的 L’Hospital 法则

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 定理3设 1)f),8()在U,(a上连续，且f闭=0，mg)=∞ 2)f(x,()在U(a)可导，且g'(x)≠0， 得 、(有限或士∞，0)， 则中得 证明只对闪0,由3)，6>0，当a-8<5<a时，有 f"且-<E g'5)"3 x∈(a-d,a),在[a-d,上应用Cauchy中值定理，得 f)-f-k=f但-k g(x)-g(x) 8)，这里￥=a-, 即 f-kg-)-gx川=[组-klg-gs】 故 Lg(5) 得-[得-} 8(x) 又于品，=有-0点0g 8(r) ,所以36，使得当a-d<x<a 时，有 s号 g(x) 令6=mim6,6),当a-6<x<a时，有 -器-a ≤骨+号-8

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7 定理 3 设 1） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上连续,且 =  → lim f (x) x a , =  → lim g(x) x a , 2） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x a =   → ( ) ( ) lim （有限或  , ）, 则 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim . 证明 只对 k   和 x →a −0 情况证明.   0,由 3）,  1  0,当 a − 1    a 时,有 ( ) 3 ( )    −    k g f , ( , ) x a − 1 a ,在 [ , ] 1 a − x 上应用 Cauchy 中值定理,得 k g f k g x g x f x f x −   − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1   , 这里 1 = a − 1 x , 即 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 1 1 k g x g x g f f x f x k g x g x −       −   − − − =   故 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 1 1 k g x g x g f f x k g x f x k g x −       −   − − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 g x f x k g x g x g x k g f k g x f x − +      −       −   − =   . 又由于 =  → − lim ( ) 0 g x x a ,有 0 ( ) ( ) ( ) lim 1 1 0 = − → − g x f x kg x x a , 0 ( ) ( ) lim 1 0 = → − g x g x x a ,所以  2 ,使得当 a − 2  x  a 时,有 ( ) 2 ( ) ( ) 1 1   − g x f x kg x , 2 1 ( ) ( )1  g x g x 令 min( , )  =  1  2 ,当 a −  x  a 时,有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 g x f x k g x g x g x k g f k g x f x − − − +   −         + = 2 3 2 3

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用】 海南大学数学系■ 得大 定理4设 1)f),8()在a,+四)上连续，且m8)= 2)fx),g(x在(a,+o)上可导，且g'(x)≠0， 品得有限我，. 则二得典得大 证明可类似于由定理1证明定理2的过程给出证明，这里省略。 In x 例4血=？e>0) 1 解 例5=若-？a≥0 期若地g.-小g -=0 e 无穷大量是“梁山泊排座次”：x→+∞ <hhx<hx<x4<0<a<a)<e<e< .<hhn<hn<nm<n(0<a1<a2)<l<. 例6证明函数 =京0. 0(x=0), 在(-，+0)上无穷次可微. 运男当0子中 当x=0时， 0fx)-f0)=limx=四1Gs) e-2

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 8 即 k g x f x x a = → − ( ) ( ) lim 0 . 定理 4 设 1） f (x) , g(x) 在 (a,+) 上连续,且 =  →+ lim g(x) x , 2） f (x) , g(x) 在 (a,+) 上可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x =   →+ ( ) ( ) lim （有限或   ,  ）, 则 k g x f x g x f x x x =   = →+ →+ ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim . 证明 可类似于由定理 1 证明定理 2 的过程给出证明,这里省略. 例 4 ? ln lim = →+  x x x (  0) 解： 0 1 lim lim ln lim 1 1 = = = →+ − →+ →+    x x x x x x x x . 例 5 lim = ? →+ x x e x  (  0) 解 0 ( 1) ( [ ]) lim lim lim 1 [ ] 1 = − − = = = − − →+ − →+ →+ x x x x x x e x e x e x            . 无穷大量是“梁山泊排座次”： x → +          x e x x x x e e x ln ln ln (0 ) 1 2 1 2      ln ln n  ln n  n 1  n 2 (0 1  2 )  n! 例 6 证明函数     =  = − 0 ( 0), ( 0), ( ) 2 1 x e x f x x 在 (−,+) 上无穷次可微. 证明 当 x  0 时, 2 1 3 2 ( ) x e x f x −  = ； 当 x = 0 时, ) 1 ( 1 lim lim ( ) (0) (0) lim 2 1 0 0 2 t x t t e x e x f x f f t x x x = = = − = − → − → →

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系■ 1 且f)=0,feC'←a+o. 2.京g0 假设 0 (《=0),已证n=1时，它是对的，设n时成立，我们看n+1阶导 数，x≠0时 o[居份 =Rn(（月）e fo=.e产 0=0( 从f(x)表达式，易知fm(x)∈C(-0,+),所以f(x)∈C(-o,+)】 类似定义函数 5(x)= e,x>0 0,x≤0 可证5∈C“(-0,+∞)，这是一个很有用的函数，稍加改造我们可以构造如下函数： 5(4-x2) )=4-x)+5x2-0 则∈C(-0+),且x)=1,≤1， 0<x)<1.1<<2,x)=0. ≥2这个函数非常有用。 使用。型和二型求极限的L'Hospital法则应注意的一些问题： (1)不能对任何比较类型的极限都用L'Hospital法则来求解，必须是。型和2型才可 以： (2)）若四得不存在就不能用，但这不意味着一得不存在， (3)可以使用L'Hospital法则，但出现循环现象，无法求出结果，此时只能寻求别的方

