第五章二次型 §1二次型的矩阵表示 教学目标掌握二次型、线性替换、二次型的矩阵、矩阵合同的概念；二次型的矩阵表示 教学重点：二次型分的概念、二次型的矩阵表示 教学方法：讲授法 教学过程 定义1设P是一数域.an∈P1≤i<j≤n)称n元二次齐次多项式 fx,x2,.,x)=a1+2a23+.+2ax +a2z+.+2a2nmx2xn E13EA 为数域P上的一个n元二次型，简称二次型. 例如 +2+3x5+2x+4xx+3x 就是0上的-个三元二次型（其中系数4：=24：=24=2） 定义2设c,∈P1≤i,j≤m),称关系式 x=Gy+C2乃2+.+Cyn (2) 。=C+Cn2h+.+cm 为由x,.,x,到片，.，y的一个线性替换简称线性替换如果系数行列式c≠0，则称线性替换(2)为 非退化的 容易看出，若把(2)代入(1)，就得到变元为片，·，y的二次型，换言之，线性替换把二次型变为二次
第五章二次型 §1 二次型的矩阵表示 教学目标: 掌握二次型、线性替换、二次型的矩阵、矩阵合同的概念；二次型的矩阵表示. 教学重点: 二次型分的概念、二次型的矩阵表示. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 定义 1 设 P 是一数域. (1 ) ij a P i j n 称 n 元二次齐次多项式 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 22 2 2 2 2 n n + + + a x a x x 2 nn n +a x (1) 为数域 P 上的一个 n 元二次型,简称二次型. 例如 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 x x x x x x x x x + + + + + 3 2 4 3 就是 Q 上的一个三元二次型(其中系数 12 13 23 1 3 , , 2 2 2 a a a = = = ). 定义 2 设 (1 , ), ij c P i j n ,称关系式 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y = + + + = + + + = + + + (2) 为由 1 , , n x x 到 1 , , n y y 的一个线性替换,简称线性替换.如果系数行列式 0 ij c ,则称线性替换(2)为 非退化的. 容易看出,若把(2)代入(1),就得到变元为 1 , , n y y 的二次型,换言之,线性替换把二次型变为二次 型
在研究二次型时，矩阵是一个有力的工具，下面讨论二次型的矩阵表示，令a=a,<).由于 XX,=x无，所以二次型(1)可以写成 f(x,x,.,x)=ax2+a2x为2++anxx。 +a+an2 。 ax (3) 把(3)的系数排成一个矩阵 aa.aw aan2.ann 它就称为二次型(3)的矩阵.因为。=Q,亿j=1,2,.,n川，所以A=A这样的矩阵称为对称矩阵，简称 xn 则由矩阵的乘法有（约定(a)=a) aaaiw anan2.am 41x1+a,x2++a1X. =(,2,xn) a1+az+.+anx an+an23+.+d
在研究二次型时,矩阵是一个有力的工具,下面讨论二次型的矩阵表示.令 ( ) ji ij a a i j = .由于 i j j i x x x x = ,所以二次型(1)可以写成 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x 1 1 n n ij i j i j a x x = = = (3) 把(3)的系数排成一个矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = (4) 它就称为二次型(3)的矩阵.因为 ( , 1,2, , ) ji ij a a i j n = = ,所以 A A = 这样的矩阵称为对称矩阵,简称 对称阵.因此,二次型的矩阵都是对称阵. 令 1 2 n x x X x = 则由矩阵的乘法有(约定 ( ) a a = ) 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x X AX x x x a a a x = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x + + + + + + = + + +
,x,.,x)=XLX g 这就是二次型(3)的矩阵表示（或矩阵形式） 由A的构成易知，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的，因而，若二次型 fx,x,.,x,)=XAX=XBX,则A=B ClG.Gm】 cac2.Cm y.) 则线性替换(2)可表示为 X=CY YBY现在来看B与A的关系 把(5)代入(4)，得 )=X4X=(CY)A(CY)=YCACY =Y(C'AC)Y =YBY 易知CAC是对称的.故有B=CAC 定义3.设A,B为数域P上的n级方阵.若有n级可逆矩阵C,使 B=C'AC 则称A与B是合同的 容易证明，合同关系具有 I).反身性：A=E'AE 2).对称性：B=CAC→A=(CyBC 3).传递性：A=C'AC,A=C2'AC2→A=(CC2YA(CC2) 作业： 预习：下一节的基本概念 S2标准形
