《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 §3.5无穷小量与无穷大量 教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念. 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大 教学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念：能够写出无穷小量与无穷大量的 分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量.在计算及证明中，熟练使用“。” 与“0”. 教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念 教学难点：熟练使用“o”与“0”进行运算. 教学过程： 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：1ima,=0.我们称之 为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的 情形例如： limsinx=0.limx2=0., 我们给这类函数一个名称一一“无穷小量”， 既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步， 这些“量”有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容一一无穷小量与无穷大量. 一、无穷小量 (一)定义 定义1设f在某U(x)内有定义.若1imfx)=0,则称∫为当x→时的无穷小量.记作： f八x)=(I(x→x). 类似地可以定义当x→x,x→x,x→+0，x→-0，x→0时的无穷小量。 例x(k=1,2sinx,1-cosx都是当x→0时的无穷小量：√-x是当x→厂时的无穷小 量：子0是x→0时的无穷小量
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 1 §3.5 无穷小量与无穷大量 教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． 教学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念；能够写出无穷小量与无穷大量的 分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ o ” 与“ O ”． 教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学难点：熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算． 教学过程： 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征： lim 0 n n a → = . 我们称之 为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的 情形.例如： 0 limsin 0, x x → = 2 0 lim 0, x x → = ， 我们给这类函数一个名称——“无穷小量”. 既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步， 这些“量”有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量. 一、无穷小量 (一) 定义 定义 1 设 f 在某 0 0 U x( ) 内有定义.若 0 lim ( ) 0 x x f x → = ，则称 f 为当 0 x x → 时的无穷小量.记作： 0 f x x x ( ) (1)( ) = → . 类似地可以定义当 0 0 x x x x x x x , , , , → → → + → − → + − 时的无穷小量. 例 ( 1,2, ),sin ,1 cos k x k x x = − 都是当 x →0 时的无穷小量； 1− x 是当 x 1 → − 时的无穷小 量； 2 1 sin , x x x 是 x → 时的无穷小量
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 (仁)无穷小量的性质 1、先引进以下概念 定义2（有界量）若函数g在某U(x)内有界，则称g为当x→x,时的有界量，记作： g(x)=O1)(x→x). 例如：血x是当→0时的有界量，即加=00：→：如是当x→0时的有界量。 即sin二=0(x→0). 注任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若fx)=)x→x)，则 fx)=O10(x→x): 区别“有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数∫是有界函数或函数∫是有界的，意味 着存在M>0,∫在定义域内每一点x,都有1f(x)sM.这里“有界”与点无关：而有界是与“点 有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界 2、性质 性质1两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量 性质2无穷小量与有界是的乘积为无穷小量. 性质3imf)=A一f)-A是当，-时的无穷小量台m(f)-小=0. 例如：limxsin-=0,1im(x±r)=0,1 imxsinx=0. 问题两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑： 0草手曾-回等2 引申同为无芳小量。一三0，面产不存在：这说明“无穷小量”是有“馒别”的 这个“级别”表现在收敛于0（或趋近于0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别” 的标志是x的“指数”，当x→0时，x的指数越大，它接近于0的速度越快这样看来，当x→0 时，x2的收敛速度快于x的收敛速度.所以其变化结果以x2为主.此时称x2是（当x→0时）x的 高阶无穷小量，或称x→0时，x是x的低阶无穷小量. 一般地，有下面定义：
