第一讲二维随机变量 I授课题目（章节）： §3.1二维随机变量 Ⅱ教学目的与要求： 理解二维随机变量的概念和联合分布函数的定义和性质，掌握离散型二维随机变 量的分布律和连续型二维随机变量的概率密度 Ⅲ教学重点与难点：二维随机变量、分布函数、分布律、概率密度 Ⅳ讲授内容： 很多随机现象中，对一个随机试验需要同时考察几个随机变量，例如发射 一枚炮弹，需要同时研究弹着点的几个坐标：研究市场供给模型时，需要同时 考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素。 一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们作为一个 整体（即向量）来研究。 定义1设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},X,=X,(e), X2=Xz(e以，X。=X(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n 维随机向量(X,X2,.X.)叫做n维随机向量或n维随机变量(n-dimensional random variable). 对维随机向量，其每一个分量是一个一维随机变量，可以单独研究它.然 而除此以外，各分量之间还有相互联系，在许多问题中，这是更重要的 我们着重研究二维情形，其中大部分结果可以推广到任意维情形， 一、二维随机变量 类似于一维随机变量的分布函数，定义二维随机变量的“分布函数”： 定义2设(5，)是二维随机变量，对任意实数x,y,二元函数 Fx,)=P{传≤x,7≤y} 称为二维随机变量(5，)的（联合）分布函数， 如果将二维随机变量(5，)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数
第一讲二维随机变量 Ⅰ 授课题目（章节）： §3.1 二维随机变量 Ⅱ 教学目的与要求： 理解二维随机变量的概念和联合分布函数的定义和性质，掌握离散型二维随机变 量的分布律和连续型二维随机变量的概率密度 Ⅲ 教学重点与难点：二维随机变量、分布函数、分布律、概率密度 Ⅳ 讲授内容： 很多随机现象中，对一个随机试验需要同时考察几个随机变量，例如发射 一枚炮弹，需要同时研究弹着点的几个坐标；研究市场供给模型时，需要同时 考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素. 一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们作为一个 整体（即向量）来研究。 定义 1 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S = e， ( ) 1 1 X = X e ， X2 = X2 (e)、 ， X X (e) n = n 是定义在 S 上的随机变量，由它们构成的一个 n 维随机向量 ( , , ) X1 X2 Xn 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量(n-dimensional random variable). 对 n 维随机向量，其每一个分量是一个一维随机变量，可以单独研究它. 然 而除此以外，各分量之间还有相互联系，在许多问题中，这是更重要的. 我们着重研究二维情形，其中大部分结果可以推广到任意 n 维情形. 一、二维随机变量 类似于一维随机变量的分布函数，定义二维随机变量的“分布函数”： 定义 2 设 (,) 是二维随机变量，对任意实数 x, y ,二元函数 F(x, y) = P x, y 称为二维随机变量 (,) 的(联合)分布函数. 如果将二维随机变量 (,) 看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数
F(x,y)=P(5≤x,7≤)（其中(x)∈R)表示随机点(5，）落在以点(x,y)为 顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 有了它，对矩形区域1：a<r≤b,a<y≤b,可以直接按照概率的运算公 式计算概率： P(5,n)e)=F(b,b2)-F(a,b)-F(6,a2)+F(a,a2) 二元联合分布函数有与一元分布函数类似的性质： 1)对每个变量单调不减： 2）对每个变量右连续： 3)对任意(x,y),F(x,-o)=0,F(-o,y)=0,F(+o,+o)=1 4)对于任意实数4<6,4<6有 F6,b)-F(a,a2)-F6,a)+F(a,a)≥0 我们再来探讨5，刀各自的分布函数（称为边缘分布函数）与联合分布函数 之间的关系.5的分布函数为 F(x)=P(5≤x)=P(5≤x,-0<n<+o) =F(x,+o),(x∈R) 同理，刀的分布函数为 F(y)=F(+oy) (yER) 因此，有了二维分布函数，也就决定了边缘分布函数.读者不难把上述所说的一切 推广到n维分布函数 二、二维离散型随机变量 若二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称(X,)为离 散型二维随机变量
