82正态总体怕值的 假设检验 一、单个正态总体N(4,σ)均值μ的检验 二、两个正态总体均值差的检验 2024年8月27日星期二 2 目录 、上页> 下页 、返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 8.2 正态总体均值的 假设检验 一、单个正态总体 2 N( , ) 均值 的检验 二、两个正态总体均值差的检验
一、单个正态总体N(山,o)均值u的检验 1.o2已知,关于u的检验(U检验) 在上一节中,我们已经讨论过正态总体W(山,o),当 o2已知时,关于4的检验问题.在这些问题中,当原假 设H,成立时,U=-华~NO,我们是利用统计量 o/√n 一凸来确定拒绝域的,这种检验法称为U检验。 σ/Wn 2024年8月27日星期二 3 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 1. 2 已知,关于 的检验(U 检验) 一、单个正态总体 2 N( , ) 均值 的检验 在上一节中,我们已经讨论过正态总体 2 N( , ) ,当 2 已知时,关于 的检验问题.在这些问题中,当原假 设 H0 成立时, 0 ~ (0,1) / X U N n − = ,我们是利用统计量 0 / X U n − = 来确定拒绝域的,这种检验法称为U 检验.
一、单个正态总体N(4,σ2)均值μ的检验 2.o2未知,关于u的检验(T检验) 设总体X~N(4,o2),其中4,σ2都未知, X1,X2,.,Xn是来自总体X的样本,在显著性水平为 时,检验假设 H0:u=4;H1:u≠4: 当原假设H,成立时,T-凸m-). SIn 拒绝域为T= ≥ta2(n-l). 2024年8月27日星期二 目录 、上页 下页 返回」
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 2. 2 未知,关于 的检验(T 检验) 一、单个正态总体 2 N( , ) 均值 的检验 设总体 2 X N~ ( , ) ,其中 , 2 都 未知, 1 2 , , , X X Xn 是来自总体 X 的样本,在显著性水平为 时,检验假设 0 0 H : = ; 1 0 H : . 当原假设 H0 成立时, 0 ~ ( 1) / X T t n S n − = − . 拒绝域为 0 / 2 ( 1) / X T t n S n − = −
【例2】某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平 均长度为10.5cm,标准差是0.15cm.今从一批产品中 随机地抽取15段进行测量,其结果如下(单位:cm): 10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2, 10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7. 试问该切割机工作是否正常?(a=0.05) 解需检验假设:H。:u=4=10.5;H≠10.5 总体的标准差o=0.15已知,所以选择统计量 U= ,得拒绝域为d= ≥4x2.将n=15, o/√n a/2=1.96,o=0.15 x=10.48,代入上式得 4=0.5164<1.96,所以接受原假设H。,即可认为该切 割机工作正常. 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【例 2】 某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平 均长度为 10.5cm,标准差是 0.15cm.今从一批产品中 随机地抽取 15 段进行测量,其结果如下(单位:cm): 10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2, 10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7. 试问该切割机工作是否正常?( = 0.05 ) 解 需检验假设: 0 0 H : 10.5 = = ; H1 10.5 总 体 的 标 准 差 = 0.15 已 知 , 所 以 选 择 统 计 量 0 / X U n − = ,得拒绝域为 0 / 2 / x u u n − = .将 n =15, / 2 u 1.96 = , = 0.15 , x =10.48 ,代入上式 得 u = 0.5164 1.96 ,所以接受原假设 H0 ,即可认为该切 割机工作正常.
【例3】某批矿砂的5个样品中的镍含量(%)数据如下: 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24 设测定值总体服从正态分布,问在α=0.01下能否接受 假设:这批矿砂的镍含量的均值为3.25. 解由题可知,需检验假设: H0:u=4=3.25;H1:4≠3.25 由于总体标准差未知,所以选择统计量T=一丛 ,得 SIn 拒绝域为T= ≥60s(4). 代入数据得t=0.3068<4.6041,所以接受原假设 H。,即可认为该批矿砂的镍含量的均值仍为3.25. 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 【例 3】 某批矿砂的 5 个样品中的镍含量(%)数据如下: 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24 设测定值总体服从正态分布,问在 = 0.01下能否接受 假设:这批矿砂的镍含量的均值为 3.25. 解 由题可知,需检验假设: 0 0 H : 3.25 = = ; 1 H : 3.25 由于总体标准差未知,所以选择统计量 0 / X T S n − = ,得 拒绝域为 0 0.005 (4) / X T t S n − = . 代入数据得 t = 0.3068 4.6041,所以接受原假设 H0 ,即可认为该批矿砂的镍含量的均值仍为 3.25.
