《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 第四章函数的连续性 引言 在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连 续函数.从今天开始，我们就来看看这类函数的特点.主要讲以下几个问题： 1,什么是“函数的连续性” 2.“间断”或“不连续”有哪些情形？ 3.连续函数有哪些性质？ 4.初等函数的连续性有何特点？ §1连续性概念 教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念 教学要求： 1、使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函 数在一点连续的各种等价叙述： 2、应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函 数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一 概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点： 3、明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生 清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。 教学重点：函数连续性概念 教学难点：函数连续性概念 教学过程： 引言 “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的.如图： ,x≠0 2,x=0
《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 1 第四章 函数的连续性 引言 在数学分析中,要研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连 续函数.从今天开始,我们就来看看这类函数的特点.主要讲以下几个问题： 1． 什么是“函数的连续性” 2． “间断”或“不连续”有哪些情形? 3． 连续函数有哪些性质? 4． 初等函数的连续性有何特点? §1 连续性概念 教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念. 教学要求： 1、使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义,并能熟练写出函 数在一点连续的各种等价叙述； 2、应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发,理解函 数在一点间断以及函数间断点的概念,从反面加深对函数在一点连续这一 概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点； 3、明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的,使学生 清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵. 教学重点：函数连续性概念. 教学难点：函数连续性概念. 教学过程： 引言 “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲,是不难理解的.如图：
《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 .6 0.2 (4) 0.2 e.(0.) 从图中可看出，(2)、（③）、(4在x=0点出现了间断，()是一条连在一起的、连续 不断的曲线：②职/)存在但不等于了0)，8x=0点无定义：④职不存 在.图形只能帮助我们理解概念，下面给出连续的严格定义. 一、函数在一点的连续性 (一)函数「在点x,连续的定义 定义1（∫在点x连续）设函数f在某U(x)内有定义，若1imfx)=fx), 则称∫在点x连续。 注imf)=f)=fimx),即“∫在点，连续”意味着“极限运算与对 应法则∫可交换， (二)例子 例1x∈R,sinx,cosx在x处连续. 例21im(2x+l)=5=f2). 例3讨论函数f(x)= xsin 天x≠0在点x=0处连续性 0x=0 (三)函数f在点x,连续的等价定义 1、记号：△x=x-x一一自变量x在点的增量或改变量.设
《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 2 从图中可看出,⑵、⑶、⑷在 x = 0 点出现了间断,⑴是一条连在一起的、连续 不断的曲线；⑵ lim ( ) 0 f x x→ 存在但不等于 f (0) ；⑶ x = 0 点无定义；⑷ lim ( ) 0 f x x→ 不存 在.图形只能帮助我们理解概念,下面给出连续的严格定义. 一、函数在一点的连续性 (一) 函数 f 在点 0 x 连续的定义 定义 1（ f 在点 0 x 连续） 设函数 f 在某 0 U x( ) 内有定义,若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = , 则称 f 在点 0 x 连续. 注 0 0 0 lim ( ) ( ) (lim ) x x x x f x f x f x → → = = ,即“ f 在点 0 x 连续”意味着“极限运算与对 应法则 f 可交换. (二) 例子 例 1 0 x R x x ,sin ,cos 在 0 x 处连续. 例 2 2 lim(2 1) 5 (2) x x f → + = = . 例 3 讨论函数 1 sin , 0 ( ) 0 , 0 x x f x x x = = 在点 x=0 处连续性. (三) 函数 f 在点 0 x 连续的等价定义 1 、记号 ： 0 = − x x x — — 自 变 量 x 在 点 的 增 量 或 改 变 量 . 设