1 1 n n ij i j i j a x x = = = 故 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX = (4) 这就是二次型(3)的矩阵表示(或矩阵形式). 由 A 的 构 成 易 知 , 二 次 型 和 它 的 矩 阵 是 相 互 唯 一 决 定 的 , 因 而 , 若二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX X BX = = ,则 A B = 令 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n n n nn n c c c y c c c y C Y c c c y = = 则线性替换(2)可表示为 X CY = (5) 设二次型由(4)给出,由前面的讨论知,二次型(4)经非退化线性替换 X CY = 化为二次型 Y BY .现在来看 B 与 A 的关系 把(5)代入(4),得 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) n f x x x X AX CY A CY Y C ACY = = = = = Y C AC Y Y BY ( ) 易知 C AC 是对称的.故有 B C AC = . 定义 3. 设 A B, 为数域 P 上的 n 级方阵.若有 n 级可逆矩阵 C ,使 B C AC = 则称 A B 与 是合同的. 容易证明,合同关系具有 1).反身性: A E AE = 2).对称性: 1 1 B C AC A C BC ( ) − − = = 3).传递性: 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 A C AC A C AC A C C A C C , ( ) ( ) = = = . 作业: 预习: 下一节的基本概念. §2 标准形
教学目标掌握二次型的标准形的概念；会用配方法求二次型的标准形 教学重点：用配方法求二次型的标准形. 教学方法讲授法 教学过程 本节讨论用非退化线性替换化简二次型的问题何谓最简单的二次型？一般而言，就是只含平方次 的二次型 f(.x)=dxi+d++dx2 我们有 定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为1)的形式 证明对n作归纳法n=I时结论显然成立.假设对n-1元二次型结论成立.下面看n元二次型的 情形设 fx,.,x)=Σa,xxa,=0) 分三种情形讨论： 1).a=l,2,.,m)中至少有一个不为零，不妨设a1≠0.此时 6=a+2a+2a+22q -4f+24+22 -a+aia-(ap +a =a+2aia广+22 其中 22=-ga+2a 是一个x2,.,x的n-1元二次型.令
教学目标: 掌握二次型的标准形的概念；会用配方法求二次型的标准形. 教学重点: 用配方法求二次型的标准形. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 本节讨论用非退化线性替换化简二次型的问题.何谓最简单的二次型?一般而言,就是只含平方次 的二次型 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x = + + + (1) 我们有 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为(1)的形式. 证明 对 n 作归纳法. n =1 时结论显然成立.假设对 n−1 元二次型结论成立.下面看 n 元二次型的 情形.设 1 2 1 1 ( , , , ) ( ) n n n ij i j ij ji i j f x x x a x x a a = = = = . 分三种情形讨论: 1). ( 1,2, , ) ii a i n = 中至少有一个不为零,不妨设 11 a 0 .此时 2 1 2 11 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , , ) n n n n n j j i i j ij i j j i i j f x x x a x a x x a x x a x x = = = = = + + + 2 11 1 1 1 2 2 2 2 n n n j j ij i j j i j a x a x x a x x = = = = + + 1 2 1 2 11 1 11 1 11 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n n n j j i j ij i j j j i j a x a a x a a x a x x − − = = = = = + − + 1 2 11 1 11 1 2 2 2 ( ) , n n n j j ij i j j i j a x a a x b x x − = = = = + + 其中 1 2 11 1 2 2 2 2 2 ( ) n n n n n ij i j j j ij i j i j j i j b x x a a x a x x − = = = = = = − + 是一个 2 , , n x x 的 n−1 元二次型.令
x=y-∑aa,y, 3=2, Ix=y. 则它是非退化线性替换，且使 )=a+22 由归纳假设对∑∑6，y,有非退化线性替换 五 3=C2y+C++Cn》a 。 =Cn2y2 +Cm3y3+.+Cmy 使它化为平方和。d,子+d,子+.+d于是，非退化线性替换 53=C22乃2+.+C2myn Cw22++Cmy 就使得 fx,x,.,xn)=a+d2+.+dn 由归纳法原理此时定理得证 2).所有a=0.但至少有一个4，≠0，不妨设a2≠0.令 [x=1+ x3=-2 3=5 (X=5 它是非退化线性替换且使 f,x,.,xn)=2a253+.=2a(+2-)+.2a2-2a2号+， 上式右端是，2，.，二n的元二次型，且：子的系数不为零，化为第一种情形，故定理成立 3).41=a2=.=an=0
