第七章参数估计 9§7.1点估计 。§7.2基于截尾样本的最大似然估计 9§7.3估计量的评选标准 9§7.4区间估计 。§7.5正态总体均值和方差的区间估计 9§7.6(0一1)分布参数的区间估计 9§7.7单侧置信区间 1/41
第七章 参数估计 §7.1 点估计 §7.2 基于截尾样本的最大似然估计 §7.3 估计量的评选标准 §7.4 区间估计 §7.5 正态总体均值和方差的区间估计 §7.6 (0-1)分布参数的区间估计 §7.7 单侧置信区间 1/41
第七章参数估计 §7.1点估计 9§7.2基于截尾样本的最大似然估计 9§7.3估计量的评选标准 9§7.4区间估计 。§7.5正态总体均值和方差的区间估计 9§7.6(0一1)分布参数的区间估计 9§7.7单侧置信区间 2141
第七章 参数估计 §7.1 点估计 §7.2 基于截尾样本的最大似然估计 §7.3 估计量的评选标准 §7.4 区间估计 §7.5 正态总体均值和方差的区间估计 §7.6 (0-1)分布参数的区间估计 §7.7 单侧置信区间 2/41
§7.1点估计 从本章开始讨论统计推断的两类基本问题:参数 估计和假设检验问题,本章讨论总体参数的点估计和 区间估计。参数估计问题是利用从总体抽样得到的信 息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计新生儿的平均体重 估计废品率 估计平均降雨量 估计湖中鱼数 ●●● 3/41
从本章开始讨论统计推断的两类基本问题:参数 估计和假设检验问题,本章讨论总体参数的点估计和 区间估计。参数估计问题是利用从总体抽样得到的信 息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计废品率 估计新生儿的平均体重 估计湖中鱼数 . . 估计平均降雨量 §7.1 点估计 3/41
§7.1点估计 问题:在总体形式已知时,对参数进行估计,有3个问题: (1)估计值?(点估计) (2)统计量选择的科学性(评选标准) (3)估计值的可信度?(区间估计) 点估计: 设总体X的分布函数的形式为已知,但它的一个或多个 参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数 的值的问题称为参数的点估计问题 9如:已知X~N(4,σ2),但参数u,σ2为未知,需要估计 4/41
§7.1 点估计 问题:在总体形式已知时,对参数进行估计,有3个问题: (1) 估计值?(点估计) (2) 统计量选择的科学性(评选标准) (3) 估计值的可信度?(区间估计) 点估计: 设总体X的分布函数的形式为已知,但它的一个或多个 参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数 的值的问题称为参数的点估计问题 如:已知X~N(μ,σ 2 ),但参数μ,σ 2为未知,需要估计 4/41
§7.1点估计 点估计问题用数学模型来描述: ●设总体X的分布函数F;0)的形式为已知,是待估参数, XX2,Xn是X的一个样本,x1,x2,七n是相应的一个样本 值 。点估计问题就是要基于样本构造一个适当的统计量0(X1, X2,X),并用它的一个观察值0(化1,2,xm)作为未知参 数的近似值。 ●称0(X1,X2.,X,)为0的估计量,0(1,2,x,n)为0的估计值 不致混淆情况下,称估计量和估计值为估计,并都简记为日 ●估计量是样本的函数,样本值不同,0的估计值一般不同, 这体现了样本的个性 5/41
§7.1 点估计 点估计问题用数学模型来描述: 设总体X的分布函数F(x; θ)的形式为已知,θ是待估参数, X1 ,X2 ,.,Xn是X的一个样本,x1 , x2 ,., xn是相应的一个样本 值 点估计问题就是要基于样本构造一个适当的统计量 (X1 , X2 ,.,Xn ),并用它的一个观察值 (x1 , x2 ,., xn )作为未知参 数的近似值。 称 (X1 ,X2 ,.,Xn )为θ的估计量, (x1 , x2 ,., xn )为θ的估计值 不致混淆情况下,称估计量和估计值为估计,并都简记为 估计量是样本的函数,样本值不同,θ 的估计值一般不同, 这体现了样本的个性 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5/41
§7.1点估计 ·例1:某炸药厂,一天中发生着火现象的次数X~π(2)泊松分布,参数 未知,现有以下样本值,试估计参数。 着火次数k|0123456 发生k次着火的天数n75905422621总计250天 解:首先找到一个对的估计量 已知=EX),而样本均值的数学期望E函=EX,即AkPk1 所以可以用样本均值X来估计总体均值) 样本容量为250,均值相当于250天的着火次数相加/250 。即的估计量元=E(X)=之Xx,n=250 。的估计值元=E(X)=250宫 (0×75+1×90+.+6×1)=1.22 可见对未知参数的估计量的构造方法是值得研究的 6/41