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 9 0 2 1 = lim 2 = lim 2 = → → t t t t e te t . 且 lim ( ) 0 0  = → f x x , ( ) ( , ) 1  f x C − + . 假设      =  = − 0 ( 0) ( ) ( 0) ( ) 2 1 3 ( ) 1 x P e x f x x x n n ,已证 n =1 时,它是对的,设 n 时成立,我们看 n +1 阶导 数, x  0 时 2 1 3 3 2 3 ( 1) 2 1 1 1 ( ) x n n n e x P x x P x f x − +              −       = 2 1 3( 1) 1 x n P e x − +       = 0 ( ) lim ( ) (0) lim 2 2 3 1 1 3 0 ( 1) = = = → − → + t n t x n x x n e tP t x P e f ) 1 ( t x = 从 ( ) ( ) f x n 表达式,易知 ( ) ( ) f x n C(−,+) ,所以 f (x)  (−,+)  C . 类似定义函数       = − 0 , 0 , 0 ( ) 1 x e x x x  可证  (−,+)   C ,这是一个很有用的函数,稍加改造我们可以构造如下函数： (4 ) ( 1) (4 ) ( ) 2 2 2 − + − − = x x x x     则 (x)  (−,+)  C , 且 (x) = 1 , x 1 ； 0 (x)  1 , 1 x  2 ； (x) = 0 , x  2 .这个函数非常有用. 使用 0 0 型和   型求极限的 L’Hospital 法则应注意的一些问题： （1） 不能对任何比较类型的极限都用 L’Hospital 法则来求解,必须是 0 0 型和   型才可 以； （2） 若 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x   不存在,就不能用,但这不意味着 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 不存在； （3） 可以使用 L’Hospital 法则,但出现循环现象,无法求出结果,此时只能寻求别的方

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 法： 只有当织得比只侣简单时，用p1法则才有价金香测另找方法 故L'Hospital法则不是“万能工具” (四)其它类型不定式极限 如号型、四-四型、0∞型、0型、广型、0型、四型等，经过变换，它们一般均可以化为 一型和。型的极限，具体采用什么样替换，要机警对待.如下列各例： 例7rhxa>0) 解这是00型. 原rnx=回-g g+i++2fa> 例8求极限（ n .这里分别考虑x→0，x→+0， x→-0三种情况 n x n 我们来求mhy D四hy=hagh++gh2 a+a5+.+ad =ha.a) =ha.an 所以y=a0,即为n个数的几何平均。 2》恩nyha tuiha++ah2 a+a+.+a 记M=mmNa,a,a),则

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 10 法； （4） 只有当 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x   比 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 简单时,用 L’Hospital 法则才有价值,否则另找方法, 故 L’Hospital 法则不是“万能工具”. (四) 其它类型不定式极限 如   型、  −  型、 0 型、 0 0 型、 1  型、 0  型、 0  型等,经过变换,它们一般均可以化为   型和 0 0 型的极限,具体采用什么样替换,要机警对待.如下列各例： 例 7 lim ln ( 0) 0  → +   x x x 解 这是 0 型. 1 0 0 0 0 1 ln 1 ln lim ln lim lim lim 0 1 x x x x x x x x x x x     → + → + → + → +   +   = = = − =     − 例 8 求极限 lim ( 0) 1 1 2          + + + i x x n x x a n a a  a .这里分别考虑 x →0, x → + , x →− 三种情况. 解 令 x x n x x n a a a y 1 1 2         + + + =  ,         + + + = n a a a x y x n 1 x 2 x  ln 1 ln . 我们来求 lim ln y . 1） x n x x n x n x x x x a a a a a a a a a y + + + + + + = → →   1 2 1 1 2 2 0 0 ln ln ln lim ln lim ln( ) 1 a1 an n =  n a1 an = ln 所以 n n x y a1a 0 lim = → ,即为 n 个数的几何平均. 2） x n x x n x n x x x x a a a a a a a a a y + + + + + + = →+ →+   1 2 1 1 2 2 ln ln ln lim ln lim , 记 max( , , , ) M = a1 a2  an ,则

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系■ (urna)na.no. lim in y=lim e =M 所以血y=M=ma,aa,). 3)令m=m(4,4,a),则 r-ea一 *e =Inm 所以血y=m=ma,a,a). x0,已知g0=g0=0,g0=3,试求/0 例9设fxx 0,x=0 g-0 解f0=回@0▣=型 细0-a0-0- (五)用L'Hospital法则求数列极限 例1+ 作业教材P1256,7；P1335(1)一(12)，6

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 11 x M a x M a x M a a x M a a x M a a x M a y n n n x x        + +       +             + +       +      = →+ →+   1 2 2 2 1 1 ln ln ln lim ln lim = ln M , 所以 = →+ y x lim max( , , , ) M = a1 a2  an . 3） 令 min( , , , ) m = a1 a2  an ,则 x m a x m a x m a a x m a a x m a a x m a y n n n x x        + +       +             + +       +      = →+ →+   1 2 2 2 1 1 ln ln ln lim ln lim = ln m 所以 = →− y x lim min( , , , ) m = a1 a2  an . 例 9 设 ( ) 0 ( ) 0, 0 g x x f x x x       = ,已知 g g (0) (0) 0 = =  , g (0) 3 = ,试求 f (0) . 解 2 0 0 ( ) lim 0 ( ) lim ( ) (0) (0) lim x g x x x g x x f x f f x→ x→ x→ = − = −  = 2 3 (0) 2 ( ) (0) 1 lim 2 1 2 ( ) lim 0 0 0 0 =  =  −  =  = → → g x g x g x g x x x (五) 用 L’Hospital 法则求数列极限 例 10 2 1 1 lim(1 )n n e → n n + + = 例 11 n n n       + → 2 1 lim 1 . 作业 教材 P125 6,7 ； P133 5 （1）—（12）, 6