1 1 1 11 1 2 2 2 , , , n j j j n n x y a a y x y x y − = = − = = 则它是非退化线性替换,且使 2 1 2 11 1 2 2 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a y b y y = = = + . 由归纳假设,对 2 2 n n ij i j i j b y y = = 有非退化线性替换 2 22 2 23 3 2 3 32 2 33 3 3 2 2 3 3 , , , n n n n n n n nn n z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y = + + + = + + + = + + + 使它化为平方和. 2 2 2 2 2 3 3 . n n d z d z d z + + + 于是,非退化线性替换 2 1 3 22 2 2 2 2 , , n n n n nn n z y z c y c y z c y c y = = + + = + + 就使得 2 2 2 1 2 11 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x a z d z d z = + + + 由归纳法原理.此时定理得证. 2).所有 0 ii a = .但至少有一个 1 0 j a ,不妨设 12 a 0.令 1 1 2 2 1 2 3 3 . n n x z z x z z x z x z = + = − = = 它是非退化线性替换.且使 1 2 12 1 2 ( , , , ) 2 n f x x x a x x = + 12 1 2 1 2 = + − + 2 ( )( ) a z z z z 2 2 12 1 12 2 2 2 , a z a z − + 上式右端是 1 2 , , , n z z z 的元二次型,且 2 1 z 的系数不为零,化为第一种情形,故定理成立. 3). 11 12 1 0. n a a a = = = =
此时由对性有=4=.=0=0放化，)-20，它是一个n-l元二次 型由归纳假设定理得证（此化法称为配方法） 易知.二次型(1)的矩阵为对角矩阵 d0.0 0d2.0 00.dn 因此用矩阵的语言，定理1可叙述为 定理2数域P上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵 定义1二次型f八，X2,x)经过非退化线性替换化成的平方和称为它的一个标准形 问题二次型的标准形唯一吗？ 例1化二次型为标准形f八xxx)=2x书-6x,+2x书 解依次作三次非退化线性替换 名=乃+乃 =+ 52=, 5=乃-片， 乃=53 53=%2+2 =⅓， =3, 33=w 得 fxx)=2(0y+y-)-6-)y+20y-y=20y-⅓)2-2y-2y+8yy =2-2+8=25-2=2-2(52-2-)2+8Ξ-2 =2-2(32-23)}+6=22-2m+6w 总的线性替换为 x)110101100）113 x1-10010012%1-1-1% (x(001八001八001八%001八， 前面所讲的配方法的过程，可以用矩阵写出来下面按每一种情况写出相应的矩阵 1.4,≠0，此时的线性替换为 x=y-∑aavy x3=, x =y
此时由对称性有 21 31 1 0. n a a a = = = = ,故 1 2 2 2 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x = = = .它是一个 n−1 元二次 型.由归纳假设.定理得证(此化法称为配方法) 易知,二次型(1)的矩阵为对角矩阵 1 2 0 0 0 0 0 0 n d d d 因此,用矩阵的语言,定理 1 可叙述为 定理 2 数域 P 上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 定义 1 二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x 经过非退化线性替换化成的平方和称为它的一个标准形. 问题 二次型的标准形唯一吗? 例 1 化二次型为标准形 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( ) 2 6 2 = − + 解 依次作三次非退化线性替换 1 1 2 2 1 2 3 3 , , x y y x y y x y = + = − = 1 1 3 2 2 3 3 , , y z z y z y z = + = = 2 1 3 2 3 3 3 , 2 z w z w w z w = = + = 得 222 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 2 3 f x x x y y y y y y y y y y y y y y y y ( ) 2( )( ) 6( ) 2( ) 2( ) 2 2 8 = + − − − + − = − − − + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3 3 = − + − = − − + − 2 2 8 2 2 2( 2 ) 8 2 z z z z z z z z z z 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 = − − + = − + 2 2( 2 ) 6 2 2 6 . z z z z w w w 总的线性替换为 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 3 1 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x w w x w w x w w = − = − − 前面所讲的配方法的过程，可以用矩阵写出来.下面按每一种情况写出相应的矩阵. 1. 11 a 0 ,此时的线性替换为 1 1 1 11 1 , 2 2 2 , . n j j j n n x y a a y x y x y − = = − = =