§7.1 点估计 例1:某炸药厂,一天中发生着火现象的次数X~π(λ)泊松分布,参数λ 未知,现有以下样本值,试估计参数λ。 着火次数k 0 1 2 3 4 5 6 发生k次着火的天数nk 75 90 54 22 6 2 1 总计250天 解:首先找到一个对λ的估计量 已知λ=E(X),而样本均值的数学期望E( )=E(X),即Ak μk |k=1 所以可以用样本均值 来估计总体均值λ 样本容量为250,均值相当于250天的着火次数相加/250 即λ的估计量 = ,n=250 λ的估计值 = = =1.22 可见对未知参数的估计量的构造方法是值得研究的 X P ˆ n k Xk n E X 1 1 ( ) ˆ ˆ ( ) E ˆ X (0 75 1 90 6 1) 250 1 250 1 250 1 k Xk X 6/41
§7.1点估计 。有两种典型的点估计方法: 矩估计法和最大似然估计法 。(一)矩估计法 ●它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计 方法 ●是英国统计学家K皮尔逊最早提出的 ●其基本思想是用样本矩估计总体矩 。理论依据是大数定律 7/41
§7.1 点估计 有两种典型的点估计方法: 矩估计法和最大似然估计法 (一)矩估计法 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计 方法 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 其基本思想是用样本矩估计总体矩 理论依据是大数定律 7/41
§7.1点估计 可以通过构造样本矩来构造估计量,因为总体矩 总可以表示为未知参数的函数,如果令总体矩等 于样本矩的观察值,则构建了一个等式 。设X为连续型随机变量,概率密度为 fx;01,02,0) 9或X为离散型随机变量,其分布律为 PX=x=p(;01,02,0) 。其中01,02,0为待估的k个未知参数, X1,X2.,Xm是来自总体X的样本 8/41
§7.1 点估计 可以通过构造样本矩来构造估计量,因为总体矩 总可以表示为未知参数的函数,如果令总体矩等 于样本矩的观察值,则构建了一个等式 设X为连续型随机变量,概率密度为 f(x; θ1 , θ2 ,., θk ) 或X为离散型随机变量,其分布律为 P{X=x}=p(x; θ1 , θ2 ,., θk ) 其中θ1 , θ2 ,., θk为待估的k个未知参数, X1 ,X2 ,.,Xn是来自总体X的样本 8/41
§7.1点估计 。假设总体X的前k阶总体矩存在,记为1,2,k, 其中对任意的有 X为连续型:4,=EX9x'f(x8,8,.,0) 或离散型:4=EX)∑xp(x;8,8,0) 它们都是待估参数01,02,0x的函数,写成方程 组得「41=41(0,0,.,0) 42=42(81,81,.,8) 4k=4x(0,8,.,0g) 9/41
§7.1 点估计 假设总体X的前k阶总体矩存在,记为μ1 , μ2 ,.,μk, 其中对任意的μl有 X为连续型:μl=E(Xl )= 或离散型:μl=E(Xl )= 它们都是待估参数θ1 , θ2 ,., θk的函数,写成方程 组得 x f x k dx l ( ; , , , ) 1 1 ( ; , , , ) 1 1 1 i k i l xi p x ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k 9/41
§7.1点估计 9一般情况下,包含k个未知参数的方程组可以求出k个未知 参数,即「日=0(4,41,.,4x) 02=02(41,41,.,4k) 0g=8k(41,41,.,4k) 但总体矩的形式容易求得,即待估参数的函数,但实际值 未知,而我们有辛饮定理的推论,即 若总体X的k阶矩E(X=存在,则由辛钦定理,当→o 时,样本k阶矩A=∑XP→k,k=1,2., 2 由依概率收敛的性质知道 g(41,A2,A)P→g41,42,g为连续函数 10/41
§7.1 点估计 一般情况下,包含k个未知参数的方程组可以求出k个未知 参数,即 但总体矩的形式容易求得,即待估参数的函数,但实际值 未知,而我们有辛钦定理的推论,即 若总体X的k阶矩E(Xk )=μk存在,则由辛钦定理,当n→∞ 时,样本k阶矩Ak μk,k=1,2,., 由依概率收敛的性质知道 g(A1 , A2 ,., Ak ) g(μ1 , μ2 ,., μk ),g为连续函数 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k P n i k Xi n 1 1 P 10/41