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 (二) 无穷小量的性质 1、先引进以下概念 定义 2（有界量） 若函数 g 在某 0 0 U x( ) 内有界，则称 g 为当 0 x x → 时的有界量，记作： 0 g x O x x ( ) (1)( ) = → . 例如： sin x 是当 x → 时的有界量，即 sin (1)( ) x O x = → ； 1 sin x 是当 x →0 时的有界量， 即 1 sin (1)( 0) O x x = → . 注 任 何 无 穷 小 量 都 是 有 界 量 （ 局 部 有 界 性 ）， 即 若 0 f x x x ( ) (1)( ) = → ， 则 0 f x O x x ( ) (1)( ) = → . 区别 “有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数 f 是有界函数或函数 f 是有界的，意味 着存在Ｍ>0， f 在定义域内每一点 x ，都有 | ( ) | f x M .这里“有界”与点无关：而有界是与“点 有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界. 2、性质 性质 1 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 性质 2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量. 性质 3 0 lim ( ) ( ) x x f x A f x A → = − 是当 0 x x → 时的无穷小量 0 lim( ( ) ) 0 x x f x A → − = . 例如： 2 0 1 lim sin 0 x x → x = ， 2 3 0 0 lim( ) 0,lim sin 0 x x x x x x → → = = . 问题 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑： 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 sin 2 lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2 x x x x x x x x x x → → → → → x x x x x = = = = = . 引申 同为无穷小量， 2 0 lim 0 x x → x = ，而 2 0 lim x x → x 不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的. 这个“级别”表现在收敛于 0（或趋近于 0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别” 的标志是 x 的“指数”，当 x →0 时， x 的指数越大，它接近于 0 的速度越快.这样看来，当 x →0 时， 2 x 的收敛速度快于 x 的收敛速度.所以其变化结果以 2 x 为主.此时称 2 x 是（当 x →0 时） x 的 高阶无穷小量，或称 x →0 时， x 是 2 x 的低阶无穷小量. 一般地，有下面定义：
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 3、穷小量阶的比较（主要对x→x,叙述，对其它类似） 设当x→x时，了，g均为无穷小量。 1)若一得=0，则称时/为：的离阶无的小道，成称g为了的低阶无方小童 配作8=sr→x.即ogxr→x)台四得p 例卿=0→“-Xx→0，-回0 1-cosx=0(sinx)(x→0). 同题-0-0-0，此时是可说1-f=60+→)2 引申与上述记法：fx)=o(g(x)x→x)相对应有如下记法：fx)=0(g(x)x→x), 这是什么意思？含义如下： 若无穷小量f与g满足关系式国sL,x∈U,则记作f=Ogx→. 例如， 1)1-cosx=0rx→0)，2+sin2=0x→0). 2)若fx)=o(g(x)(x→x)→fx)=Og(x)Mx→x) 注等式f(x)=o(g(x)Mx→x),f(x)=O(g(x)Mx→x)等与通常等式的含义不同的.这里 的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“=”叫的含义是“∈”. 例如：1-=以偏→0，其中m-吗得-小，而上述等式表示通数 1-ose-得=0为方便起见，记作1-s=am (2)若存在正数K和L,使得在某U化)上有K≤国sL,则称∫与g为当x→x时的 g(x) 同阶无穷小量
