《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 §1.2数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数-一§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念 教学要求：(1)掌握邻域的概念： (②)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理） 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课 引言 (一）检查： 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论：此后又让大家自学了第一章 §1.1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何x∈R有：(1)川x-1+lx-221;(2)1x-1+|x-21+x-322. 2、证明：x-y川x-y川 3、设a,beR,证明：若对任何正数&有a+by,证明：存在有理数r满足y<r<x (二)引申： 1、由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完 就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？ 2、由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同：理论性强，概念性强，推 理有理有据，而非凭空想象： 3、课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽 快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）· (三)本节主要内容： 1、先定义实数集R中的两类主要的数集一一区间邻域： 2、讨论有界集与无界集：
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 6 §1.2 数集和确界原理 授课章节：第一章 实数集与函数-§1.2 数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念； (2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 引言 (一) 检查: 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §1.1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何 x R 有：(1) | 1| | 2 | 1 x x − + − ；(2) | 1| | 2 | | 3| 2 x x x − + − + − . 2、证明： | | | | | | x y x y − − . 3、设 a b R , ，证明：若对任何正数 有 a b + ，则 a b . 4、设 x y R x y , , ，证明：存在有理数 r 满足 y r x . (二) 引申: 1、由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完 就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？ 2、由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推 理有理有据，而非凭空想象； 3、课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽 快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）. (三) 本节主要内容： 1、先定义实数集 R 中的两类主要的数集——区间邻域； 2、讨论有界集与无界集；
《数学分析》上册教鉴 第一意实数集与函数 海南大学数学系 3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）· 一、区间与邻域 (一)区间（用来表示变量的变化范围） 设a,b∈R且aa=(a.+o). {xERlx0,满足不等式x-ak6的全体实数x的集合称为点a的6邻 域，记作U(a,),或简记为U(a),即 U(a.6)={xx-ak6=(a-6.a+5) 2、点a的空心6邻域 U(a;6)={xox-ak5)=(a-6,a)(a,a+5)U(a). 3、a的6右邻域和点a的空心6右邻域 U,(a,d)=[a,a+6)U,(a)={xasx<a+6} U(a.8)=(a,a+8)U(a)=(xla<x<a+8) 4、点a的6左邻域和点a的空心6左邻域
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 7 3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）. 一、 区间与邻域 (一) 区间（用来表示变量的变化范围） 设 a b R , 且 a b . 有限区间 区间 无限区间 ，其中 | ( , ) . | [ , ]. | [ , ) | ( , ] x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b = = = = 开区间: 有限区间 闭区间: 闭开区间: 半开半闭区间 开闭区间: | [ , ). | ( , ]. | ( , ). | ( , ). | . x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R = + = − = + = − − + = 无限区间 (二) 邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与 a 邻近的“区域”很多，到底 哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ 1、a 的 邻域：设 a R , 0 ，满足不等式 | | x a − 的全体实数 x 的集合称为点 a 的 邻 域，记作 U a( ; ) ，或简记为 U a( ) ，即 U a x x a a a ( ; ) | | ( , ) = − = − + . 2、点 a 的空心 邻域 ( ; ) 0 | | ( , ) ( , ) ( ) o o U a x x a a a a a U a = − = − + . 3、a 的 右邻域和点 a 的空心 右邻域 0 0 ( ; ) [ , ) ( ) ; ( ; ) ( , ) ( ) . U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a + + + + = + = + = + = + 4、点 a 的 左邻域和点 a 的空心 左邻域