《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 %=f),4y=f(x)-fx)=f(x+△)-fx)=y-片一一函数y在点x的增 量 注自变量的增量△x或函数的增量△y可正、可负、也可为零.（区别于“增 加”) 2、价定义1：函数f在点x连续一1m4y=0. 3、价定义2：函数f在点。连续一e>0,6>0,当Ix-xk6 时，lfx)-f(x)k6. 注一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式如用三种定义， 可以证明以下命题： 例4证明函数fx)=xDx)在点x=0连续，其中D(x)为Dirichlet函数. (四)函数f在点x有极限与函数∫在点x,连续之间的关系 1、对邻域的要求看：在讨论极限时，假定∫在U(x)内不定义（∫在点x可 以没有定义).而∫在点x,连续则要求∫在某U(x,)内有定义（包括x). 2、极限中，要求0x-xk6,而当“∫在点x连续”时，由于x=x 时，lf(x)-f(x)水k恒成立.所以换为：|x-xk6. 3、从对极限的要求看：“∫在点x连续”不仅要求“∫在点x有极限”，而 且mfx)=f6:而在讨论mf)时，不要求它等于f化)，甚至于 f(x)可以不存在. 总的来讲，函数在点x,连续的要求是：①f(x)在点x有定义：②imfx)存 在：回1mf八)=f).任何一条不满足，∫在点6就不连续.同时，由定义可知， 函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性质， (五)∫在点，左（右）连续定义 1、定义 3
《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 3 0 0 y f x = ( ), 0 0 0 0 = − = + − = − y f x f x f x x f x y y ( ) ( ) ( ) ( ) ——函数 y 在点 0 x 的增 量. 注 自变量的增量 x 或函数的增量 y 可正、可负、也可为零.（区别于“增 加”）. 2、价定义 1：函数 f 在点 0 x 连续 0 lim 0 x y → = . 3、价定义 2 ：函数 f 在 点 0 x 连 续 0, 0 , 当 0 | | x x − 时, 0 | ( ) ( ) | f x f x − . 注 一个定义是等价的,根据具体的问题选用不同的表述方式.如用三种定义, 可以证明以下命题： 例 4 证明函数 f x xD x ( ) ( ) = 在点 x = 0 连续,其中 D x( ) 为 Dirichlet 函数. (四) 函数 f 在点 0 x 有极限与函数 f 在点 0 x 连续之间的关系 1、对邻域的要求看：在讨论极限时,假定 f 在 0 0 U x( ) 内不定义（ f 在点 0 x 可 以没有定义）.而 f 在点 0 x 连续则要求 f 在某 0 U x( ) 内有定义（包括 0 x ）. 2、极限中,要求 0 0 | | − x x ,而当“ f 在点 0 x 连续”时,由 于 x= 0 x 时, 0 | ( ) ( ) | f x f x − 恒成立.所以换为： 0 | | x x − . 3、从对极限的要求看：“ f 在点 0 x 连续”不仅要求“ f 在点 0 x 有极限”,而 且 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ；而在讨论 0 lim ( ) x x f x → 时,不要求它等于 0 f x( ) ,甚至于 0 f x( ) 可以不存在. 总的来讲,函数在点 0 x 连续的要求是：① f x( ) 在点 0 x 有定义；② 0 lim ( ) x x f x → 存 在；③ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . 任何一条不满足, f 在点 0 x 就不连续.同时,由定义可知, 函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质. (五) f 在点 0 x 左（右）连续定义 1、定义
