《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 §3平面曲线的弧长与曲率 教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式. (1)基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式. (②)较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式。 教学建议： (1)要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式. (②)对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式. 教学过程： 一、曲线弧长的概念 设平面曲线C(4,B),在其上从A到B依次取分点得曲线的一个分割T: A=B,R,乃，Pn=B 用线段联结相邻的点得：P,1=12”。记 闪xP月=2P同 t= 分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义1对于平面曲线C的无论怎样的分割T，若极限 07=s 存在，则称曲线C是可求长的，并称s为曲线C的弧长。 二、参数形曲线的弧长的计算公式 定义2设平面曲线C:x=),y=),t∈[a,刷若x0与)在a,]上连 续可微，且0与0不同时为零，则称C为一条光滑曲线。 定理1设平面曲线C:x=0,y=0,1[a,]为一光滑曲线，则C是可 求长的，且弧长为 1
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 1 §3 平面曲线的弧长与曲率 教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式． (1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式． (2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式． 教学建议： (1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式． (2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式． 教学过程： 一、曲线弧长的概念 设平面曲线 C(A, B) ，在其上从 A 到 B 依次取分点得曲线的一个分割 T ： A = P0 ,P1 ,P2 , ,Pn = B 用线段联结相邻的点得： Pi−1Pi ,i =1,2, ,n 。记 = − − = = n i i i T i i i n T P P s P P 1 1 1 1 max , 分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义 1 对于平面曲线 C 的无论怎样的分割 T ，若极限 s s T T = →0 lim 存在，则称曲线 C 是可求长的，并称 s 为曲线 C 的弧长。 二、参数形曲线的弧长的计算公式 定义 2 设平面曲线 C : x = x(t), y = y(t),t [,]. 若 x(t) 与 y(t) 在 [,] 上连 续可微，且 x'(t) 与 y'(t) 不同时为零，则称 C 为一条光滑曲线。 定理 1 设平面曲线 C : x = x(t), y = y(t),t [,] 为一光滑曲线，则 C 是可 求长的，且弧长为
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 s=Nr2w+y产od 证： 对C作任意分割T:A=B,A,B,B=B,并设6，分别对 应1=a与x=B,且P)=(,儿1=l2,n-1于是与T对应地得到区 间a,]的一个分割T:a=00,38>0,当P<δ时，只要 5,n,∈△，就有 水Ba=l2n 于是有 2
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 2 ' ( ) ' ( ) . 2 2 s x t y t dt = + 证： 对 C 作任意分割 T ： A = P0 ,P1 ,P2 , ,Pn = B ，并设 P Pn , 0 分别对 应 t = 与 x = ，且 P (x , y ) = (x(t ), y(t )),i =1,2, n −1. i i i i i 于是与 T 对应地得到区 间 [,] 的一个分割 ': . T = t0 t1 tn−1 tn = 在 [ , ] i i 1 i x x = − 上应用微分 中值定理得 ( ) ( ) '( ) , ; i i i 1 i i i i x = x t − x t − = x t ( ) ( ) '( ) , . i i i 1 i i i i y = y t − y t − = y t 从而有 ' ( ) ' ( ) . 1 2 2 1 2 2 i n i i i n i T i i s = x + y = x + y t = = 由 C 为一光滑曲线知， T → 0 与 T' → 0 是等价的。又由 ' ( ) ' ( ) 2 2 x t + y t 在 [,] 上连续从而可积，因此由定义 1，只需证明 = + = → → = i n i i i T T T s x y t 1 2 2 0 ' 0 lim lim ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) . 2 2 x t y t dt + （*） 记 ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ), 2 2 2 2 i i i i i = x + y − x + y 则有 [ ' ( ) ' ( ) ] . 1 2 2 i i n i T i i s = x + y + t = 由三角不等式易证 y'( ) y'( ) y'( ) y'( ),i 1,2, n. i i − i i − i = 又因 y'(t) 在 [,] 上连续，从而一致连续，故 0, 0, 当 T' 时，只要 i i i , ，就有 ,i 1,2, .n. i = − 于是有 ' ( ) ' ( ) . 1 1 1 2 2 − + = = = = i n i i n i i i n i T i i i s x y t t t
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 由此及(*)式知，所证公式成立。 例1、求摆线x=a0-sm)y=al-cos0Xa>0)一拱的弧长。 解： x0=a1-cos0,y0=asn4,由公式得 g-7,0*r0d-了2n0-osa2am子h=8a 三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式 若曲线C:y=f),x∈[a,则当f)在a,b上连续可微时，此曲线为 光滑曲线，它的弧长公式为 s=f+2(x)dx 例2、求悬链线=+0 2从x=0到x=a>0一段的弧长。 y=ei-ex +y2-e+e2 2 4,由公式得 -j+r产ah-ee.,e 02 2 四、极坐标形曲线的弧长的计算公式 设曲线C:r=r(O),0∈[a,]将其化为参数形C: x=r(0)cos0.y=r(0)sin 0,0 e[a,]. 当()在a,)上连续，且r(O)与r(O)不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲 线，其弧长的计算公式为 s=jP20)+p208 例3、求心形线r=a1+cos0a>0)的周长。 解：由公式得 g-于、P产0+rP10W=272a2u+es0W 0
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 3 由此及（*）式知，所证公式成立。 例 1、求摆线 x = a(t − sin t), y = a(1− cost)(a 0) 一拱的弧长。 解： x'(t) = a(1− cost), y'(t) = asin t, 由公式 得 s x t y t dt a t dt = + = − 2 0 2 2 0 2 2 ' ( ) ' ( ) 2 (1 cos ) = 8 . 2 2 sin 2 0 dt a t a = 三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式 若曲线 C ： y = f (x), x [a,b] ，则当 f (x) 在 [a,b] 上连续可微时，此曲线为一 光滑曲线，它的弧长公式为 1 ' ( ) . 2 s f x dx b a = + 例 2、求悬链线 2 x x e e y − + = 从 x = 0 到 x = a 0 一段的弧长。 解： 4, ( ) ,1 ' 2 ' 2 2 x x x x e e y e e y − − + + = − = 由公式得 . 2 2 1 ' ( ) 0 0 2 − − − = + = + = a a x x a a e e dx e e s f x dx 四、极坐标形曲线的弧长的计算公式 设曲线 C ：r = r(),[,]. 将其化为参数形 C ： x = r() cos, y = r()sin ,[,]. 当 r'() 在 [,] 上连续，且 r() 与 r'() 不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲 线，其弧长的计算公式为 ( ) ' ( ) . 2 2 = + s r r d 例 3、求心形线 r = a(1+ cos)(a 0) 的周长。 解： 由公式得 = + = + s r r d a d 2 0 2 2 0 2 2 ( ) ' ( ) 2 2 (1 cos )
《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 dafcosa 注意：若定理1中公式的上限改为变量1，则有 s=F2()+y2( 由于被积函数连续，所以有 s0)=Vx2(0)+y2(0 =Vr20+y2(0h 后式称为弧微分。 作业：P246:1
《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 4 8 . 2 4 cos 0 a d = a 注意：若定理 1 中公式的上限改为变量 t ，则有 ' ( ) ' ( ) . 2 2 = + s x y d t 由于被积函数 连续，所以有 '( ) ' ( ) ' ( ) 2 2 s t = x t + y t ds = x' (t) y' (t)dt 2 2 + 后式称为弧微分。 作业：P246 : 1