(1-aiia-ana C= 01*.0 00.1 则和可写成分块矩阵 4-Ac-0 子是 cca2e002-64-0】 -64-a 矩阵A-aa'a是一个(n-1)×(n-1)对称阵，由归纳假设，有(n-1)×(n-1)可逆矩阵G使 G(A-ana'a)G=D 为对角形令C=00）】 o G cscc-6864-a08-68 这是一个对角矩阵我们所要的可逆矩阵为C=CC, 2.4,=0,但有一个a≠0. 这时，只要把A的第一行与第1行互换，再把第一列与第1列互换，就归结为上面的情形，根据初等矩 阵与初等变换的关系，取C=P1,),则 CAC P(Li)AP(L1) 就是把A的第一行与第i行互换，再把第一列与第1列互换的结果因此，CAC左上角的第一个元素 就是a,于是归结为第一种情形 3.an=0,i=12.,n,但有一个ay≠0，j≠1
令 1 1 11 12 11 1 1 1 0 1 0 0 0 1 n a a a a C − − − − = , 22 2 12 1 1 2 ( , , ), . n n n nn a a a a A a a = = 则和可写成分块矩阵 1 11 11 1 1 1 1 , . ' 0 n a a A C A E − − − = = 于是 ' 1 1 1 11 1 1 0 ' n C AC a E − − = − 11 1 ' a A 1 11 1 1 0 n a E − − − 11 1 1 11 0 ' a A a − = − 1 11 1 1 0 n a E − − − = 11 1 1 11 0 0 ' a A a − − 矩阵 1 1 11 A a ' − − 是一个 ( 1) ( 1) n n − − 对称阵,由归纳假设,有 ( 1) ( 1) n n − − 可逆矩阵 G 使 G' ( 1 1 11 A a ' − − ) G D= 为对角形.令 2 1 0 , 0 C G = 则 ' ' CC2 1 A CC1 2 1 0 0 ' G = 11 1 1 11 0 0 ' a A a − − 1 0 0 G 11 0 0 a D = , 这是一个对角矩阵.我们所要的可逆矩阵为 1 2 C C C = . 2. 11 a = 0 ,但有一个 0 ii a . 这时,只要把 A 的第一行与第 i 行互换,再把第一列与第 i 列互换,就归结为上面的情形,根据初等矩 阵与初等变换的关系,取 1 C P i = (1, ) ,则 ' 1 1 C AC P i AP i = (1, ) (1, ) 就是把 A 的第一行与第 i 行互换,再把第一列与第 i 列互换的结果.因此, ' C AC 1 1 左上角的第一个元素 就是 ii a ,于是归结为第一种情形. 3. 0, 1,2, , ii a i n = = ,但有一个 1 0, 1 j a j
与上一种情形类似，作合同变换 P2,)'AP2,J)=P(2,)AP2,J) 后，位于第一行第二列的元素就是a,与配方法中的第二种情况想对应，取 110.0 1-10.0 C=001.0 . (000.1 则CP(2,)'AP(2,)C,的左上角就是 2a,0】 (0-2aJ 这就又归结为第一种情形 4.a,=0j=l2,.,n 由对称性，a,广=1，.，n也全为零于是 460 A是n-1级对称矩阵.由归纳法假定，有(n-1)×(n-)可逆矩阵G使GAG=D成对角形取 c-08 CAC就成对角形. 例化二次型f(,x2,x)=2xx2-6x2x3+2xx成标准形 f(,x2,x)的矩阵为 1-30 取 110 G=1-o 001
与上一种情形类似,作合同变换 P j AP J (2, )' (2, ) = P j AP J (2, ) (2, ) 后,位于第一行第二列的元素就是 1 j a .与配方法中的第二种情况想对应,取 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C − = 则 ' 1 1 C P j AP j C (2, )' (2, ) 的左上角就是 1 1 2 0 0 2 j j a a − , 这就又归结为第一种情形. 4. 1 0, 1,2, , j a j n = = . 由对称性， 1 , 1, , j a j n = 也全为零.于是 1 0 0 , 0 A A = A1 是 n−1 级对称矩阵.由归纳法假定，有 ( 1) ( 1) n n − − 可逆矩阵 G 使 G AG D 1 = 成对角形.取 1 0 , 0 C G = C AC 就成对角形. 例 化二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 6 2 = − + 成标准形 1 2 3 f x x x ( , , ) 的矩阵为 0 1 1 1 0 3 1 3 0 A = − − 取 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 C = −
o6非司 再取 101 c=010 001 4e任：8 再取 100 C,=012 001 021八04-2八001006 4已是对角矩阵，因此令 001八001八001001) 就有 200 CAC==0-20 006 作非退化线性替换X=CY,即得 f(x,2,x)=2y2-2y2+6 作业：237，习题1之4) 预习：下一节的基本概 S3唯一性 教学目标掌握复二次型与实二次型的规范形的概念；正惯性指数、负惯性指数、符号差的概