【例4】按规定,100g罐头番茄汁中的平均维生素C 含量不得少于21mg/g.现从工厂的产品中抽取17个罐 头,其100g番茄汁中,测得维生素C含量(mg/g)记录 如下: 16,25,21,20,23,21,19,15,13,23,17, 20,29,18,22,16,22 设维生素含量服从正态分布N(4,σ),4,o2均未知, 问这批罐头是否符合要求(取显著性水平=0.05). 解由题可知,需检验假设: H:4≥21;H,:u<21 2024年8月27日星期二 目录 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 【例 4】 按规定,100g 罐头番茄汁中的平均维生素 C 含量不得少于 21mg/g.现从工厂的产品中抽取 17 个罐 头,其 100g 番茄汁中,测得维生素C含量(mg/g)记录 如下: 16,25,21,20,23,21,19,15,13,23,17, 20,29,18,22,16,22 设维生素含量服从正态分布 2 N( , ) , , 2 均未知, 问这批罐头是否符合要求(取显著性水平 = 0.05 ). 解 由题可知,需检验假设: 0 H : 21 ; 1 H : 21
由于总体方差未知,所以选择统计量T= 一,得拒 SIn 绝域为 T-X-%≤-m-). SIn 将n=17,40(16)=1.7459,s=3.98,x=20,代 入以上不等式得t=-1.004>-t5(16)=-1.7459,所以接 受原假设H。,即可认为这批罐头是符合要求的. 2024年8月27日星期二 8 目录○ 上页○ 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 由于总体方差未知,所以选择统计量 0 / X T S n − = ,得拒 绝域为 0 ( 1) / X T t n S n − = − − . 将 n =17 , 0.05 t (16) 1.7459 = , s = 3.98, x = 20 , 代 入以上不等式得 1.004 (16) 1.7459 0.05 t t = − − = − ,所以接 受原假设 H0 ,即可认为这批罐头是符合要求的.
二、两个正态总体均值差的检验 设X1,X2,Xn是来自正态总体N(4,o)的样本, Y,Yy,.,Ym是来自正态总体N(山2,o)的样本,且两个样 本相互独立,灭,了分别表示两个样本的样本均值,S2,S号 表示它们的样本方差. 现在来求检验问题: H0:4-42=δ;H1:4-山≠δ (δ为已知常数,较常见的是8=0)的拒绝域.取显著性 水平为a. 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 二、两个正态总体均值差的检验 设 1 2 , , , X X Xn 是来自正态总体 2 1 1 N( , ) 的样本, 1 2 , , , Y Y Ym 是来自正态总体 2 2 2 N( , ) 的样本,且两个样 本相互独立,X Y, 分别表示两个样本的样本均值, 2 2 1 2 S S, 表示它们的样本方差. 现在来求检验问题: 0 1 2 H : − = ; 1 1 2 H : − ( 为已知常数,较常见的是 = 0 )的拒绝域.取显著性 水平为 .
1.当方差o,o2为已知时,对均值差的检验 当原假设H,为真时,T-了-N心,g+ n 即U-西-。、N0,).选择U-X-万-a 作为检 2 m m 验统计量,此时可以确定拒绝域为 4=任-可- o+ ≥ua2 n m 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 1. 当方差 2 1 , 2 2 为已知时,对均值差的检验 当原假设 H0 为真时, 2 2 1 2 X Y N~ ( , ) n m − + 即 2 2 1 2 ( ) ~ (0,1) X Y U N n m − − = + .选 择 2 2 1 2 ( ) X Y U n m − − = + 作为检 验统计量,此时可以确定拒绝域为 / 2 2 2 1 2 ( ) x y u u n m − − = +
2.当σ=σ3=o2为未知时,对均值差的检验 由抽样分布理论,当H。为真时,统计量 T=-7-6 ~t(n+m-2),从而易知拒绝域为 + H区-月-d≥m+m-2). 1+1 m 其中s-0+m-1S,s.= n+m-2 2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 2. 当 222 1 2 = = 为未知时,对均值差的检验 由 抽 样 分 布 理 论 , 当 H0 为 真 时 , 统 计 量 ( ) ~ ( 2 1 1 ) X Y T S n t n m m + − + − − = ,从而易知拒绝域为 / 2 ( ) ( 2) 1 1 x y t t n m S n m − − = + − + . 其中 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 n S m S S n m − + − = + − , 2 S S =