第一章实数集与函数 §1.1实数 授课章节：第一章实数集与函数一一§1.1实数 教学目标：使学生掌握实数的基本性质。 散学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性： (②)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式。（它们是分析论 证的重要工具) 教学难点：实数集的概念及其应用。 教学方法：讲授.（部分内容自学） 教学过程： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题.从本 节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容。首先，从大家都较为熟 悉的实数和函数开始 问题：为什么从“实数”开始. 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的(《复 变函数》研究的是定义在复数集上的函数).为此，我们要先了解一下实数的有关性质. 一、实数及其性质 一安发名低内数0政限个无理小 无理数：用无限不循环小数表示 R={xx为实数}-全体实数的集合. 问题：有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要， 我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为此作如下规定： 对于正有限小数x=a4.a,其中0≤a,≤9，i=1,2,.,n,an≠0，a,为非负整数，记 x=a,4.an9999:对于正整数x=a,则记x=(a,-1).9999.;对于负有限小数（包括负整 数)y,则先将-y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号.0=0.0000. 例：2.001-→2.0009999
3 第一章 实数集与函数 §1.1 实数 授课章节：第一章 实数集与函数——§1.1 实数 教学目标：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论 证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学过程： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本 节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟 悉的实数和函数开始． 问题： 为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复 变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、 实数及其性质 (一) 实数 ( , q p q p 正分数, 有理数 为整数且q 0)或有限小数和无限小数. 负分数, 无理数:用无限不循环小数表示. R x x = − − | 为实数 全体实数的集合 ． 问题: 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要， 我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对 于 正 有 限 小 数 0 1 , n x a a a = 其 中 0 0 9, 1,2, , , 0, i n = a i n a a 为非负整数 , 记 0 1 19999 n x a a a = − ；对于正整数 0 x a = , 则记 0 x a = − ( 1).9999 ；对于负有限小数（包括负整 数） y ，则先将 − y 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0＝0.0000 例： 2.001 2.0009999 →
3→2.9999. -2.001→-2.009999. -3-2.9999. 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.但新的问题又出现了：在此 规定下，如何比较实数的大小？ (仁)两实数大小的比较 1、定义1：给定两个非负实数x=a,4.an.,y=b,.bn.其中a,b为非负整数， a,b(k=1,2,)为整数，0≤a4≤9,0≤b,≤9.若有a4=b,k=1,2,则称x与y相等，记为 x=y:若a>或存在非负整数1，使得a=b,k=l,2.,1,而a1>1,则称x大于y或y小 于x,分别记为x>y或y-y,则 分别称为x=y与xx). 规定：任何非负实数大于任何负实数 2、数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）. 定义2（不足近似与过剩近似）：x=a4,.a,.为非负实数，称有理数r=a,4.an为实数x 的n位不足近似：了=或+移为实数x的n位过利近似。对于实数aA以，其n位 不足近似=-44.0.一10：n位过剩近似文=-440. 注：实数x的不足近似x,当n增大时不减，即有x≤x≤x≤.≤x过剩近似x。当n增大 时不增，即有x≥x2x2.x 命题：记x=a,4.a,.,y=b,.b,.为两个实数，则x>y的等价条件是：存在非负整 数n,使x,>。(其中x,为x的n位不足近似，.为y的n位过剩近似) 命题应用—例1 例1.设x,y为实数，x<y,证明存在有理数r,满足x<r<y. 证明：由x<少，知：存在非负整数，使得元<·令r=国+以小则r为有理数，且 x≤xn<r<y≤y.即x<r<y 3、实数常用性质（详见附录Ⅱ.P2-3:). 1)封闭性：实数集R对+，一，×÷四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除 4
4 3 2.9999 2.001 2.009999 3 2.9999 → − → − − → − 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此 规定下，如何比较实数的大小？ (二) 两实数大小的比较 1、定义 1：给定两个非负实数 0 1 n x a a a = ， 0 1 n y b b b = . 其中 0 0 a b, 为非负整数， , k k a b ( 1, 2, ) k = 为整数， 0 9,0 9 k k a b ．若有 , 1,2, k k a b k = = ，则称 x 与 y 相等，记为 x y = ；若 0 0 a b 或存在非负整数 l ，使得 , 1,2, , k k a b k l = = ，而 l l 1 1 a b + + ，则称 x 大于 y 或 y 小 于 x ，分别记为 x y 或 y x ．