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 3、穷小量阶的比较（主要对 0 x x → 叙述，对其它类似） 设当 0 x x → 时， f g, 均为无穷小量. （1）若 0 ( ) lim 0 ( ) x x f x → g x = ，则称 0 x x → 时 f 为 g 的高阶无穷小量，或称 g 为 f 的低阶无穷小量， 记作 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . 即 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → 0 ( ) lim 0 ( ) x x f x → g x = . 例 1 0 lim 0 k k x x x + → = 1 0( )( 0) k k x x x + = → ， 0 0 1 cos lim lim tan 0 x x sin 2 x x → → x − = = − = → 1 cos 0(sin )( 0) x x x . 问题 2 1 1 1 lim lim(1 ) 0 x x 1 x x → → x − = − = + ，此时是可说 2 1 (1 )( 1) − = + → x o x x ？ 引申 与上述记法： 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → 相对应有如下记法： 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → ， 这是什么意思？含义如下： 若无穷小量 f 与 g 满足关系式 0 0 ( ) , ( ) ( ) f x L x U x g x ，则记作 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . 例如， 1） 2 1 cos ( )( 0) − = → x O x x ， (2 sin ) ( )( 0) 2 x x O x x + = → . 2）若 0 0 f x o g x x x f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) ( ) ( ( ))( ) = → = → . 注 等式 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → ， 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → 等与通常等式的含义不同的.这里 的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“ ”. 例如： 1 cos (sin )( 0) − = → x o x x ，其中 0 ( ) (sin ) | lim 0 ( ) x f x o x f → g x = = ，而上述等式表示函数 1 cos − x 0 ( ) | lim 0 ( ) x f x f → g x = .为方便起见，记作 1 cos (sin ). − = x o x （2）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某 0 0 U x( ) 上有 ( ) ( ) f x K L g x ，则称 f 与 g 为当 0 x x → 时的 同阶无穷小量
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 但需要注意：四侣不存在，并不意味着了与8不全为同阶无穷小量，如 x(2+sin-) lim=lim x(2+sin0, =1m(2+sin白不存在.但1s (2+sin xs3,所以x x 与x(2+sin)为当x→0时的同阶无穷小量. 由上述记号可知：若∫与g是当x→，时的同阶无穷小量，则一定有： f(x)=O(g(x)x→). (3)若m因=1，则称∫与g是当x→x时的等价无穷小量，记作)-gxx→) 6g(x) 锅0：1Dg-15sm-→0：2)回20-m9151-sx-号c→0. 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限 的“等价量法”。 定理设函数f、g、h在U°(x)内有定义，且有fx)-g(xx→x). (1)若1imfx)h)=A,则1img(x)hx)=A: 回者=得=&，周=铝-及 例1求 解ra-(→0血44（→0，故-名-号 r. 州g回子-月 sinx sinx h1+x-) 例3 aresin 2 解x→1时，-可→0,22-1→0,1+-∽(x→1
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 但需要注意： 0 ( ) lim ( ) x f x → g x 不 存 在 ， 并 不 意 味 着 f 与 g 不 全 为 同 阶 无 穷 小 量 . 如 0 0 1 lim lim (2 sin ) 0 x x x x → → x = + = ， 0 0 1 (2 sin ) 1 lim lim(2 sin ) x x x x → → x x + = + 不存在.但 1 (2 sin ) 1 3 x x x + ，所以 x 与 1 x(2 sin ) x + 为当 x →0 时的同阶无穷小量. 由上述记号可知：若 f 与 g 是当 0 x x → 时的同阶无穷小量，则一定有： 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . （3）若 0 ( ) lim 1 ( ) x x f x → g x = ，则称 f 与 g 是当 0 x x → 时的等价无穷小量，记作 0 f x g x x x ( ) ( )( ) → . 例如：1） 0 sin lim 1 sin ( 0) x x x x x → x = → ; 2） 2 2 0 2(1 cos ) lim 1 1 cos ( 0) x 2 x x x x → x − = − → . 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限 的“等价量法”. 定理 设函数 f 、 g 、h 在 0 0 U x( ) 内有定义，且有 0 f x g x x x ( ) ( )( ) → . (1) 若 0 lim ( ) ( ) x x f x h x A → = ，则 0 lim ( ) ( ) x x g x h x A → = ； (2) 若 0 ( ) lim , ( ) x x h x B → f x = ，则 0 ( ) lim . ( ) x x h x B → g x = 例 1 求 0 arctan lim x sin 4 x → x . 