《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 定义2：设函数f在点U.()(U.(x)内有定义)，若m)=f,) （imfx)=fx),则称f在点，右（左）连续. 2、∫在点x,连续的等价刻划 定理4.1函数∫在点，连续一∫在点x既是右连续，又是左连续. 如上例4：mxD()=1mx=0=f0)(右连续)，ImxD()=lmx=0=f0) (左连续)， {一-之0在点x=0的连续性 例5讨论函数f=+2￥≥0 例6设 [sinx r0 其中a、b为常数.问：①。、b为何值时，/存在？②。、b为何值 时，f)在x=0点连续？ 解即)，画f)=6,故0b=1,a为任意常数时，f刊存在： (2)欲使f(x)在x=0点连续，应有a=1=b 二、区间上的连续函数 (一)定义 若函数∫在区间1上每一点都连续，则称∫为I上的连续函数.对于闭区间 或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续，若函数∫在 区间[a,]上仅有有限个第一类间断点，则称∫在[a,b]上分段连续. (二)例子
《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 4 定义 2：设函数 f 在点 0 U x( ) + （ 0 U x( ) − 内有定义）,若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = （ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = ）,则称 f 在点 0 x 右（左）连续. 2、 f 在点 0 x 连续的等价刻划 定理 4.1 函数 f 在点 0 x 连续 f 在点 0 x 既是右连续,又是左连续. 如上例 4： 0 0 lim ( ) lim 0 (0) x x xD x x f → → + + = = = （右连续）, 0 0 lim ( ) lim 0 (0) x x xD x x f → → − − = = = （左连续）. 例 5 讨论函数 2, 0 ( ) 2, 0 x x f x x x + = − 在点 x = 0 的连续性. 例 6 设 sin , 0 ( ) , 0 1 sin , 0 x x x f x a x x b x x = = + , 其中 a、b 为常数.问：⑴ a 、b 为何值时, lim ( ) 0 f x x→ 存在? ⑵ a 、b 为何值 时, f (x) 在 x = 0 点连续? 解 lim ( ) 1 0 = → − f x x , f x b x = → + lim ( ) 0 ,故⑴ b =1, a 为任意常数时, lim ( ) 0 f x x→ 存在； ⑵ 欲使 f (x) 在 x = 0 点连续,应有 a =1= b 二、区间上的连续函数 (一) 定义 若函数 f 在区间Ｉ上每一点都连续,则称 f 为Ｉ上的连续函数.对于闭区间 或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续.若函数 f 在 区间 [ , ] a b 上仅有有限个第一类间断点,则称 f 在 [ , ] a b 上分段连续. (二) 例子
《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 1、函数y=C,y=x,y=sinx,y=cosx是R上的连续函数： 2、函数y=√-x2在(-1,1)内每一点都连续.在x=1处为左连续，在x=-1处 为右连续，因而它在[-1，】上连续. 命题初等函数在其定义区间上为连续函数 函数y=[x,y=sgnx在-l,】上是分段连续的y=[闲在R上是分段连续吗？ sgnx在R上是分段连续吗？ 三、间断点及其分类 (一)不连续点（间断点）定义 定义3设函数f在某U(x)内有定义，若∫在点x无定义，或∫在点x有 定义而不2，不则称点x,为函数∫的间断点或不连续点. 注这个定义不好：还不如说：设∫在U(x)内不定义，如果f(x)在x,不连 续，则称x是x)的不连续点（或间断点）.由上述分析可见，若为函数∫的间 断点，则必出现下列情形之一：①fx)在点x无定义：②mf)不存在：③ mfx)≠f,).据此，对函数的间断点作如下分类： (二)间断点分类 1、去间断点若limf(x)=A,而f在点x,无定义，或有定义但f,)≠A,则 称x,为∫的可去间断点。 例如：x=0是函数HsgnxL8()=s血的可去间断点 “可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”.设x。是f(x)的可 去间断点，且只=A7树则飞是7元的莲续点 Ax≠x0 例如，对g)=nx,定义g={ x0,则到在x=0连续 (1x=0 5
《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 5 1、函数 y C y x y x y x = = = = , , sin , cos 是Ｒ上的连续函数； 2、函数 2 y x = −1 在 ( 1,1) − 内每一点都连续.在 x =1 处为左连续,在 x =−1 处 为右连续,因而它在 [ 1,1] − 上连续. 命题 初等函数在其定义区间上为连续函数. 函数 y x = [ ] , y x = sgn 在 [ 1,1] − 上是分段连续的 y x = [ ] 在Ｒ上是分段连续吗? sgn x 在Ｒ上是分段连续吗? 三、间断点及其分类 (一) 不连续点（间断点）定义 定义 3 设函数 f 在某 0 0 U x( ) 内有定义,若 f 在点 0 x 无定义,或 f 在点 0 x 有 定义而不 2,不则称点 0 x 为函数 f 的间断点或不连续点. 