第三节条件分布 一、离散型随机变量的条件分布 问题 考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别 用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随 机变量，他们都有自己的分布. 现在如果限制Y 取值从1.5m到1.6m, 在这个限制下求X的 分布. 2024年8月27日星期二 目录上页下页 返回
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第三节 条件分布 一、离散型随机变量的条件分布 问题 , . , , , 机变量 他们都有自己的分布 用 和 记此人的体重和身高 则 和 都是随 考虑一大群人 从其中随机挑选一个人 分别 X Y X Y . 1.5m 1.6m, 分布 在这个限制下求 的 取值从 到 现在如果限制 X Y
若(X,)是离散型随机变量，那么对一切使得P{Y=y,}>0 的y,我们把已知Y=y,的条件下X的条件分布律定义为： w=-小-产久42 P(Y=y) P.j 类似地，当P{X=x}>0时，己知X=x,的条件下Y的条件分 布律定义为： -是-12 ，p. 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 若(X, Y)是离散型随机变量，那么对一切使得 0 P Y y = j 的 yj ,我们把已知Y=yj的条件下X的条件分布律定义为： , | , 1, 2, i j ij i j j j P X x Y y p P X x Y y i P Y y p = = = = = = = = , | , 1, 2, i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x j P X x p = = = = = = = = 类似地，当 时，已知X=xi的条件下Y的条件分 布律定义为： 0 P X x = i
例：己知(X,)的分布律如下： 求：(1).己知Y=1的条件下X的 条件分布律。 0 0.40.1 0.5 1 0.20.3 0.5 (2).己知X=1的条件下Y的条 Pi 0.60.4 件分布律。 解： Px=0Y=1}-P{x=0,y=业-02 2 P{Y=} 0.5 5 P{X=1Y=1=P{x=1r= 0.33 PY=1 0.5 5 2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 例：已知(X, Y)的分布律如下: X Y 0 1 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 j i p p 求:(1).已知 Y=1的条件下X的 条件分布律。 (2).已知 X=1的条件下Y的条 件分布律。 解： P X Y = = 0 | 1 0, 1 1 P X Y P Y = = = = 0.2 2 0.5 5 = = P X Y = = 1| 1 1, 1 1 P X Y P Y = = = = 0.3 3 0.5 5 = =
或用表格表示为 X=k 01 P{X=kY=圳 3 同理，己知X-1的条件下Y的条件分布律为： Y=k 01 P=1X=4 2024年8月27日星期二 4 目录○ 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 或用表格表示为 0 1 2 3 | 1 5 5 X k P X k Y = = = 同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为： 0 1 1 3 | 1 4 4 Y k P Y k X = = =
二、连续型随机变量的条件分布 定义：对任意给定的正数ε，若P{x-s0 且对任意实数y,极限 imP{Y≤y川x-e<X≤x+e=im P{x-ε<X≤x+6,Y≤y} P{x-&<X≤x+E} 存在，则称此极限为条件X=x的条件下Y的条件分布函 数。记为Fx(y川x) 由于FxO川)=limP{Y≤y川x-&<X≤x+} P{x-6<X≤x+E,Y≤y} lim 8→0+ P{x-6<X≤x+} 2024年8月27日星期二 5 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 二、连续型随机变量的条件分布 定义:对任意给定的正数 ，若 P x X x − + 0， 且对任意实数 y ，极限 0 0 , lim | lim P x X x Y y P Y y x X x P x X x → + → + − + − + = − + 存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函 数。记为 | ( | ) F y x Y X 由于 | ( | ) F y x Y X 0 , lim P x X x Y y P x X x → + − + = − + 0 lim | P Y y x X x → + = − +
lim [x_了fx 8→0+ f()dx fx(x) 称人为条件Xx的条件下Y的条件概率密度记为 Fr()-.) fr(x) 同理条件{Y=y的条件下X的条件概率密度为 Jo(x)-(.) () 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 0 ( , )d d lim ( )d y x x x X x f x y x y f x x + − − → + + − = ( , )d ( ) y X f x y y f x − = ( , ) d ( ) y X f x y y f x − = 称 为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。 ( , ) ( ) X f x y f x 记为: | ( , ) ( | ) ( ) Y X X f x y f y x f x = 同理条件{Y=y}的条件下X的条件概率密度为 ( , ) ( | ) ( ) X Y Y f x y f x y f y =
第四节相五独立的随机变量 若P{X≤x,YSy}=PX≤x}P{YSy}.则称{X≤x},{Y} 这两个事件相互独立。 自然地，将这个等式推广到对所有的x和y都成立， 就得到了随机变量独立的概念. 定义：对于一个二维随机变量(X,),若对所有的x和y, 有 P{X≤x,YSy}=P{X≤x}P{Yy}. 即F(x,y)=F(x)FOy),则称随机变量X和Y相互独立。 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 第四节 相互独立的随机变量 若P{X ≤ x,Y≤y}=P{X ≤ x}P{Y≤y}. 则称{X ≤ x},{Y≤y} 这两个事件相互独立。 自然地，将这个等式推广到对所有的x和y都成立， 就得到了随机变量独立的概念． 定义：对于一个二维随机变量(X, Y)，若对所有的x和y， 有 P{X ≤ x,Y≤y}=P{X ≤ x}P{Y≤y}. 即F(x,y)=FX (x) FY (y), 则称随机变量X 和Y相互独立
在实际应用中，我们判断两个随机变量的相互独立 性，更多的是使用下面的两个等价条件. 对于离散型随机变量(X,),X和Y相互独立等价于 p(X=x.Y=y)=P(X=x)P(Y=y) 对于连续型随机变量(X,),X和Y相互独立等价于 f(x,y)=fx(x)f(y) 2024年8月27日星期二 8 目录 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 在实际应用中，我们判断两个随机变量的相互独立 性，更多的是使用下面的两个等价条件． 对于离散型随机变量(X, Y)， X 和Y相互独立等价于 P X x Y y P X x P Y y = = = = = i j i j , 对于连续型随机变量(X, Y)， X 和Y相互独立等价于 ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y =
例：己知随机变量X和Y相互独立，且分布律为 X 0 1 2 1 1 0 9 18 1 3 B 求a,B。 解：由于随机变量X和Y相互独立， 可知 P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0} 即 3- 得 2024年8月27日星期二 9 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为 X Y 1 1 1 6 9 18 1 3 0 1 2 0 1 求α，β。 解：由于随机变量 X 和Y 相互独立， 可知 P X Y P X P Y = = = = = 1, 0 1 0 即 1 1 1 1 1 9 9 6 9 18 = + + + 得 2 9 =
类似地，P{X=2,Y=0}=P{X=2}PY=0} 即g低G号)得-时 2024年8月27日星期二 10 目录上页>下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 类似地， P X Y P X P Y = = = = = 2, 0 2 0 即 1 1 1 1 1 18 18 6 9 18 = + + + 得 1 9 =