《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 §3一般项级数 教学目标：掌握交错级数的莱布尼茨判别法，一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法. 教学内容：交错级数：莱布尼茨判别法：狄利克雷判别法：阿贝尔判别法：条件收敛：绝对收 敛 (1)基本要求：掌握条件收敛和绝对收敛的定义，掌握交错级数的莱布尼茨判别法. (②)较高要求：掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的 性质. 散学建议： (①)本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收敛和绝 对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论.总结判别一般项级数的敛散性的各种方法. (②)本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要求较好 学生掌握绝对收敛级数的性质。 教学过程： 一、交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 ∑(-)4n，(un>0,m) 称为交错级数。 定理12.31（莱布尼茨判别法）若交错级数∑-)“，满足下述两个条件： (1)数列{un}单调递减：(2)m4,=0。 则级数立-)，收敛。且此时有它-)4飞4。 证明：因S2m1=4-(4,-4,)-(仙m-2一山m-)≤4是递减的： 而S=(4-)+(仙，-)++（仙-山）是递增的。又 0<S2-S2m=山2m→0(m→o),从而{S2m,S2m-]}是一个闭区间套，故由闭区间套定
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 1 §3 一般项级数 教学目标：掌握交错级数的莱布尼茨判别法，一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 教学内容：交错级数；莱布尼茨判别法； 狄利克雷判别法；阿贝尔判别法；条件收敛；绝对收 敛． (1) 基本要求：掌握条件收敛和绝对收敛的定义，掌握交错级数的莱布尼茨判别法． (2) 较高要求：掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的 性质． 教学建议： (1) 本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收敛和绝 对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论．总结判别一般项级数的敛散性的各种方法． (2) 本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要求较好 学生掌握绝对收敛级数的性质． 教学过程： 一、 交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 = + − 1 1 ( 1) n n n u ，(u 0, n) n 称为交错级数。 定理 12.3.1（莱布尼茨判别法） 若交错级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足下述两个条件： （1） 数列 un 单调递减； （2） lim = 0 → n n u 。 则级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛。且此时有 1 1 1 ( 1) u u n n n − = + 。 证明：因 2 1 1 2 3 2 2 2 1 1 S m− = u − (u − u ) −− (u m− − u m− ) u 是递减的； 而 ( ) ( ) ( ) S2m = u1 − u2 + u3 − u4 ++ u2m−1 − u2m 是递增的。又 0 S2m−1 − S2m = u2m → 0 (m → ) ，从而 {[ , ]} S2m S2m−1 是一个闭区间套，故由闭区间套定
《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 理知，存在唯一的一个数S,使 lim S2=lim S2=S, 故数列)收敛，即级数-)"，收敛 至于不等式2-)us%由S≤4即可得。 推论：若级数∑-)“，满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为 R2-u54. 例1、判别下列级数的收敛性：①-n:2含-o一 ③)2-0· 二、绝对收敛级数及其性质 若级数∑4n各项绝对值所组成的级数∑4收敛，则称原级数∑“。绝对收敛。 定理12.3.2绝对收敛的级数一定收敛 证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例2、对任何实数口，级数三阳是绝对收敛的， 若级数∑4n收敛，但级数∑4发散，则称级数∑4n条件收敛。 如：三-广中是条件收敛的：豆-”2和2-广是绝对收敛的. 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 绝对收敛的级数有以下性质： 1、级数的重排 定理12.3.3设级数∑4，绝对收敛，且其和等于S,则任意重排后所得到的级数也绝对收
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 2 理知，存在唯一的一个数 S，使 S S m S m m m = = → − → 2 1 2 lim lim ， 故数列 Sn 收敛，即级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛。 至于不等式 1 1 1 ( 1) u u n n n − = + 由 S2m−1 u1 即可得。 推论： 若级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为 1 1 1 ( 1) + = + + = − n k n k k Rn u u 。 例 1、判别下列级数的收敛性：（1） 1 1 ( 1) 1 1 + − = + n n n ；（2） (2 1)! 1 ( 1) 1 1 − − = + n n n ； （3） n n n n 10 ( 1) 1 1 = + − 。 二 、 绝对收敛级数及其性质 若级数 un 各项绝对值所组成的级数 un 收敛，则称原级数 un 绝对收敛。 定理 12.3.2 绝对收敛的级数一定收敛。 证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例 2、对任何实数 ，级数 =1 ! n n n 是绝对收敛的。 若级数 un 收敛，但级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛。 如： 1 1 ( 1) 1 1 + − = + n n n 是条件收敛的； (2 1)! 1 ( 1) 1 1 − − = + n n n 和 n n n n 10 ( 1) 1 1 = + − 是绝对收敛的。 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 绝对收敛的级数有以下性质： 1、级数的重排 定理 12.3.3 设级数 un 绝对收敛，且其和等于 S，则任意重排后所得到的级数也绝对收