解 arctan 0 x x x( → ) ，sin 4 4 0 x x x( → ) ，故 0 0 arctan 1 lim lim x x sin 4 4 4 x x → → x x = = . 例 2 2 2 4 4 4 0 0 0 (tan sin ) tan (1 cos ) 1 2 lim lim lim x x x sin sin 2 x x x x x x x x → → → x x x − − = = = . 例 3 3 2 3 1 arcsin 2 1 ln(1 1) lim − + − → x x x . 解 x →1 时， 3 x −1 → 0，2 1 0 3 x 2 − → ，ln(1 1) 3 + x − ∽ 3 x −1 （ x →1 ）
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 acsn282-n22-i(x→1. 是对站 故原式 州4 +a当2 期默他兴男 11 11 千万注意：不是因子不能用等价无方小量错换如一立1，显然不能用中荐” 3 最后给出一个很有用的表达式： -(→即得1，即.0即 g(x) f()-gx)=og(x》或f)=g)+o(g(x》(x→a)）,如snx=x+o(x) 1-raec→0，时称网为e的款宁4宁 1 x2 杂例已知加行-61=0，求a、6, 解原式胆片0身0，数多有09=0 从霜9-1（-创=0 x2 6功 x
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 arcsin 3 2 2 x −1∽ 3 2 2 x −1 （ x →1 ）， 故原式 3 2 1 3 3 3 1 2 2 1 2 1 1 lim 2 1 1 lim = + = − − = → → x x x x x 例 4 x e x x e x x x x ln( ) 2 ln(sin ) lim 2 2 2 0 + − + − → . 解 原式 x x x x x x e e x e e 2 2 2 2 0 ln( ) ln ln(sin ) ln lim + − + − = → ln(1 ) ) sin ln(1 lim 2 2 2 0 x x x e x e x + + = → 1 sin lim 2 2 2 0 = = → x x x e x e x . 千万注意：不是因子不能用等价无穷小量替换.如 2 1 1 1 lim 1 n 1 n n n → − + = ，显然不能用 1 1 n + 替 n 1 最后给出一个很有用的表达式： f x g x x a ( ) ( ) ( → ) 即 ( ) lim 1 ( ) x a f x → g x = ，即 ( ) ( ) lim 0 ( ) x a f x g x → g x − = 即 f (x) − g(x) = o(g(x)) 或 f (x) = g(x) + o(g(x)) (x → a) ， 如 sin x = x + o(x) ， ( ) 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x (x → 0) .此时称 g(x) 为 的主部. ) 1 ( 1 1 1 2 2 2 x o x x x = + + 杂例 已知 ) 0 1 lim ( 2 − − = → + ax b x x x ，求 a、b . 解 原式 ) 0 1 lim ( − − = + = → x b a x x x x ，故必有 ) 0 1 lim ( − − = → + x b a x x x ， 从而 ) 1 1 lim ( − = + = → x b x x a x ) 0 1 lim ( 2 − − = + → x b x x x 1 1 ) lim 1 lim ( 2 = − + − − = + = → → x x x x x b x x
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式 才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代 (三)小结 以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征一一其商 是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较 例如1 imxsin=limr=0. 二、无穷大量 (一)问题“无穷小量是以0为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以∞为极限的函数” 答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲A为函数f(x)当x→x,时的极限， 意味着A是一个确定的数，而“∞”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无 穷大量是以0为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当x→x,时，f(x)与(+oor-o) 无限接近。 例如：1))=当x→0时，与∞越来越接近，而且只要x与0充分接近，就会 无限增大：2》)X一，当x→1时，也具有上述特性. 在分析中把这类函数fx)称为当x→x时有非正常极限0.其精确定义如下： (二)非正常极限 定义2（非正常极限）设函数fx)在某U(x)内有定义，若对任给的M>0,存在6>0， 当x∈U(x;6(cU(x》时有1fx)pM,则称函数f(x)当x→x,时有非正常极限o,记作 lim f(x)=. 注1)若“1x)PM”换成“fx)>M”,则称fx)当x→x时有非正常极限+o:若换 成fx)0,当x>M时，f(x)0,3N>0,当n>N时，an>M
