在实际应用中,我们不仅会遇到正态总体的区间估 计问题,有时还会遇到下面的问题:在已知总体服从0 一1分布B(1,p)的前提下,如何根据样本X1,X2,.,Xn所 提供的信息来估计未知参数p· 设总体X~B(1,p),其中p未知,X1,X2,.,Xn是来 自这个总体的一个样本,当样本容量较大时,由中心极 限定理知 x,-p i=1 nX-np np(1-p)np(1-p) 近似地服从N(0,1)分布, 2024年8月27日星期二 3 目录 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 在实际应用中,我们不仅会遇到正态总体的区间估 计问题,有时还会遇到下面的问题:在已知总体服从 0 -1 分布 B p (1, )的前提下,如何根据样本 1 2 , , , X X Xn 所 提供的信息来估计未知参数 p . 设总体 X B p ~ (1, ) ,其中 p 未知, 1 2 , , , X X Xn 是来 自这个总体的一个样本,当样本容量较大时,由中心极 限定理知 1 (1 ) (1 ) n i i X np nX np np p np p = − − = − − 近似地服从 N(0,1) 分布
于是有 而 nX-np -a/2< <42等价于 np(1-p) (n+/2)p2-(2n+2)p+n2<0. 记p,= (-6-4a,n-六-+-a网, 2a 此处a=n+u2,b=-(2nx+G2),c=n2.于是可得 p的一个近似的置信水平为1-的置信区间为 (P1,p2)· 2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 于是有 / 2 / 2 1 (1 ) nX np P u u np p − − − − . 而 / 2 / 2 (1 ) nX np u u np p − − − 等价于 2 2 2 2 / 2 / 2 ( ) (2 ) 0 n u p nX u p nX + − + + . 记 2 1 1 ( 4 ) 2 p b b ac a = − − − , 2 2 1 ( 4 ) 2 p b b ac a = − + − , 此处 2 / 2 a n u = + , 2 / 2 b nX u (2 ) = − + , 2 c nX = .于是可得 p 的一个近似的置信水平为1− 的置信区间为 1 2 ( , ) p p .
【例19】从一批手工艺中抽取100个样品中,得一级 品60个,求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95 的置信区间. 解 一级品率p是(0一1)分布的参数。由n=100, 60 x= 100 =0.6,1-a=0.95,a/2=0.025,42=1.96, 得 a=n+u2=103.84,b=-(2m+u2)=-123.84, c=x2=36.于是 B= -b-6-4ac=050,-b+F-4am)-069 2a 2a 因此,p的一个置信度为0.95的置信区间为(0.50,0.69). 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【例 19】 从一批手工艺中抽取 100 个样品中,得一级 品 60 个,求这批产品的一级品率 p 的置信水平为 0.95 的置信区间. 解 一级品率 p 是(0-1)分布的参数。由 n =100 , 60 0.6 100 x = = ,1 0.95 − = , / 2 0.025 = , / 2 u 1.96 = , 得 2 / 2 a n u 103.84 = + = , 2 / 2 b nx u (2 ) 123.84 = − + = − , 2 c nx = = 36.于是 2 1 1 ( 4 ) 0.50 2 p b b ac a = − − − = , 2 2 1 ( 4 ) 0.69 2 p b b ac a = − + − = 因此, p 的一个置信度为 0.95 的置信区间为 (0.50,0.69) .