《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 U-(a:6)=(a-8,a]2U_(a)={xla-8M},U(-o)={xk0,按定义，对任意m∈N,都有m≤M,这是不可能的，如取m=[M+L,则∈N, 且n>M 综上所述知：N,是有下界无上界的数集，因而是无界集. 例2证明：(1)任何有限区间都是有界集：(2)无限区间都是无界集：(3)由有限个数组 成的数集是有界集
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 8 0 0 ( ; ) ( , ] ( ) ; ( ; ) ( , ) ( ) . U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a + − − − = − = − = − = − 5、 邻域， + 邻域， − 邻域 U x x M ( ) | | , = （其中 M 为充分大的正数）； U x x M ( ) , + = U x x M ( ) − = − 二、有界集与无界集 什么是“界”？ 定义 1（上、下界）： 设 S 为 R 中的一个数集.若存在数 M L( ) ，使得一切 x S 都有 x M x L ( ) ，则称 S 为有上（下）界的数集.数 M L( ) 称为 S 的上界（下界）；若数集 S 既有上 界，又有下界，则称 S 为有界集. 闭区间、 (a,b) (a,b 为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 E = y y = sin x, x( − , + ) 也是有界数集. 若数集 S 不是有界集，则称 S 为无界集. ( − , + ), ( − , 0 ), ( 0 , + ) 等都是无界数集, 集合 = = , ( 0 ,1) 1 x x E y y 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一； 2）上（下）界与 S 的关系如何？看下例： 例 1 讨论数集 N n n + = | 为正整数 的有界性. 分析：有界或无界 上界、下界？下界显然有，如取 L =1 ；上界似乎无，但需要证明. 解：任取 0 n N + ，显然有 0 n 1 ，所以 N+ 有下界 1；但 N+ 无上界.证明如下：假设 N+ 有上 界 M,则 M>0，按定义，对任意 0 n N + ，都有 0 n M ，这是不可能的，如取 0 n M = + [ ] 1, 则 0 n N + ， 且 0 n M . 综上所述知： N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集. 例 2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组 成的数集是有界集
《数学分析》上册教鉴 第一意实数集与函数 海南大学数学系 问题：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个）. 三、确界与确界原理 1、定义 定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数n满足：（①）对一切x∈S,有x≤？（即n 是S的上界)：（②）对任何aa(即n是S的上界中最小的一个)， 则称数n为数集S的上确界，记作n=supS. 命题1M=supE充要条件 1)M是E上界， 2)V6>0,3xeE使得x>M-8. 证明必要性，用反证法.设2)不成立，则宁5>0，使得x∈E,均有x≤M-6,与M 是上确界矛盾. 充分性，用反证法.设M不是E的上确界，即3M'是上界，但M>M'.令5=M-M>0, 由2)，3x'eE,使得X>M-6=M,与M'是E的上界矛盾. 定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数：满足：(1)对一切x∈S,有x≥5（即5 是S的下界)：(2)对任何B>5,存在x∈S,使得x,0,xeS,有x<5+e 上确界与下确界统称为确界。 例3)s=1+少 n ,则spS=一，nfS=」 (2)E=yly=snxx∈(0，π)}则supE- inf E= 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的， 命题3设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 9 问题：若数集 S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个). 三、 确界与确界原理 1、定义 定义 2（上确界） 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足：(1) 对一切 x S , 有 x （即 是 S 的上界）; (2) 对任何 ，存在 0 x S ，使得 0 x （即 是 S 的上界中最小的一个）， 则称数 为数集 S 的上确界，记作 = sup . S 命题 1 M E = sup 充要条件 1） M 是 E 上界， 2） 0, x E 使得 x M − . 证明 必要性，用反证法.设 2）不成立，则 0, 0 使得 x E ，均有 0 x M − ，与 M 是上确界矛盾. 充分性，用反证法.设 M 不是 E 的上确界，即 M 是上界，但 M M .令 = M − M 0， 由 2）， x E ，使得 x M − = M ，与 M 是 E 的上界矛盾. 定义 3（下确界） 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足：（1）对一切 x S , 有 x （即 是 S 的下界）；（2）对任何 ，存在 0 x S ，使得 0 x （即 是 S 的下界中最大的一个）， 则称数 为数集 S 的下确界，记作 = inf S . 命题 2 = inf S 的充要条件： 1） 是 S 下界； 2） ＞0， 0 0 x S x ,有 ＜ + . 上确界与下确界统称为确界. 例 3（1） , ( 1) 1 − = + n S n 则 sup S = _, inf S = _. （2） E = y y = sin x, x(0,). 则 sup _, inf _. E E = = 注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 命题 3 设数集 A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的