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 6 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式 才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代. (三) 小结 以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征——其商 是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较. 例如 0 0 1 2 lim sin lim 0 x x x x x x → → x = = . 二、无穷大量 (一) 问题 “无穷小量是以 0 为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以 为极限的函数”. 答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数 f x( ) 当 0 x x → 时的极限， 意味着Ａ是一个确定的数，而“ ”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无 穷大量是以 为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当 0 x x → 时， f x( ) 与 + − ( ) or 无限接近. 例如：1） 1 f x( ) x = ，当 x →0 时， 1 x 与 越来越接近，而且只要 x 与 0 充分接近， 1 x 就会 无限增大；2） 1 ( ) 1 f x x = − ，当 x →1 时，也具有上述特性. 在分析中把这类函数 f x( ) 称为当 0 x x → 时有非正常极限 .其精确定义如下： (二) 非正常极限 定义 2（非正常极限） 设函数 f x( ) 在某 0 0 U x( ) 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在 0 ， 当 0 0 0 0 x U x U x ( ; )( ( )) 时有 | ( ) | f x M ，则称函数 f x( ) 当 0 x x → 时有非正常极限 ，记作 0 lim ( ) x x f x → = . 注 1）若“ | ( ) | f x M ”换成“ f x M ( ) ”，则称 f x( ) 当 0 x x → 时有非正常极限 + ；若换 成 f x M ( ) , − 则称 f x( ) 当 0 x x → 时有非正常极限 − ，分别记作 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x f x f x → → = + = −. 2) 关于函数 f 在自变量 x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列 an 当 n → 时的非正常极限的定义，都可类似地给出.例如： lim ( ) 0 x f x M →+ = − ，当 x M 时， f x M ( ) − ; lim 0 n n a M → = + ， N 0 ，当 n N 时， n a M
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 (三)无穷大量的定义 定义3对于自变量x的某种趋向（或n→0），所有以0，+0or-0为非正常极限的函数（包 括数列)，都称为无穷太量 例如：二当x→0时是无穷大量：a(a>)当x→+∞时是无穷大量。 注)无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数： 2)若∫为x→x时的无穷大量，则易见∫为U°(x)上的无界函数，但无界函数却不一定是 无穷大量.例如；fx)=xsinx在U(+o)上无界，但limf(x)≠o; 3)如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、 同阶无穷大量等概念。 (四)利用非正常极限定义验证极限等式 例3证明0)职字，典场，岛}0 @器 医明G0,要使寸>0， 风要水方同电5-右，则k时商 1非字>0即典字 1 其余可类似证明. 号高高“.风动 2141 故数5=m动，当0-水助，有产号M即巴号 例4证明当a>1时，1ma=o. 三、无穷小量与无穷大量的关系 定理（1)设了在Ux)内有定义且不等于0，若了为当x→x时的无穷小量，则上为
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 7 (三) 无穷大量的定义 定义 3 对于自变量 x 的某种趋向（或 n → ），所有以 + − , or 为非正常极限的函数（包 括数列），都称为无穷大量. 例如： 2 1 x 当 x →0 时是无穷大量； ( 1) x a a 当 x → + 时是无穷大量. 注 1）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数; 2）若 f 为 0 x x → 时的无穷大量，则易见 f 为 0 0 U x( ) 上的无界函数，但无界函数却不一定是 无穷大量.例如； f x x x ( ) sin = 在 U( ) + 上无界，但 lim ( ) x f x →+ ; 3）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、 同阶无穷大量等概念. (四) 利用非正常极限定义验证极限等式 例 3 证明 (1) = → 2 0 1 lim x x ， = + → + x x 1 lim 0 ， = − → − x x 1 lim 0 ; (2) = − + → 1 2 lim 2 1 x x x . 