F x y P x y ( , ) ( , ) = (其中 ( , ) x y ∈R 2 )表示随机点 ( , ) 落在以点 (x, y) 为 顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 有了它，对矩形区域 I ： 1 1 2 2 a x b a y b , 可以直接按照概率的运算公 式计算概率: 1 2 1 2 1 2 1 2 P I F b b F a b F b a F a a (( , ) ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = − − + 二元联合分布函数有与一元分布函数类似的性质： 1) 对每个变量单调不减； 2) 对每个变量右连续； 3) 对任意 (x, y)， F(x,−) = 0， F(−, y) = 0， F(+,+) = 1 4) 对于任意实数 1 1 2 2 a b a b , 有 1 2 1 2 1 2 1 2 F b b F a a F b a F a a ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) − − + ≥0 我们再来探讨 , 各自的分布函数 (称为边缘分布函数)与联合分布函数 之间的关系. 的分布函数为 F x P x P x ( ) ( ) ( , ) = = − + = + F x( , ) , ( ) x R . 同理， 的分布函数为 F y F y ( ) ( , ) = + , ( ) y R . 因此，有了二维分布函数，也就决定了边缘分布函数. 读者不难把上述所说的一切 推广到 n 维分布函数. 二、二维离散型随机变量 若二维随机变量 (X,Y) 所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称 (X,Y) 为离 散型二维随机变量
设(X,)为二维离散型随机变量，所有可能取值为(x,y,)1,=1,2,令 P=PK=x,Y=y,1=l2,. 则称P(,广=1,2，)为(X,Y)的分布律，或称为X和Y的联合分布律。 (X,Y)的分布律也可用表格形式给出： X2 . p21 色 pi . 二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数F(X,)与分布律的关系： rxn=P收sxrs功-zP收==}2 二维离散型随机变量的分布律具有下列性质： 1°0≤pg≤1，i,j=l,2 2°∑∑P,=1 3°PX=x,)=∑PX=x,Y=y,)=∑Pg=P PY=y,=∑PX=,Y=y)=∑Pg=p 分别称P.(i=1,2,)和pU=1,2,)为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。这里P 表示对第二个足标求和。P表示对第一个足标求和 二维离散型随机变量(X,)的分布律及边缘分布律可用表格表示：
设 (X,Y) 为二维离散型随机变量，所有可能取值为 (xi , y j ),i, j = 1,2, ，令 pij = PX = xi ,Y = y j,i, j = 1,2, 则称 p (i, j = 1,2, ) ij 为 (X,Y) 的分布律，或称为 X 和 Y 的联合分布律。 (X,Y) 的分布律也可用表格形式给出： X Y x1 x2 . xi . y1 p11 p12 . p1i . y2 p21 p22 . p2i . . . . . yj p1j p2j . pij . . . . 二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布函数 F(X,Y) 与分布律的关系： = = = = = x x y y i j x x y y i j i j i j F(X,Y) P X x,Y y P X x ,Y y P 二维离散型随机变量的分布律具有下列性质： 1° 0 pij 1,i, j = 1,2, 2° = i j pij 1 3° = = = = = = • j j i i j pi j pi P(X x ) P(X x ,Y y ) = = = = = = • i i j i j pij p j P(Y y P(X x ,Y y ) 分别称 ( =1,2, ) • p i i 和 ( = 1,2, ) • p j j 为 (X,Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布律。这里 i. p 表示对第二个足标 j 求和. . j p 表示对第一个足标 i 求和. 二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布律及边缘分布律可用表格表示：