注 这个定义不好；还不如说：设 f 在 0 0 U x( ) 内不定义,如果 f x( ) 在 0 x 不连 续,则称 0 x 是 f x( ) 的不连续点（或间断点）.由上述分析可见,若 0 x 为函数 f 的间 断点,则必出现下列情形之一：① f x( ) 在点 0 x 无定义；② 0 lim ( ) x x f x → 不存在；③ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → .据此,对函数的间断点作如下分类： (二) 间断点分类 1、去间断点 若 0 lim ( ) x x f x A → = ,而 f 在点 0 x 无定义,或有定义但 0 f x A ( ) ,则 称 0 x 为 f 的可去间断点. 例如： x = 0 是函数 sin ( ) | sgn |, ( ) x f x x g x x = = 的可去间断点. “可去间断点”名称何来?通过一定的手段,可以“去掉”.设 0 x 是 f x( ) 的可 去间断点,且 0 lim ( ) x x f x A → = . 0 0 ( ), ( ) , f x x x f x A x x = 则 0 x 是 f x( ) 的连续点. 例如,对 sin ( ) x g x x = ,定义 sin , 0 ( ) 1, 0 x x g x x x = = ,则 g x( ) 在 x = 0 连续
《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 2、跃间断点若1mfx,im)存在，但f优+0以f伍-0，则称点x为 函数∫的跳跃间断点. 例如，对y=x,lim[闲=0，lim[x)=-1故x=0是它的跳跃间断点。 再如x=0是sgnx的跳跃间断点。 可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、 右极限都存在 3、二类间断点函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极 限不存在的点)称为函数的第二类间断点. 例如，x=0是函数：，sn上的第二类间断点。 定理f田)在(a)上单调，若点无为函数∫的间断点，则点飞必是∫的第 一类间断点. 证明无妨设f在(a,b)单调上升，x∈a,),当r→。-0时，函数值 )单调上升，有上界)，所以极限存在，且f国=f代化-0)≤f) 同理0田=f化+0)2f化，) 若f,-0)=f+0),为f)连续点，若f-0)<f+0),为第 一类间断点。 例7讨论函数-1x-的间断点类型 x(x2-D) 例8延拓函数)-如3江，使在点，=0连续， 的举出定义在0】上且仅在点：一子号三点间断的函数的子。 例l0讨论Dirichlet函数D(x)和Riemann函数R(x)的连续性. 作业教材P73-741(1),2(6)(7),3-6:
《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 6 2、跃间断点 若 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 存在,但 0 0 f x f x ( 0), ( 0) + − ,则称点 0 x 为 函数 f 的跳跃间断点. 例如,对 y x = [ ] , 0 0 lim[ ] 0, lim[ ] 1 x x x x → → + − = = − 故 x = 0 是它的跳跃间断点. 再如 x = 0 是 sgn x 的跳跃间断点. 可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点,其特点的函数在该点处的左、 右极限都存在. 3、二类间断点 函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极 限不存在的点）称为函数的第二类间断点. 例如, x = 0 是函数 1 x , 1 sin x 的第二类间断点. 定理 f (x) 在 (a,b) 上单调,若点 0 x 为函数 f 的间断点,则点 0 x 必是 f 的第 一类间断点. 证明 无妨设 f (x) 在 (a,b) 单调上升, ( , ) x0 a b ,当 x → x0 − 0 时,函数值 f (x) 单调上升,有上界 ( ) 0 f x ,所以极限存在,且 lim ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x = − → − . 同理 lim ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x = + → + . 若 ( 0) ( 0) f x0 − = f x0 + , 0 x 为 f (x) 连续点,若 ( 0) ( 0) f x0 − f x0 + , 0 x 为第 一类间断点. 例7 讨论函数 ( 1) ( 1) ( ) 2 − − = x x x x f x 的间断点类型. 例8 延拓函数 , sin 3 ( ) x x f x = 使在点 x0 = 0 连续. 例9 举出定义在[0,1]上且仅在点 4 1 , 3 1 , 2 1 x = 三点间断的函数的例子. 例10 讨论 Dirichlet 函数 D(x) 和 Riemann 函数 R(x) 的连续性. 作业 教材 P73—74 1 (1),2 (6)(7), 3—6；