对于负实数 x、 y ，若按上述规定分别有 − = − x y 或 − − x y ，则 分别称为 x y = 与 x y （或 y x ）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 2、数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义 2（不足近似与过剩近似）： 0 1 n x a a a = 为非负实数，称有理数 0 1 n x a a a = 为实数 x 的 n 位不足近似； 1 10 n n n x x = + 称为实数 x 的 n 位过剩近似；对于实数 0 1 n x a a a = − ，其 n 位 不足近似 0 1 1 10 n n n x a a a = − − ； n 位过剩近似 n n 0 1 x a a a = − . 注：实数 x 的不足近似 n x 当 n 增大时不减，即有 0 1 2 x x x x ; 过剩近似 n x 当 n 增大 时不增，即有 0 1 x x x x ． 命题：记 0 1 n x a a a = ， 0 1 n y b b b = 为两个实数，则 x y 的等价条件是：存在非负整 数 n，使 n n x y （其中 n x 为 x 的 n 位不足近似， n y 为 y 的 n 位过剩近似）． 命题应用——例１ 例 1．设 x y, 为实数， x y ，证明存在有理数 r ，满足 x r y ． 证明：由 x y ，知：存在非负整数 n，使得 n n x y ．令 ( ) 1 2 n n r x y = + ，则 r 为有理数，且 n n x x r y y ．即 x r y ． 3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）． 1）封闭性：实数集Ｒ对 + − , , , 四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除
数不为0)仍是实数 2)有序性：任意两个实数a,b必满足下列关系之一：ab,a=b. 3)传递性：ac→a>c, 4)阿基米德性：Va,b∈R,b>a>0→3n∈N使得a>b. 5)稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数. 6)实数集R与数轴上的点有着一一对应关系. 例2.设va,beR,证明：若对任何正数6，有a0): 4)对任何a,beR有|a-|bsa±bsa+|b1(三角不等式)： 5)labHal-1b1: 6月-8cb0> 三、几个重要不等式 a)a2+b2≥2ab4 sin x s1.sinx s x. (2)均值不等式：对a,a2,.,aneR,记
5 数不为 0）仍是实数． 2）有序性：任意两个实数 a b, 必满足下列关系之一： a b a b a b = , , ． 3）传递性： a b b c a c , ． 4）阿基米德性： a b R b a n N , , 0 使得 na b ． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． 6）实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系． 例 2．设 a b R , ，证明：若对任何正数 ，有 a b + ，则 a b ． 提示：反证法．利用“有序性”，取 = −a b . 二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）． （一）绝对值的定义 实数 a 的绝对值的定义为 , 0 | | 0 a a a a a = − ． （二）几何意义 从数轴看，数 a 的绝对值 | | a 就是点 a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应， | | x a − 表示就是数轴上点 x 与 a 之间的距离． （三）性质 1） | | | | 0;| | 0 0 a a a a = − = = （非负性）； 2） − | | | | aaa ； 3） | | a h h a h − ，| | .( 0) a h h a h h − ； 4）对任何 a b R , 有 | | | | | | | | | | a b a b a b − + （三角不等式）； 5） | | | | | | ab a b = ； 6） | | | | a a b b = （ b 0 ）． 三、几个重要不等式 (1) 2 , 2 2 a + b ab sin x 1. sin x x . (2) 均值不等式: 对 , , , , 1 2 + a a an R 记
M(a)+d+.tdd (算术平均值) a-iej月 (几何平均值) a++ 1 (调和平均值) a az annaa 有平均值不等式： Ha,)sG(a,)sM(a,等号当且仅当a=a2=.=an时成立. (3)Bernoulli不等式：（在中学已用数学归纳法证明过） x>-L,有不等式(1+x)"≥1+m,n∈N. 当x>-1且x≠0，neN且n≥2时，有严格不等式1+x)”>1+m 证由1+x>0且1+x≠0，→1+x)”+n-1=1+x)”+1+1+.+1> >n1+x)”=n(1+x).→(1+x)>1+ (4)利用二项展开式得到的不等式：对h>0,由二项展开式 a+h=1+h+n-r+mn-1n=22++h、 2 31 有(1+h)”>上式右端任何一项. 练习P4.5 「一实数及其性质 课堂小结：实数：仁绝对值与不等式 作业：P4.1.(1),2.(2)、(3),3
6 , 1 ( ) 1 1 2 = = + + + = n i i n i a n n a a a M a (算术平均值) ( ) , 1 1 1 2 n n i i n G ai a a an a = = = (几何平均值) . 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 = = = = + + + = n i i n n i i i a n a a a n a n H a (调和平均值) 有平均值不等式: ( ) ( ) ( ), H ai G ai M ai 等号当且仅当 a1 = a2 == an 时成立. (3) Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) x −1, 有不等式 (1+ x) 1+ nx, nN. n 当 x −1 且 x 0, nN 且 n 2 时, 有严格不等式 (1 x) 1 nx. n + + 证 由 1+ x 0 且 1+ 0, (1+ ) + −1 = (1+ ) +1+1++1 n n x x n x n (1 x) n (1 x). n n + = + (1 x) 1 nx. n + + (4) 利用二项展开式得到的不等式: 对 h 0, 由二项展开式 , 3! ( 1)( 2) 2! ( 1) (1 ) 1 n 2 3 n h h n n n h n n h nh + + − − + − + = + + 有 + n (1 h) 上式右端任何一项. 练习 P4．5 课堂小结：实数： 一 实数及其性质 二 绝对值与不等式 . 作业: P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3