概華伦与款程统外 第二节 抽样分布 一、基本概念 二、常见分布 三、小结
第二节 抽样分布 一、基本概念 二、常见分布 三、小结
概華论与款程统外 一、基本概念 1.统计量的定义 设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本 g(X1,X2,.,Xn)是X1,X2,Xn的函数，若g中 不含未知参数则称g(X1,X2,Xn)是一个统 计量 设x1,x2,xn是相应于样本X1,X2,X 的样本值则称g(x1,x2,xn)是g(X1,X2,Xn) 的观察值
一、基本概念 1. 统计量的定义 . , ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 计 量 不含未知参数 则 称 是一个统 是 的函数 若 中 设 是来自总体 的一个样本 n n n n g X X X g X X X X X X g X X X X . , ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 的观察值 的样本值 则 称 是 设 是相应于样本 n n n n g x x x g X X X x x x X X X
概车纶与款理统外「 实例1设X1,X2,X3是来自总体N(4,σ2)的一个 样本，其中μ为已知，σ2为未知，判断下列各式哪 些是统计量，哪些不是？ T=X1, T2=X1+X2e, =3X+X,+X 是 T4=max(X1,X2,X3),T5=X1+X2-24 =。+X+X 不是
, ? , , , , , ( , ) 2 2 1 2 3 些是统计量 哪些不是 样本 其中 为已知 为未知 判断下列各式哪 设 是来自总体 的一个 X X X N , T1 = X1 , 3 2 1 2 X T = X + X e ( ), 3 1 T3 = X1 + X2 + X3 max( , , ), T4 = X1 X2 X3 2 , T5 = X1 + X2 − ( ). 1 2 3 2 2 2 T6 2 X1 + X + X = 是 不是 实例1
概车纶与款理统外 2.几个常用统计量的定义 设X1,X2,Xn是来自总体的一个样本， 51,2,.,xn是这一样本的观察值 (1)样本平均值 X=2x: n j=1 其观察值 x= i=1 (2)样本方差 -'2x-n空x-x
2. 几个常用统计量的定义 , , , . , , , , 1 2 1 2 是这一样本的观察值 设 是来自总体的一个样本 n n x x x X X X (1)样本平均值 ; 1 1 = = n i Xi n X (2)样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 . 1 1 1 2 2 − − = = n i Xi nX n . 1 1 = = n i xi n 其观察值 x
概率伦与散理统针」 其观察值 -2{2-限 3)样本标准差 S=1S2= 20- 其观察值 s=a2-时
其观察值 = − − = n i xi x n s 1 2 2 ( ) 1 1 . 1 1 1 2 2 − − = = n i xi nx n (3)样本标准差 ( ) ; 1 1 1 2 2 = − − = = n i Xi X n S S 其观察值 ( ) . 1 1 1 2 = − − = n i xi x n s
棍率伦与散理统针」 ④样本k阶原点)矩4=2x,k=1,2 其观察值a4=12x,k=1,2,. n i=1 (⑤)样本k阶中心矩 B=2(x-X,k=23,. N i=1 其观察值=∑(x-x),k=23
(4) 样本 k 阶(原点)矩 , 1, 2, ; 1 1 = = = X k n A n i k k i 其观察值 , 1, 2, . 1 1 = = = x k n n i k k i (5)样本 k 阶中心矩 ( ) , 2, 3, ; 1 1 = − = = X X k n B n i k k i 其观察值 ( ) , 2, 3, . 1 1 = − = = x x k n b n i k k i
概车纶与款理统外 由以上定义得下述结论： 若总体X的k阶矩E(X)记成山存在， 则当n→o时，AgP→4k,k=1,2,. 证明因为X1,X2,Xn独立且与X同分布， 所以X,X,X独立且与X同分布， 故有E(X)=E(X)=.=E(X)=4k: 再根据第五章辛钦定理知 辛钦定理
, , 1, 2, . ( ) , n → A ⎯→ k = X k E X k P k k k 则 当 时 若总体 的 阶 矩 记 成 存 在 证明 , , , , 因为X1 X2 Xn 独立且与X 同分布 , , , , 所以 X1 k X2 k Xn k 独立且与X k同分布 ( ) ( ) ( ) . 1 2 k k n k k 故有 E X = E X == E X = 再根据第五章辛钦定理知 辛钦定理 由以上定义得下述结论:
概華论与款醒统外 1XP→4，k=1,2, n i=1 由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 g(A1,A2,.,Ak)P→g(41,42,.,44为 其中g是连续函数、 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法 的理论根据
由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 ( , , , ) ( , , , ), 1 2 1 2 k P g A A Ak ⎯→g 其中g是连续函数. , 1, 2, ; 1 1 ⎯→ = = X k n k P n i k i 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法 的理论根据
概率伦与散理统针」 3.经验分布函数 总体分布函数F(x)相应的统计量称为经验 分布函数 经验分布函数的做法如下： 设X1,X2,Xm是总体F的一个样本 用S(x)(-0<x<+oo)表示X1,X2,.,Xn中不大 于x的随机变量的个数， 定义经验分布函数F(x)为 F,(x)=IS(x),(-oo<x<+o0)
3. 经验分布函数 . ( ) 分布函数 总体分布函数F x 相应的统计量称为经验 经验分布函数的做法如下: , , , , 设 X1 X2 Xn是总体F的一个样本 , ( )( ) , , , 1 2 于 的随机变量的个数 用 表示 中不大 x S x − x + X X Xn 定义经验分布函数F (x)为 n ( ), ( ) 1 ( ) = S x − x + n Fn x
概華论与款醒统外 对于一个样本值，F,（x)的观察值容易求得. (F(x)的观察值仍以F(x)表示.) 实例2设总体F具有一个样本值1,2,3， 0,x<1, 1 则经验分布函数 F(x)= 3 1≤x<2, F3(x)的观察值为 3 2≤x<3, 1, x≥3
对于一个样本值, F (x)的观察值容易求得. n (F (x)的观察值仍以F (x)表示.) n n 实例2 设总体 F 具有一个样本值 1, 2, 3, ( ) 3 的观察值为 则经验分布函数 F x = 1, 3. , 2 3, 3 2 , 1 2, 3 1 0, 1, ( ) 3 x x x x F x