《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 证明设n=supA,7=supA且n≠7'，则不妨设n<n n=spA=x∈A有x≤n n=supA→对n<,3x∈A使n<,矛盾 例即R-0·(1·()月 E={-5,0,3,9,1l则有infE=-5. 开区间(a,b)与闭区间[a,b有相同的上确界b与下确界a. 例4设S和A是非空数集，且有SA则有supS≥supA,fS≤mfA. 例5设A和B是非空数集.若对r∈A和y∈B,都有x≤y,则有 sup As inf B. 证明yeB,y是A的上界，三sup Asy.一supA是B的下界， →spA≤infB. 例6A和B为非空数集，S=AUB.试证明：fS=mm{tA,fB} 证明x∈S,有x∈A或x∈B,由nfA和nfB分别是A和B的下界，有 x≥fA或x≥ifB.→x之min{nfA,infB} 即mimn{tA,infB是数集S的下界， →nfS≥mim{mfA,infB}又SA,三S的下界就是A的下界，infS是S的下界， 一nfS是A的下界，→infS≤infA,同理有itS≤ifB 于是有inf Ssmin{nfA,infB} 综上，有infS=min{nfA,infB 1、集与确界的关系：确界不一定属于原集合.以例(2)为例做解释。 2、确界与最值的关系：设E为数集， (1)E的最值必属于￡，但确界未必，确界是一种临界点. 10
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 10 证明 设 = sup A ， = sup A 且 ，则不妨设 = sup A x A 有 x = sup A 对 ， 0 x A 使 0 x ，矛盾. 例 sup 0 R − = ，sup 1 n Z 1 n + n = + ， 1 inf n Z 1 2 n n + = + E = − 5,0,3,9,11 则有 inf 5 E = − . 开区间 (a b, ) 与闭区间 a b, 有相同的上确界 b 与下确界 a . 例 4 设 S 和 A 是非空数集，且有 S A. 则有 sup S sup A, inf S inf A. 例 5 设 A 和 B 是非空数集. 若对 x A 和 y B, 都有 x y, 则有 sup A inf B. 证明 y B, y 是 A 的上界, sup A y. sup A 是 B 的下界, sup A inf B. 例 6 A 和 B 为非空数集, S = A B. 试证明: inf S = min inf A,inf B . 证明 x S, 有 x A 或 x B, 由 inf A 和 inf B 分别是 A 和 B 的下界,有 x inf A 或 x inf B. x min inf A,inf B . 即 min inf A,inf B 是数集 S 的下界, inf S min inf A,inf B . 又 S A, S 的下界就是 A 的下界, inf S 是 S 的下界, inf S 是 A 的下界, inf S inf A; 同理有 inf S inf B. 于是有 inf S min inf A,inf B . 综上, 有 inf S = min inf A,inf B . 1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例 3⑵为例做解释. 2、确界与最值的关系: 设 E 为数集. （1） E 的最值必属于 E , 但确界未必, 确界是一种临界点
《数学分析》上册教案 第一意实数集与函数 海南大学数学系 (2)非空有界数集必有确界（见下面的确界原理），但未必有最值. (3)若maxE存在，必有maxE=supE.对下确界有类似的结论. 3、确界原理： 定理1（确界原理）一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界。 这里我们给一个可以接受的说明。ER,E非空，3x∈E,我们可以找到一个整数P,使 得P不是E上界，而p+1是E的上界.然后我们遍查p.1,p.2,.,p.9和p+1,我们可以找到一 个9o,0≤96≤9，使得P4o不是E上界，p(q+)是E上界，如果再找第二位小数9，如 此下去，最后得到P.qqq,“,它是一个实数，即为E的上确界. 证明（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为 非负数，则存在非负整数”，使得 1)reS,有x>n: 2)存在x∈S,有x≤n+1: 把区间mn+川10等分，分点为n.1,n.2,·,n.9,存在m,使得 1)廿eS,有：x>nn: 2)存在∈S,使得≤m+市】 再对开区间”，n%+品】10等分，同理存在，使得 1)对任何x∈S,有x>nn,”: 2)存在本，使≤mn,+ 继续重复此步骤，知对任何k=12.,存在”使得 1D对任何xeS,x>nn一， 2)存在∈S,4≤nn,n. 因此得到7=mn%m.以下证明刀=fS. 1)对任意x∈S,x>7: 2》对任何a>n,存在x'eS使a>x. 作业：P91(1),(2:24(2)、(4):7
《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 11 （2） 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3） 若 max E 存在, 必有 max E = sup E. 对下确界有类似的结论. 3、确界原理: 定理 1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界. 这里我们给一个可以接受的说明. E R，E 非空， x E ，我们可以找到一个整数 p ，使 得 p 不是 E 上界，而 p +1 是 E 的上界.然后我们遍查 p.1 , p.2 , , p.9 和 p +1 ，我们可以找到一 个 0 q ，0 q0 9 ，使得 0 p.q 不是 E 上界， .( 1) p q0 + 是 E 上界，如果再找第二位小数 1 q ， , 如 此下去，最后得到 p.q0q1q2 ，它是一个实数，即为 E 的上确界. 证明 （书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设 S 中的元素都为 非负数，则存在非负整数 n ，使得 1） xS ，有 x n ； 2）存在 x1 S ，有 x n +1 ； 把区间 (n,n +1] １０等分，分点为 n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在 1 n ，使得 1） S ，有； 1 x n.n ； 2）存在 x2 S ，使得 10 1 2 1 x n.n + ． 再对开区间 ( . , . ] 10 1 n n1 n n1 + １０等分，同理存在 2 n ，使得 1）对任何 xS ，有 1 2 x n.n n ； 2）存在 2 x ，使 2 10 1 2 1 2 x n.n n + 继续重复此步骤，知对任何 k = 1,2, ，存在 k n 使得 1）对任何 xS， x n n n nk k 10 1 1 2 . − ； 2）存在 xk S ， k n n n nk x . 1 2 ． 因此得到 = n.n1n2 nk ．以下证明 = inf S ． 1) 对任意 xS， x ； 2) 对任何 ，存在 x S 使 x ． 作业： P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７