p-i pu p-1 p21 p22 p-2 气 P p-i “边缘分布律”的来源是因为将边缘分布律写在联系分布律表格的边缘上。 表中最后一行表示(X,Y关于X的边缘分布律，最后一列表示(X,Y)关于Y的边缘分 布律。 例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在 1~X中等可能取一整数值。试求(X,Y)的分布律。 例2同一品种的5个产品中，有2个正品，3个次品。每次从中取1个检验质量，不放 回抽取，连续2次，记“Xx=0”表示第K次取到正品，“Xx=1”为第K次取到次 品。求(X,X2)的联合分布律及边缘分布律。 三、二维连续型随机变量 与一维连续型随机变量的定义类似，给出二维连续型随机变量的定义如下： 定义：对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(X,Y),如果存在非负的函数fx,y), 使对于任意x,y,有 F(x.y)=[f(s.ndsdr 则称(X,Y)是连续型二维随机变量，函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度。 由定义可知，二维连续型随机变量就是具有概率密度的二维随机变量。概率密度f(x,y) 相当于物理学中的质量的面密度，而分布函数F(x,y)相当于以∫(x,y)为质量密度分布 在区域(-0，x-0,y)中的物质的总质量。 概率密度f(x,y)具有以下性质：
X Y x1 x2 . xi . p j y1 p11 p12 . p1i . p 1 y2 p21 p22 . p2i . p 2 . . . . yj p1j p2j . pij p j . . . . pi p1 p2 . pi . 1 “边缘分布律”的来源是因为将边缘分布律写在联系分布律表格的边缘上。 表中最后一行表示 (X,Y) 关于 X 的边缘分布律，最后一列表示 (X,Y) 关于 Y 的边缘分 布律。 例 1 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能取一整数值。试求 (X,Y) 的分布律。 例 2 同一品种的 5 个产品中，有 2 个正品，3 个次品。每次从中取 1 个检验质量，不放 回抽取，连续 2 次，记“ X K = 0 ”表示第 K 次取到正品，“ X K =1 ”为第 K 次取到次 品。求 ( , ) X1 X2 的联合分布律及边缘分布律。 三、二维连续型随机变量 与一维连续型随机变量的定义类似，给出二维连续型随机变量的定义如下： 定义：对于二维随机变量 (X,Y) 的分布函数 F(X,Y) ，如果存在非负的函数 f (x, y) ， 使对于任意 x ， y ，有 − − = x y F(x, y) f (s,t)dsdt 则称 (X,Y) 是连续型二维随机变量，函数 f (x, y) 称为 (X,Y) 的概率密度。 由定义可知，二维连续型随机变量就是具有概率密度的二维随机变量。概率密度 f (x, y) 相当于物理学中的质量的面密度，而分布函数 F(x, y) 相当于以 f (x, y) 为质量密度分布 在区域 (−, x;−, y) 中的物质的总质量。 概率密度 f (x, y) 具有以下性质：
1°f(x,y)≥0 2°Cfx,yd=l 3。设G是xOy平面上的区域，点(X,)落在G内的概率 PX,Y)eG=「fx,y)dkd 4°若f(x,y)在点(x,)处连续，则有 aF()=f(x.y) axoy 在几何上，Z-f(x,y)表示空间曲面。由性质2”、3°可知，介于它和xoy平面的空间 区域的体积为1，P(X,Y)∈G的值等于以G为底，以曲面：=f(x,y)为顶面的柱体 体积。 例3设二维随机向量(5，)的密度函数为 [Ae2+m,x>0,y>0, px,y)=0, 其它 1)确定常数A:2)求分布函数：3)求边际密度：4)计算概率P(5<山7<2)：5)计算概 率P5+n<I) 解1)由联合密度的性质(14)，应有 1=0 =A/4 故A=4: )由3)式.分布函数Fk).JP(w.ydud ,我们来分块计算它 当x≤0或y≤0时，px川=0，故Fx,)=0:
1° f (x, y) 0 2° + − + − f (x, y)dxdy =1 3 ° 设 G 是 xoy 平 面 上 的 区 域 ， 点 (X,Y) 落 在 G 内的概率 = G P (X,Y) G f (x, y)dxdy 4°若 f (x, y) 在点 (x,Y) 处连续，则有 ( , ) ( , ) 2 f x y x y F x y = 在几何上， Z = f (x, y) 表示空间曲面。由性质 2°、3°可知，介于它和 xoy 平面的空间 区域的体积为 1， P(X,Y)G 的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶面的柱体 体积。 例 3 设二维随机向量 ( , ) 的密度函数为 p x y ( , ) = . 0, 0, 0, , 2( ) 其它 − + Ae x y x y 1) 确定常数 A；2)求分布函数；3)求边际密度；4)计算概率 P( 1, 2) ；5) 计算概 率 P( 1) + . 解 1) 由联合密度的性质(14)，应有 1= ++ − + 0 0 2( ) Ae dxdy x y = A/4 , 故 A = 4 ; 2) 由(13)式，分布函数 F x y ( , ) = −− x y p(u, v)dudv ，我们来分块计算它. 当 x ≤0 或 y ≤0 时， p x y ( , ) = 0, 故 F x y ( , ) = 0;