1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 A C AC = = − 0 1 1 1 0 3 1 3 0 − − 1 1 0 1 1 0 0 0 1 − = 2 0 2 0 2 4 2 4 0 − − − 再取 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 C = A C AC 2 2 1 2 = = 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 2 4 2 4 0 − − − 1 0 1 0 1 0 0 0 1 = 2 0 2 0 2 4 . 0 4 2 − − 再取 3 1 0 0 0 1 2 . 0 0 1 C = A3 = C A C 3 2 3 = 1 0 0 0 1 0 0 2 1 2 0 2 0 2 4 0 4 2 − − 1 0 0 0 1 2 0 0 1 200 0 2 0 . 0 0 6 = − A3 已是对角矩阵，因此令 C C C C = = 1 2 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 − 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 3 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 = − − 就有 C AC = 200 0 2 0 . 0 0 6 = − 作非退化线性替换 X CY = , 即得 222 1 2 3 1 2 3 f x x x y y y ( , , ) 2 2 6 . = − + 作业: P237,习题 1 之 4). 预习: 下一节的基本概念. §3 唯一性 教学目标: 掌握复二次型与实二次型的规范形的概念；正惯性指数、负惯性指数、符号差的概
念、实二次型的规范形的唯性 教学重点：正惯性指数、负惯性指数、符号差的概念、实二次型的规范形的唯一性 教学方法讲授法 教学过程 由上节的讨论知，任一二次型的矩阵必与一个对角形矩阵合同由第四章$4定理4.合同的矩阵有相 同的秩因此，经过非退化线性替换，二次型矩阵的秩不变由于标准形的矩阵是对角矩阵，而对角形矩阵 的秩等于它的对角线上为零的元素的个数所以，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方次的个 数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关二次型矩阵的秩就称为二次型的秩 但是，二次型的标准形并不唯一比如上一节的例子，二次型2x5-6x,+2x经过线性替换 x）113)w 化为标准形 2w2-2w+6w, 而经过线性替换 (互00 √5√235 2 2 x 2 /0② 13 01-1-1 x 600以g 2 00 6 0 0 6 化为另一个标准形 -+ 这就说明，在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，它与所作的非退化线性替换有关 下面仅就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性问题， 设f(x,2,.,x)是一个复系数的二次型.由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后， f(x,2,.,x)变成标准形，不妨设它的标准形是 dy+d2+.+dyd,≠0，i=l,2,.,r 再作一非退化线性替换
念、实二次型的规范形的唯一性. 教学重点: 正惯性指数、负惯性指数、符号差的概念、实二次型的规范形的唯一性. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 由上节的讨论知,任一二次型的矩阵必与一个对角形矩阵合同.由第四章§4 定理 4.合同的矩阵有相 同的秩.因此,经过非退化线性替换,二次型矩阵的秩不变.由于标准形的矩阵是对角矩阵,而对角形矩阵 的秩等于它的对角线上为零的元素的个数.所以,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方次的个 数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关.二次型矩阵的秩就称为二次型的秩. 但是,二次型的标准形并不唯一.比如上一节的例子,二次型 1 2 2 3 1 3 2 6 2 x x x x x x − + 经过线性替换 1 1 2 2 3 3 1 1 3 111 0 0 1 x w x w x w = − − 化为标准形 222 1 2 3 2 2 6 , www − + 而经过线性替换 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 0 0 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 2 2 2 2 0 0 1 6 6 0 0 0 0 6 6 x y y x y y x y y = − − − = − 化为另一个标准形 2 2 2 1 2 3 y y y − + . 这就说明,在一般数域内,二次型的标准形不是唯一的,它与所作的非退化线性替换有关. 下面仅就复数域和实数域的情形来进一步讨论唯一性问题. 设 1 2 ( , , , ) n f x x x 是一个复系数的二次型. 由本章定理 1, 经过一适当的非退化线性替换后, 1 2 ( , , , ) n f x x x 变成标准形,不妨设它的标准形是 2 2 2 1 1 2 2 0, 1,2, , . r r i d y d y d y d i r + + + = (1) 再作一非退化线性替换