《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第八章 假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验

8.3 正态怎体方差的 假设检验 一、单个总体的方差σ的检验 二、两个总体方差比可 的假设检验 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 8.3 正态总体方差的 假设检验 一、单个总体的方差 2  的检验 二、两个总体方差比 2 1 2 2   的假设检验

一、单个总体的方差σ2的检验 设样本X1,X2,.,Xn来自正态总体N(4,o2),4,o2 均未知，当显著性水平为α，要求检验假设 H。:o2=o;H1:o2≠o(o为已知常数) 由第六章定理3知，当H为真时， (n1)). 因此，可以取x=n-)s 作为检验统计量. 2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 一、单个总体的方差 2  的检验 设样本 1 2 , , , X X Xn 来自正态总体 2 1 N( , )   ， ， 2  均未知，当显著性水平为 ，要求检验假设 2 2 0 0 H : = ； 2 2 1 0 H :  ( 2  0 为已知常数) 由第六章定理 3 知，当 H0 为真时， ( ) 2 2 2 0 1 ~ ( 1) n S  n  − − . 因此，可以取 ( ) 2 2 2 0 n S 1   − = 作为检验统计量．

由于S2是σ2的无偏估计，当H,为真时，观测值s2与o 的比值 一般来说应在1附近，而不应过分大于1或 60 过分小于1.因此，上述检验问题的拒绝域具有以下的 形式： (n-)s≤k或 0 此处k,飞的值由下式确定：P拒绝HH为真} ra5o。心}a 2024年8月27日星期二 目录 上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 由于 2 S 是 2  的无偏估计，当 H0 为真时，观测值 2 s 与 2  0 的比值 2 2 0 s  一般来说应在 1 附近，而不应过分大于 1 或 过分小于 1．因此，上述检验问题的拒绝域具有以下的 形式： ( ) 2 2 1 0 n s 1 k  −  或 ( ) 2 2 2 0 n s 1 k  −  . 此处 1 k ， 2 k 的值由下式确定： P H H 拒绝 为真 0 0  = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 0 0 n S n S 1 1 P k k            − −         =        

为了计算方便，习惯上取 r-9 由此可得，k=2(n-1),飞=22(n-).于是拒 绝域为 -a95s-威 2(n-1) ≥x2(n-l). 单边检验问题的拒绝域由表8.1给出. 2024年8月27日星期二 5 目录○ 上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 为了计算方便，习惯上取 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 0 0 1 1 2 n S n S P k P k            − −      =  =         由此可得， 2 1 1 / 2 k n( 1) = −  − ， 2 2 / 2 k n( 1) = −  .于是拒 绝域为 ( ) 2 2 2 2 1 / 2 0 1 ( 1) n S    n  − − =  − 或 ( ) 2 2 2 2 / 2 0 1 ( 1) n S   n  − =  − . 单边检验问题的拒绝域由表8．1给出．

【例6】某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正 态分布，现对工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水 测得含碳量如下： 4.421,4.052,4.357,4.287,4.683 据此是否可断定新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 0.1082(a=0.05)? 解由题可知，这是单个正态总体方差的双边检验问题， 检验假设为： H0:o2=o=0.1082;H1:o2≠o 取x-n-)s 统计量， 2024年8月27日星期二 6 、目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 【例 6】 某炼铁厂的铁水含碳量 X 在正常情况下服从正 态分布，现对工艺进行了某些改进，从中抽取 5 炉铁水 测得含碳量如下： 4.421，4.052，4.357，4.287，4.683 据此是否可断定新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 2 0.108 (  = 0.05 )？ 解 由题可知，这是单个正态总体方差的双边检验问题， 检验假设为： 2 2 2 0 0 H : 0.108  = = ； 2 2 1 0 H :  取 ( ) 2 2 2 0 n S 1   − = 统计量

当H为真时，产-)Sxm-),从而拒绝域为 x-a-s'sxn-1或-I-)9 ≥x22(n-1). 将n=5,=0.05,s2=0.052,o=0.1082,代入检 验统计量得X2≈17.85，查表得62(4)=11.14， X6(4)=0.48,即有X2≈17.85>625(4)，故拒绝原假设 H。,从而认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差不是 0.1082. 2024年8月27日星期二 7 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 当 H0 为真时， ( ) 2 2 2 2 0 1 ~ ( 1) n S   n  − = − ，从而拒绝域为 ( ) 2 2 2 2 1 / 2 0 1 ( 1) n S    n  − − =  − 或 ( ) 2 2 2 2 / 2 0 1 ( 1) n S   n  − =  − . 将 n = 5， = 0.05， 2 s = 0.052， 2 2  0 = 0.108 ，代入检 验 统 计 量 得 2  17.85 ，查表得 2 0.025  (4) 11.14 = ， 2 0.975  (4) 0.48 = ，即有 2 2     17.85 (4) 0.025 ，故拒绝原假设 H0 ，从而认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差不是 2 0.108 ．