当x>0且y>0时 odudyodudyedudv F(x,y)= -0-er1-e2). 3)上面已经求得F(x,),故可先从(11)(12)式求得边际分布函数，再用§2的（②） 式计算边际密度.5的边际分布函数为 1-e-2,x>0, F(x)=F(x,o)_0, x≤0. 故 2e2,x>0, P(x)=F(x)_0,x≤0. 同理 2e2y,y>0, p,y)_0y≤0. 我们也可以利用(17)式与(19)式直接从八x,)求得边际密度. 4)P5<1n<2)=Fa,2)-=0-e21-e). 5)由(16)式， ∬pxk 「4e2*dkdy P(5+n<)= [(「4e2r*"dy)dk =1-3e2 特别地，若(X,Y)的概率密度函数为
当 x >0 且 y >0 时, F x y ( , ) = −= x dudv 0 0 + − 0 0 0 y dudv + − + x y u v e dudv 0 0 2( ) 4 = 2 2 (1 )(1 ) x y e e − − − − . 3) 上面已经求得 F x y ( , ) ，故可先从(11)(12)式求得边际分布函数，再用§2 的(2) 式计算边际密度.ξ的边际分布函数为 F x F x ( ) ( , ) = = 0. 0, 0, 1 , 2 − − x e x x 故 p x F x ( ) '( ) = = 0. 0, 0, 2 , 2 − x e x x 同理 p y( ) = 0. 0, 0, 2 , 2 − y e y y 我们也可以利用(17)式与(19)式直接从 p x y ( , ) 求得边际密度. 4) P( 1, 2) = F (1,2)= 2 4 (1 )(1 ) e e − − − − . 5) 由(16)式, P( 1) + = + 1 ( , ) x y p x y dxdy = + − + 0, 0 1 2( ) 4 x y x y x y e dxdy = − − + 1 0 1 0 2( ) ( 4 ) x x y e dy dx =1-3 −2 e . 特别地，若 (X,Y) 的概率密度函数为
f(x.y)=A (x,y)EG 其它 A为区域G的面积，则称(X,)服从区域G上的均匀分布。 例4设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=(A+Barctan x)(C+arctan y) (1)求常数A、B、C:(2)求(X,Y)的概率密度f(x,y) 与二维离散型随机变量相似，二维连续型随机变量也有边缘概率密度的概念。 Fx(x)=F(x)f(u.v)dudy=f(u.v)dv)du 从而可知，X是连续型随机变量，且相应的概率密度为x()=fx,d 同理可知，y也是连续型随机变量，相应的概率密度为了，()=广fx,y)d本 称fx(x)、f,Oy)为(X,Y)的边缘概率密度。 例5设随机变量X和Y具有联合概率密度 f.)=6 xsysx Γ0其它 求边缘概率密度∫x(x)、f,(y)。 例6设(X,Y)的概率密度为 1 f(x,y)=- 1-4-2px-40y-42+y-4] xg;-p) 002 其中4、4、0，都是常数，且01>0,02>0，-1<p<1. 则称(X,)服从参数为4、42、O1、O2、p的二维正态分布，记为 (X,Y)~N(4,42,o,o,P) 试求它的边缘概率密度
= 0 其它 ( , ) 1 ( , ) x y G f x y A A 为区域 G 的面积，则称 (X,Y) 服从区域 G 上的均匀分布。 例 4 设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x, y) = (A+ Barctan x)(C + arctan y) （1）求常数 A 、 B 、C ；（2）求 (X,Y) 的概率密度 f (x, y) 与二维离散型随机变量相似，二维连续型随机变量也有边缘概率密度的概念。 − + − − + − = + = = x x FX (x) F(x, ) f (u,v)dudv ( f (u,v)dv)du 从而可知， X 是连续型随机变量，且相应的概率密度为 − + − == x f X (x) f (x, y)dy 同理可知， Y 也是连续型随机变量，相应的概率密度为 − + − == x f Y (y) f (x, y)dx 称 f (x) X 、 f (y) Y 为 (X,Y) 的边缘概率密度。 