《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 §3几何应用 教学目的掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线，求空间曲 线的切线与法平面，求曲面的切平面与法线。 教学要求能够写出平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程 以及曲面的切平面与法线方程。 教学建议要求学生必须熟记平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法 平面方程以及曲面的切平面与法线方程，可布置适量的习题加深他们的印象， 教学程序 一、平面曲线的切线与法线：设平面曲线方程为F(x,)=0.有 w是 切线方程为 F(x0,%)(x-x)+F,(xo)y-%)=0, 法线方程为 F,(xo-Yo)(x-xo)-F,(Xo:yo)(y-yo)=0. 例1求Descartes叶形线2(x3+y)-9xy=0在点(2,1)处的切线和法线 二、空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示） 本段主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切 线和法平面的计算问题。 (一)、参数方程的情形 设空间曲线I的参数方程为 x=x() y=y(t)(astsb) :=(0 其中1的参数。又设x,y,‘都在[a,b]连续，并且对每一1∈[a,b1,x),y'),)不 全为0，这样的曲线称为光滑曲线. 向量表示：r=r)=xt)i+)+)k,tea,b。r()的导数定义为
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 1 §3 几何应用 教学目的 掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线，求空间曲 线的切线与法平面，求曲面的切平面与法线． 教学要求 能够写出平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程 以及曲面的切平面与法线方程． 教学建议 要求学生必须熟记平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法 平面方程以及曲面的切平面与法线方程，可布置适量的习题加深他们的印象． 教学程序 一、 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为 F(x, y) = 0 . 有 y x F F f (x) = − . 切线方程为 ( , ) 0 0 F x y x (x − x0 ) + ( , ) 0 0 F x y y (y − y0 ) = 0 , 法线方程为 ( , ) 0 0 F x y y (x − x0 ) − ( , ) 0 0 F x y x (y − y0 ) = 0 . 例1 求Descartes 叶形线 2( ) 9 0 3 3 x + y − xy = 在点 ( 2 ,1) 处的切线和法线 . 二、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示） 本段主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切 线和法平面的计算问题。 （一）、 参数方程的情形 设空间曲线 l 的参数方程为 ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t = = = ( ) a t b 其中 t 的参数。又设 x y z , , 都在 [ , ] a b 连续，并且对每一 t a b x t y t z t [ , ], ( ), ( ), ( ) 不 全为 0，这样的曲线称为光滑曲线. 向量表示： r r t x t i y t j z t k t a b = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ]。rt() 的导数定义为
《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 r0=名m+g四 =-(+0-01+0+-0j+0+A)-0利 At △M △M =x(0i+y'0j+'0k (x,y,存在) 几何意义：少=(+△)-r)表示通过曲线1上两点P、Q的割线的方向向量， 令M→0，即点Q得1通过点P时，~的极限位置就是曲线1在点P的切向量x, 即x=r)=(x,y'0,0). 有了切向量x,就可写出曲线1在任一点P,(x,)的切线方程： -=y-= x'(u)y'()() 法平面：过点P,可以作无穷多条切线与切线x垂直，所有这些直线都在同一 平面上，称这个平面为曲线L在点P,处的法平面，其方程为： xx-x)+yy-)+z'(z-o)=0 例1求螺旋线I:x=acost,y=asint,z=ct,(其中a,b,c为常数)在点(a, 0,0)的切线方程和法平面方程. (二)、空间曲线/是用两个曲面的交线表示的，如何求切向量？ 设有一个方程组（两个曲线方程的联立）》又设尺G关于 z有连续的偏导数，点，化，6，o)满足方程组：F0力0=0，G00=0, 并且F,G的Jacobi矩阵 2
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim( ) ( ) ( ) ( ) t t t r r t t r t r t t t x t t x t y t t y t z t t z t i j k t t t x t i y t j z t k → → → + − = = + − + − + − = + + = + + ( , , ) x y z 存在 . 几何意义： = + − r r t t r t ( ) ( ) 表示通过曲线 l 上两点 P、Q 的割线的方向向量， 令 →t 0 ，即点 Q 得 l 通过点 P 时， r t 的极限位置就是曲线 l 在点 P 的切向量 ， 即 = = r t x t y t z t ( ) ( ( ), ( ), ( )) . 有了切向量 ，就可写出曲线 l 在任一点 0 0 0 0 p x y z ( , , ) 的切线方程： 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z x t y t z t − − − = = 法平面：过点 0 p 可以作无穷多条切线与切线 x 垂直，所有这些直线都在同一 平面上，称这个平面为曲线 L 在点 0 p 处的法平面，其方程为： 0 0 0 0 0 0 x t x x y t y y z t z z ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 − + − + − = . 例 1 求螺旋线 l ：x a t y a t z ct = = = cos , sin , ，（其中 abc , , 为常数）在点（a， 0，0）的切线方程和法平面方程. （二）、空间曲线 l 是用两个曲面的交线表示的，如何求切向量？ 设有一个方程组（两个曲线方程的联立） = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z ，又设 F、G 关于 x，y， z 有连续的偏导数，点 0 0 0 0 p x y z ( , , ) 满足方程组： F(x0 , y0 ,z0 ) = 0 ，G(x0 , y0 ,z0 ) = 0， 并且 F，G 的 Jacobi 矩阵 x G x F y G y F z G z F