《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系】 敛，且其和也不变。 注意：(1)由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛：即使收敛，也不一定收敛于 原来的和数。 (2)条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。 如：设-日1写甘名号.=A 则 含-w+这-w当 它正是第1个级数的重排。 2.级数的乘积 设有收敛级数 ∑4n=4+++4n+.=A (1) ∑yn=y+y2++vn+.=B。 (2) 它们每一项所有可能的乘积为： 4%424y3.4y. 444.4。. (3) . 定理12.3.4（柯西定理）若级数(1)、(2)都绝对收敛，则对(3)中所有乘积4，按 任意顺序排列所得到的级数∑W。也绝对收敛，且和等于AB。 例3、等比级数 irel 3
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 3 敛，且其和也不变。 注意：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于 原来的和数。 （2）条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。 如：设 A n n n − = − + − + − + − + = = + 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 1) 1 1 ， 则 8 2 1 6 1 4 1 2 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n − = − + − + = = + ， 而 n n n 1 ( 1) 1 1 = + − 2 3 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n + − = + − + + − + = = + ， 它正是第 1 个级数的重排。 2．级数的乘积 设有收敛级数 un = u1 + u2 ++ un += A， （1） vn = v1 + v2 ++ vn += B 。 （2） 它们每一项所有可能的乘积为： 1 1 u v 1 2 u v 1 3 u v . n u v1 . 2 1 u v 2 2 u v 2 3 u v . n u v2 . 3 1 u v 3 2 u v 3 3 u v . n u v3 . （3） . . . . . . 1 u vn 2 u vn 3 u vn . n n u v . . . . . . . 定理 12.3.4（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积 i j u v 按 任意顺序排列所得到的级数 wn 也绝对收敛，且和等于 AB。 例 3、等比级数 1− r 1 =1+ r + r 2 ++ r n +， r 1
《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 是绝对收敛的，将∑”)按(15)的顺序排列。则得到 0-序1++r）++r2+r)++++p四+ 1个 =1+2r+3r2+.+(n+10r"+. 注：(3)中所有乘积4y,可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序： y+43+42+“2y+山+++山3+4%+； 或对角线顺序： 4,y+4++y+++ 三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式： 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）设6，y,=1,2,m为两组实数，若令 0g=y+2+.+k,(k=1,2,.,m 则有下列求和公式成立： 25=(6-,g+低-6a,++6-8加+80 证明：直接计算可得。 推论（阿贝尔引理）若(1)81,62，.，6n单调数组： (2)对任一正整数k1≤k≤n)有o=出+y2+.+ysA,记 &=maxs},则有 空es38 证明：由阿贝尔引理即可得。 定理12.3.5（阿贝尔判别法）若{a,}为单调有界数列，且级数∑b,收敛，则级数 ∑anbn=a,h+ab2++anbn+. 收敛
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 4 是绝对收敛的，将 2 ) n （ r 按（15）的顺序排列。则得到 2 (1 ) 1 − r = + + + + + ++ ++ + +1个 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n r r r r r r r =1+ 2r + 3r 2 ++ (n +1)r n + . 注：（3）中所有乘积 i j u v 可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序： u1 v1 + u1 v2 + u2 v2 + u2 v1 + u2 v3 + u2 v3 + u3 v3 + u3 v2 + u3 v1 + ； 或对角线顺序： u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v2 + u3 v1 +。 三、 阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式： 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换） 设 i ， i v (i = 1,2, ,n) 为两组实数，若令 k k = v + v ++ v 1 2 ， (k = 1,2, ,n) 则有下列求和公式成立： i n n n n n n i i v = − + − + + − − − + = 1 2 1 2 3 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 。 证明：直接计算可得。 推论（阿贝尔引理） 若（1） n , , , 1 2 单调数组； （2）对任一正整数 k(1 k n) 有 k = v1 + v2 ++ vk A ，记 max{ }k k = ，则有 v A n k k k 3 1 = 。 证明：由阿贝尔引理即可得。 定理 12.3.5 （阿贝尔判别法）若 { }n a 为单调有界数列，且级数 bn 收敛，则级数 anbn = a1b1 + a2b2 ++ anbn + 收敛
《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 证明：由阿贝尔引理及柯西准则即可得。 如：由此判别法可知，当级数∑4收敛时，级数 Σ片>0：产 收敛。 定理12.3.6（狄利克雷判别法）若{a,}为单调递减数列，且ma。=0,又级数∑b,的 部分和数列有界，则级数 ∑a.bn=a,h+ab2+.+anbn+ 收敛。 证明：同定理12-3-5。 例4、若数列{a}为单调递减，且ma,=0,则级数 ∑a,sin nx,∑a cos nx 对任何x∈(0,2π)都收敛。 解：由狄利克雷判别法即得 作业：P24:1,2,3
《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 5 证明：由阿贝尔引理及柯西准则即可得。 如：由此判别法可知，当级数 un 收敛时，级数 ( p 0) n u p n ， n +1 un 收敛。 定理 12.3.6（狄利克雷判别法） 若 { }n a 为单调递减数列，且 lim = 0 → n n a ，又级数 bn 的 部分和数列有界，则级数 anbn = a1b1 + a2b2 ++ anbn + 收敛。 证明：同定理 12-3-5。 例 4、若数列 { }n a 为单调递减，且 lim = 0 → n n a ，则级数 a nx n sin ， a nx n cos 对任何 x (0,2 ) 都收敛。 解：由狄利克雷判别法即得。 作业： P24 ：1，2，3