例 5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 = 0 其它 6 ( , ) 2 x y x f x y 求边缘概率密度 f (x) X 、 f (y) Y 。 例 6 设 (X,Y) 的概率密度为 − + − − − − − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2 1 1 ( , ) x x y y f x y 其中 1、 2、 1、 2 都是常数，且 1 0， 2 0，−1 1。 则 称 (X,Y) 服从参数为 1 、 2 、 1 、 2 、 的二维正态分布，记为 ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N 1 2 1 试求它的边缘概率密度
fx()= 二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布，并且都不依赖于参数P，亦即对于给定 的山、凸、O、O2,不同的p对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一 样的，这一事实表明：单由关于X和Y的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量X和 Y的联合分布的。 注：1°联合分布是均匀分布，但边缘分布不一定是均匀分布。 任2+y产≤1，是单位圆上均匀分布。 例如：x)=0其它 但f国=经-平Hs1 0 问>1”1-y2川1并不是均匀分布。一 0 其它 2”边缘分布是正态分布的，联合分布不一定是正态分布。 222 例：如fx,川=22e+s功(x川eR 但它的两个边缘分布均为标准正态分布。 V小结与提问： 小结：本次课主要介绍了： (1)二维随机变量的概念和联合分布函数的定义和性质： (2)离散型二维随机变量的分布律： (3)连续型二维随机变量的概率密度。 提问：1，二维随机变量与一维随机变量有何联系？ 2.边缘分布与联合分布有何联系？ I课外作业：Pm3,4,5,8
2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1 ( ) − − = x X f x e ， 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) − − = y Y f y e 二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给定 的 1、2、 1、 2 ，不同的 对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一 样的，这一事实表明：单由关于 X 和 Y 的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量 X 和 Y 的联合分布的。 注：1°联合分布是均匀分布，但边缘分布不一定是均匀分布。 例如： + = 0 其它 1 ( , ) 1 2 2 x y f x y ，是单位圆上均匀分布。 但 − = 0 1 1 1 ( ) 2 2 x x x f x X ， − = 0 其它 1 1 ( ) 2 2 y y f y Y 并不是均匀分布。 2°边缘分布是正态分布的，联合分布不一定是正态分布。 例如： 2 2 (1 sin sin ), ( , ) 2 1 ( , ) 2 2 f x y e x y x y R x y = + + − 但它的两个边缘分布均为标准正态分布。 Ⅴ 小结与提问： 小结：本次课主要介绍了： (1)二维随机变量的概念和联合分布函数的定义和性质； (2)离散型二维随机变量的分布律； (3)连续型二维随机变量的概率密度。 提问：1. 二维随机变量与一维随机变量有何联系？ 2. 边缘分布与联合分布有何联系？ Ⅵ 课外作业：P104 3, 4，5，8
第二讲条件分布 I授课题目： §3.2条件分布 Ⅱ教学目的与要求： 掌握二维离散型随机变量的条件分布律及连续型随机变量的条件分布函数。 Ⅲ教学重点与难点：条件分布 Ⅳ讲授内容： 考察二维随机变量(X,Y)时，常常需要考虑己知其中一个随机变量取得某值的条件下， 求另一个随机变量取值的概率。 一、离散型随机变量的条件分布律 设(X,Y)是一个二维离散型的随机变量，其分布律为 PX=x,y=y}=p,亿，j=1,2,) (X,Y)关于X和Y的边缘分布律分别为 PX=x}=p.-2p,j=2) pt=yA,-2时U=2 由事件的条件概率给出条件概率分布的概念：对于固定的j,若P-y,>0,则称 P收==，P收=2 P收=y,}p 为在Y=y,条件下随机变量X的条件分布律。 同样，在给定条件X=x,下，随机变量X的条件分布律为 p==yK=}=P/=2 P(X=x)P. 例1设某工厂每天工作时间X可分为6小时、8小时、10小时、2小时，他们的工作效 率Y可以按50%、70%、90%分为三类。已知(X,Y)的概率分布律为