证明 (1) G 0 ，要使 G x 2 1 ，只要 G x 1 | | .因而取 G 1 = ，则当 0 | | x 时都有 G x f x = 2 1 | ( ) | 即 = → 2 0 1 lim x x . 其余可类似证明. (2) 设 2 1 | x −1| 即 2 3 2 1 x ，M 0 ，欲使 M x x x x x x x − = − + − + + = − + | 1| 1 5 4 | 1| 1 3/ 2 1 2 | 1| 1 | 1 2 | | 1 2 | 2 成立，只须 M x 5 4 | −1| , 故取 } 5 4 , 2 1 min{ M = ，当 0 | x −1| 时，有 M x x − + | 1 2 | 2 即 = − + → 1 2 lim 2 1 x x x . 例 4 证明当 a 1 时， lim x x a →+ = +. 三、无穷小量与无穷大量的关系 定理 （1）设 f 在 0 0 U x( ) 内有定义且不等于 0，若 f 为当 0 x x → 时的无穷小量，则 1 f 为
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 x→x时的无穷大量： (2)若g为x→x时的无穷大量，则上为x→x时的无穷小量。 8 四、曲线的渐近线（放在第六章讲） (一)引言 作为函数极限的一个应用.我们讨论曲线的渐近线问题.由平面解析几何知：双曲线 手一若-1有两条渐近线名-0，那么，什么是新近钱爬？它有何特征见？ (二)曲线的渐近线定义 定义4若曲线C上的动点p沿着曲线无限地远离原点时，点p与某实直线L的距离趋于 零，则称直线L为曲线C的渐近线. 形如y=:+b的渐近线称为曲线C的斜渐近线：形如x=x,的渐近线称为曲线C的垂直渐近 线. (三)曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？ 1、斜渐近线 假设曲线y=fx)有斜渐近线y=c+b，曲线上动点p到渐近线的距离为 1 PNHPMosaH/.八-(G+1十衣依新近线定义，当x→时（X→0或x→类似. IPN→0，即有 lim[f(x)-(x+B)]=0lim[f(x)-kx]=b, ⑨ 又由 m-却m-创=0k-0一=但=k ④ 由上面的时论知，若曲线y=f(x)有斜渐近线y=:+b,则常数k与b可相继由④和③式 求出：反之，若由④和③求得k与b,则可知PN→0(x→0)，从而y=:+b为曲线y=f(x) 的渐近线。 2、垂直渐近线 若函数f满足mfx)=(im()=,imf)=),则按渐近线定义可知y=f有 8
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 8 0 x x → 时的无穷大量； （2）若 g 为 0 x x → 时的无穷大量，则 1 g 为 0 x x → 时的无穷小量. 四、曲线的渐近线（放在第六章讲） (一) 引言 作为函数极限的一个应用.我们讨论曲线的渐近线问题.由平面解析几何知：双曲线 2 2 2 2 1 x y a b − = 有两条渐近线 0 x y a b = .那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？ (二) 曲线的渐近线定义 定义 4 若曲线Ｃ上的动点 p 沿着曲线无限地远离原点时，点 p 与某实直线Ｌ的距离趋于 零，则称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线. 形如 y kx b = + 的渐近线称为曲线Ｃ的斜渐近线；形如 0 x x = 的渐近线称为曲线Ｃ的垂直渐近 线. (三) 曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？ 1、斜渐近线 假 设 曲 线 y f x = ( ) 有 斜 渐 近 线 y kx b = + ， 曲 线 上 动 点 p 到 渐 近 线 的 距 离 为 2 1 | | | cos | | ( ) ( ) | 1 PN PM f x kx b k = = − + + 依渐近线定义，当 x → + 时（ x →− 或 x → 类似）， | | 0 PN → ，即有 lim [ ( ) ( )] 0 lim [ ( ) ] x x f x kx b f x kx b →+ →+ − + = − = ， ③ 又由 ( ) 1 ( ) lim [ ] lim [ ( ) ] 0 0 lim x x x f x f x k f x kx k k →+ →+ →+ x x x − = − = = = . ④ 由上面的讨论知，若曲线 y f x = ( ) 有斜渐近线 y kx b = + ，则常数 k 与 b 可相继由④和③式 求出；反之，若由④和③求得 k 与 b ，则可知 | | 0 PN → （ x → ），从而 y kx b = + 为曲线 y f x = ( ) 的渐近线. 2、垂直渐近线 若函数 f 满足 0 0 0 lim ( ) ( lim ( ) , lim ( ) x x x x x x f x or f x f x → → → + − = = = ），则按渐近线定义可知 y f x = ( ) 有
《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 垂直于x轴的渐近线x=X。,称为垂直渐近线。 例5求曲线)+2x-的浙近线 解（略）
《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 9 垂直于 x 轴的渐近线 0 x x = ，称为垂直渐近线. 例 5 求曲线 3 2 ( ) 2 3 x f x x x = + − 的渐近线. 解 （略）