第二节数列的极限 教学目的：理解数列极限的概念，掌握收敛数列的性质， 教学重点：数列极限的概念，收敛数列的性质 教学难点：数列极限的概念的理解 教学过程 一、数列极限的定义 极限概念是由于求某些实际问愿的精确解答而产生的。 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 一割圆术，就是极限思想在几何学上的应用 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A:再作内接正十二边形，其面积记 为A:再作内接正二十四边形，其面积记为A:循此下去，每次边数加倍，一般地把内接 正6×2一边形的面积记为A(n∈N).这样，就得到一系列内接正多边形的面积 AA,Ag.,A0, 它们构成一列有次序的数.当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆 面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，A,终究只是多边形的面 积，而还不是圆的面积.因此，设想无限增大（记为n→0，读作n趋于无穷大），即内接 正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A,也无限接 近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上 面这列有次序的数（所谓数列）A,A,A,A,当n→60时的极限。在圆面积问 题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，己成为高等数学中的一种基本方法，因此 有必要作进一步的阐明。 先说明数列的概念.如果按照某一法则，有第一个数，第二个数x2,这样依次序 排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数x。,那么，这列有次序的数 就叫做数列. 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项x叫做数列的一般项.例如：
第二节 数列的极限 教学目的：理解数列极限的概念，掌握收敛数列的性质。 教学重点：数列极限的概念，收敛数列的性质 教学难点：数列极限的概念的理解 教学过程： 一、数列极限的定义 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的． 例如，我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法— —割圆术，就是极限思想在几何学上的应用． 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为 A1 ；再作内接正十二边形，其面积记 为 A2 ；再作内接正二十四边形，其面积记为 A3 ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接 正 1 6 2 − n 边形的面积记为 A (n N) n ．这样，就得到一系列内接正多边形的面积： A1，A2，A3，，An，， 它们构成一列有次序的数．当 n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以 An 作为圆 面积的近似值也越精确．但是无论 n 取得如何大，只要 n 取定了， An 终究只是多边形的面 积，而还不是圆的面积．因此，设想无限增大（记为 n → ，读作 n 趋于无穷大），即内接 正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时 An 也无限接 近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上 面这列有次序的数（所谓数列） A1，A2，A3，，An，， 当 n → 时的极限．在圆面积问 题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积． 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此 有必要作进一步的阐明． 先说明数列的概念．如果按照某一法则，有第一个数 1 x ，第二个数 2 x ，.这样依次序 排列着，使得对应着任何一个正整数 n 有一个确定的数 n x ，那么，这列有次序的数 x1，x2，x3，，xn， 就叫做数列． 数列中的每一个数叫做数列的项，第 n 项 n x 叫做数列的一般项．例如：
123 2,4,8,.2", 111 1-1l(1, 2*少 14 都是数列的例子，它们的一般项依次为 n 以后，数列 xy2yX.yXn. 也简记为数列{在} 如果数列xm,当无限增大时，数列x的取值能无限接近常数1，我们就称I是x,当 n→o时的极限，记作 mx。=l, 它的解析定义是： 如果数列xn与常数a有下列关系：对于任意给定的正数6（不论它多么小），总存在正 整数N,使得对于n>N时的一切xn,不等式 -a<6 都成立，则称常数a是数列xn的极限，或者称数列x,收敛于a,记为 lim x=a, 或x。→an→∞) 果数列没有极限，就说数列是发散的. 显然 二、收敛数列的性质 性质1（极限的唯一性）数列仁}不能收敛于两个不同的极限
( ) ( ) ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ； ， ， ， ； n n n n n n n n 1 1 1 3 4 2 1 2 1 11 1 2 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 2 4 1 3 3 2 2 1 − + + − − − + 都是数列的例子，它们的一般项依次为 ( ) ( ) n n n n n n n n 1 1 1 1 2 1 2 1 − + + − − + ， ， ， ， ． 以后，数列 x1，x2，x3，，xn， 也简记为数列 xn ． 如果数列 n x ，当 n 无限增大时，数列 n x 的取值能无限接近常数 l ，我们就称 l 是 n x 当 n → 时的极限，记作 xn l， n = → lim 它的解析定义是： 如果数列 n x 与常数 a 有下列关系：对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正 整数 N ，使得对于 n N 时的一切 n x ，不等式 x − a n 都成立，则称常数 a 是数列 n x 的极限，或者称数列 n x 收敛于 a ，记为 xn a， n = → lim 或 x → a (n → ) n ． 如果数列没有极限，就说数列是发散的． 显然 1 lim 0, n→ n = 1 lim 1 n n → n + = ． 二、收敛数列的性质 性质 1（极限的唯一性） 数列 xn 不能收敛于两个不同的极限．
性质2（收敛数列的有界性）如果数列{n}收敛，那么数列{：}一定有界。 性质3（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{化，}收敛于a,那么它的任一子数 列也收敛，且极限也是a, 风1品阳美一治·更男数列仁海长限是。 lz-aH C1) 1 1 证 +-0a+南 e>0(设e】-1 1 不等式x,-a水6必定成立，所以，取N三-小则当N时就有 /0 即 -=0 例2证明1im(√+1-m）=0 析不能直接解√+1-nks来求N,需变形，放大，再求N。 正1你-昨际n坛 1 取N=安 故vs>0,3N=22m>N=FI-m水s 因此，lim(F+1-m)=0 小结与思考： 1.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中介绍割圆术计算圆周率π.“割之弥细，所失 弥少.制之又制以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，”这句话明确的表达了极限思想。 作业：作业见作业卡
性质 2（收敛数列的有界性） 如果数列 xn 收敛，那么数列 xn 一定有界． 性质 3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列 xn 收敛于 a ，那么它的任一子数 列也收敛，且极限也是 a． 例 1 已知 ( ) 2 ( 1) 1 n n x n − = + ，证明数列 xn 的极限是 0。 证 ( ) ( ) 2 2 ( 1) 1 1 | | | 0 | 1 1 1 n n x a n n n − − = − = + + + 0 （设 e N 时就有 2 ( 1) | 0 | ( 1) n n − − + 即 2 ( 1) lim 0 ( 1) n n→ n − = + 例 2 证明 2 lim( 1 ) 0 n n n → + − = 析 不能直接解 2 | 1 | n n + − 来求 N，需变形，放大，再求 N。 证 2 2 1 1 | 1 | 1 2 n n n n n + − = + + 解得 1 2 n 取 1 [ ] 2 N = ， 故 1 2 0, [ ], | 1 | 2 N n N n n = + − 因此， 2 lim( 1 ) 0 n n n → + − = 小结与思考： 1．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中介绍割圆术计算圆周率 ．“割之弥细，所失 弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”这句话明确的表达了极限思想． 作业：作业见作业卡