第二讲条件分布 Ⅰ 授课题目： §3.2 条件分布 Ⅱ 教学目的与要求： 掌握二维离散型随机变量的条件分布律及连续型随机变量的条件分布函数。 Ⅲ 教学重点与难点：条件分布 Ⅳ 讲授内容： 考察二维随机变量 (X,Y) 时，常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下， 求另一个随机变量取值的概率。 一、离散型随机变量的条件分布律 设 (X,Y) 是一个二维离散型的随机变量，其分布律为 PX = x , y = y = p , (i, j =1,2, ) i j ij (X,Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为 ( , 1,2, ) 1 = = = = = • P X x p p i j j i i ij ( 1,2, ) 1 = = = = = • P Y y p pij j i j j 由事件的条件概率给出条件概率分布的概念：对于固定的 j ，若 PY = y j 0 ，则称 ( 1,2, ) , = = = = = = = = • i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j 为在 j Y = y 条件下随机变量 X 的条件分布律。 同样，在给定条件 i X = x 下，随机变量 X 的条件分布律为 ( , 1,2, ) , = = = = = = = = = • i j p p P X x P X x Y y P Y y X x i i j i i j j i 例 1 设某工厂每天工作时间 X 可分为 6 小时、8 小时、10 小时、12 小时，他们的工作效 率 Y 可以按 50%、70%、90%分为三类。已知 (X,Y) 的概率分布律为
X 6 10 12 0.5 0.014 0.036 0.058 0.072 0.7 0.036 0.216 0.180 0.043 0.9 0.072 0.180 0.079 0.014 如果以工作效率不低于70%的概率越大越好作为评判标准，问每天工作时间以几个小时 为最好？ 解先求(X,Y)的边缘分布 x6 810 12 y0.5 0.70.9 P0.1220.4320.3170.129 P0.180.4750.345 下面分别考虑X等于6、8、10、12时Y的条件分布，即 p-=3pxxr PX=x) (x,=6,8,10,12,y,=0.5,0.7,0.9) 可得 0.5 0.7 0.9 PY=yX=6) 0.115 0.295 0.590 P收=yK=8 0.083 0.500 0.417 P收=yK=Io 0.183 0.568 0.249 P收=y,K=12 0.558 0.333 0.109 从上表可以看出P≥0.7X=x}的值中，当x=8时，概率为1-0.083=0.917最大，即 每天工作8小时，工作效率达到最优。 二、连续型随机变量的条件分布 对二维连续型随机变量，我们也想定义分布函数PX≤业=，但是，由于 P仅=y}=0,故不能象离散型随机变量那样简单地定义了。自然想到：设A为某一事 件，Y为随机变量，其分布函数为Fy),如果P0,则由条件概率 公式可知：
X Y 6 8 10 12 0.5 0.014 0.036 0.058 0.072 0.7 0.036 0.216 0.180 0.043 0.9 0.072 0.180 0.079 0.014 如果以工作效率不低于 70%的概率越大越好作为评判标准，问每天工作时间以几个小时 为最好？ 解 先求 (X,Y) 的边缘分布 X 6 8 10 12 Y 0.5 0.7 0.9 P 0.122 0.432 0.317 0.129 P 0.18 0.475 0.345 下面分别考虑 X 等于 6、8、10、12 时 Y 的条件分布，即 ( 6,8,10,12, 0.5,0.7,0.9) , = = = = = = = = = i j i i j j i x y P X x P X x Y y P Y y X x 可得 Y 0.5 0.7 0.9 PY = y j X = 6 0.115 0.295 0.590 PY = y j X =8 0.083 0.500 0.417 PY = y j X =10 0.183 0.568 0.249 PY = y j X =12 0.558 0.333 0.109 从上表可以看出 PY 0.7 X = xi 的值中，当 xi = 8 时，概率为 1-0.083=0.917 最大，即 每天工作 8 小时，工作效率达到最优。 二、连续型随机变量的条件分布 对二维连续型随机变量，我们也想定义分布函数 PX xY = y ，但是，由于 PY = y= 0 ，故不能象离散型随机变量那样简单地定义了。自然想到：设 A 为某一事 件， Y 为随机变量，其分布函数为 F (y) Y ，如果 Py Y y + 0 ，则由条件概率 公式可知：