【例7】一种混杂的小麦品种，株高的标准差为o。=14, 经提纯后随机抽取10株，它们的株高（单位：cm)为 90,105,101,95,100,100,101,105,93,97 考察提纯后群体是否比原来群体整齐？取显著性水平 a=0.01 解 由题可知，这是单个正态总体方差的单边检验问 题，检验假设为： H。:o2≥o=142,H:o2<o 取x-n-S 统计量， 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 【例 7】 一种混杂的小麦品种，株高的标准差为  0 =14， 经提纯后随机抽取 10 株，它们的株高(单位：cm)为 90，105，101，95，100，100，101，105，93，97 考察提纯后群体是否比原来群体整齐？取显著性水平  = 0.01 解 由题可知，这是单个正 态总体方差的单边检验问 题，检验假设为： 2 2 2 2 2 0 0 1 0 H H : 14 , :      =  取 ( ) 2 2 2 0 n S 1   − = 统计量

当H为真时，x=n-)S ~x(n-1),从而拒绝域为 x2=n-0s2 o≤n-10. 将n=10,a=0.01,s2=24.23,o=142,代入上式 得x2≈1.113，查表得x(9)=2.700,故拒绝原假设H。, 即可认为提纯后的群体比原来群体整齐. 2024年8月27日星期二 目录 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 当 H0 为真时， ( ) 2 2 2 2 0 1 ~ ( 1) n S   n  − = − ，从而拒绝域为 ( ) 2 2 2 2 1 0 1 ( 1) n S    n  − − =  − . 将 n =10， = 0.01， 2 s = 24.23， 2 2  0 =14 ，代入上式 得 2  1.113，查表得 2 0.99  (9) 2.700 = ，故拒绝原假设 H0 ， 即可认为提纯后的群体比原来群体整齐．

二、两个总体方差比σ2/σ3的假设检验 设样本X,X2,.,Xn来自正态总体N(4,o),样本 Y,Y,.,Ym来自正态总体N(4,o),两个样本相互独 立，4,4，o,o均为未知，S,S?分别表示两个样本的 样本方差，现在需要检验假设（显著性水平为α） H。:o=o;H1:o≠o 由第六章定理5知，当H为真时， S/S经Fun-1,m-0. 611o 因此，取F= /S 作为检验统计量. 2024年8月27日星期0/0 10 、目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 二、两个总体方差比 2 2   1 2 的假设检验 设样本 1 2 , , , X X Xn 来自正态总体 2 1 1 N( , )   ，样本 1 2 , , , Y Y Ym 来自正态总体 2 2 2 N( , )   ，两个样本相互独 立， 2 2 1 2 1 2     , , , 均为未知， 2 2 1 2 S S, 分别表示两个样本的 样本方差，现在需要检验假设(显著性水平为 ) 2 2 0 1 2 H : = ； 2 2 1 1 2 H :  由第六章定理 5 知，当 H0 为真时， 2 2 1 2 2 2 1 2 / ~ ( 1, 1) / S S F n m   − − . 因此，取 2 2 1 2 2 2 1 2 / / S S F   = 作为检验统计量．

由于样本方差S2和S?分别是σ1和o子的无偏估计，当 H为真时， S 应在1附近摆动，而不应过分大于1或 者过分小于1.因此，可得在显著性水平为下的拒绝 域为 之F,m-1m-0或 F= S F= ≤faaa-lm-0. 2024年8月27日星期二 11 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 由于样本方差 2 1 S 和 2 2 S 分别是 2 1 和 2  2 的无偏估计，当 H0 为真时， 2 1 2 2 S S 应在 1 附近摆动，而不应过分大于 1 或 者过分小于 1．因此，可得在显著性水平为 下的拒绝 域为 2 1 2 / 2 2 ( 1, 1) S F F n m S =  − −  或 2 1 2 1 / 2 2 ( 1, 1) S F F n m S =  − − −