《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 在鱼A的成为2，不设等 aF *0。由方程组的隐函数存在定理(P器定理 3)知道，在点P,的某一个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数 y=,:=)从几何上看，即曲面下Fx)=0和G,)=0在点P,的近分端定 了一条光滑的曲线！（两曲面的交线），其方程为：x=x,y=),:=), 此处x是参数，与该切线的切向量是，g,x》其中yx,.)的求法可以用上节 求法（方程组确定的隐函数求导法求出） 例2求两柱面的交线仁：：在点A方疗方的切线方程和法平面方 x2+2=1 程 三、曲面的法向量、法线和切平面 （一)、F,)-0的情形 若光滑曲线S的方程组Fx)-0,M场(0，0)为曲面上一点，过点M任做 条在曲面上的曲线1，设其方程为：x=x),y=0),:=0。则切平面方程： (M,X-0)+(,M,W-)+(EM,亿-0)=0：过点场并与切线平面垂直的直线，称 为曲线在点（的法线，方程为：高品品品 （二)、2-fx):Fxy)-Z-fx)-0，(000)=0,) 切平面方程：（会wK-0)=停w-0)=毫w2-0=0, (三)、曲面方程由方程组给出： x=u,),y=,),:=(,)
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 3 在点 0 p 的秩为 2，不妨设 y G y F 0 0 z P G z F 。由方程组的隐函数存在定理（P526定理 3）知道，在点 0 p 的某一个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数 y = y(x)， z = z(x) 从几何上看，即曲面下 F(x, y,z) = 0 和 G(x, y,z) = 0 在点 0 p 的近分端定 了一条光滑的曲线 l （两曲面的交线），其方程为： x = x ， y = y(x)， z = z(x) ， 此处 x 是参数，与该切线 l 的切向量是 (1, g (x),z (x)) 其中 y (x),z (x) 的求法可以用上节 求法（方程组确定的隐函数求导法求出） ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) y z F G z x F G y x = ； ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) y z F G x y F G z x = . 例 2 求两柱面的交线 + = + = 1 1 2 2 2 2 x z x y 在点 0 p ) 2 1 , 2 1 , 2 1 ( 的切线方程和法平面方 程. 三、 曲面的法向量、法线和切平面 （一）、 F(x, y,z) = 0 的情形 若光滑曲线 S 的方程组 F(x, y,z) = 0 ， ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为曲面上一点，过点 M0 任做 一条在曲面上的曲线 l ，设其方程为： x = x(t)， y = y(t)， z = z(t) 。则切平面方程： ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 0 Fx M X − x + Fy M Y − y + Fz M Z − z = ；过点 M0 并与切线平面垂直的直线，称 为曲线在点 M0 的法线，方程为： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x M y M Fz M Z z F Y y F X x − = − = − 。 （二）、 Z = f (x, y) ： F(x, y,z) = Z − f (x, y) = 0 ， ( , , ) 0 0 0 x y z ( ( , )) 0 0 0 z = f x y 切平面方程： ( ) ( , ) ( 0 ) ( ) ( , ) ( 0 ) ( ) ( , ) ( 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 − = − = − = Z z z z Y y y z X x x z x y x y x y , 法线方程： 1 ( ) ( ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0 0 0 0 Z z y z Y y x z X x x y x y − = − − = − − . （三）、曲面方程由方程组给出： x = x(u,v)， y = y(u,v)， z = z(u,v)
《数学分析》下册 第十八章隐雨数定值及其应用海南大学数学系 v是参数，并假定Jacobi矩阵 的秩为2 法线方程： 盒款 z-0 例3求曲面：=2+y2-1在点(2,1,4)的法向量的方向余弦，并求其法线 方程和切平面方程. 例4证明对任何常数pp,球面x2+y2+2-p2和锥面x2+2=g20正交. 作业教材163页：1-5
《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 4 u,v 是参数，并假定 Jacobi 矩阵 x x u x v y u y v z u z 的秩为 2. 法线方程： 0 0 0 ) ( , ) ( , ) ) ( ( , ) ( , ) ) ( ( , ) ( , ) ( 0 0 0 M M M u v z y Z z u v z x Y y u v y z X x − = − = − . 例 3 求曲面 1 2 2 z = x + y − 在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线 方程和切平面方程. 例 4 证明对任何常数 , ，球面 2 2 2 2 x + y + z = 和锥面 2 2 2 x + y = tg 正交. 作业 教材 163 页: 1-5