第三节高阶导数 教学目的：了解高阶导数的概念：掌握莱布尼茨公式：会求简单的阶导数 教学重点：初等函数的高阶导数问题 教学难点：莱布尼茨公式 教学内容： 一般地，函数x)的导数f(x)仍然是x的函数.我们把=∫"()的导数叫做函数)的 三阶导数记作、了闭成器 即 相应地，把=x)的导数∫"(x)叫做函数=x)的一阶导数. 类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，一般地，(m) 阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作 y”,或，.， 函数(x)具有n阶导数，也常说成函数x)为n阶可导.如果函数)在点x处具有n阶 导数，那么函数x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的 导数统称高阶导数. y称为一阶导数，y,y,y,都称为高阶导数。 例1.=+b,求y” 解：y=a,y"=0. 例2.s=n1,求'. 解：s=0 cost,"=-02sino1 例3.证明：函数y=2r-x满足关系式yy"+1=0 证明因为/2左-京2- 2-2x 1-x 2-2x y”= 2x-002定 -2x+x2-0-x2 2-x2 a-2-两“2r- 所以yy"+1=0. 例4.求函数=e的n阶导数 解：V=e,V"=e,"=g2,=e 一般地，可得 即 (ey 例5.求正弦函数与余弦函数的n阶导数. 解：1=sinx
1 第三节 高阶导数 教学目的：了解高阶导数的概念;掌握莱布尼茨公式;会求简单的 n 阶导数 教学重点：初等函数的高阶导数问题. 教学难点：莱布尼茨公式. 教学内容： 一般地 函数 y=f(x)的导数 y=f (x)仍然是 x 的函数 我们把 y=f (x)的导数叫做函数 y=f(x)的 二阶导数 记作 y、f (x)或 2 2 dx d y 即 y=(y) f (x)=[f (x)] ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y = 相应地 把 y=f(x)的导数 f (x)叫做函数 y=f(x)的一阶导数 类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 一般地 (n−1) 阶导数的导数叫做 n 阶导数 分别记作 y y (4) y (n) 或 3 3 dx d y 4 4 dx d y n n dx d y 函数f(x)具有n 阶导数 也常说成函数f(x)为n 阶可导 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶 导数 那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数 二阶及二阶以上的 导数统称高阶导数 y称为一阶导数 y y y (4) y (n)都称为高阶导数 例 1．y=ax +b 求 y 解 y=a y=0 例 2．s=sin t 求 s 解 s= cos t s=− 2 sin t 例 3．证明 函数 2 2 y= x−x 满足关系式 y 3 y+1=0 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x x x x x x x x y − − − − − − − = (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =− 所以 y 3 y+1=0 例 4．求函数 y=e x 的 n 阶导数 解 y=e x y=e x y=e x y ( 4)=e x 一般地 可得 y ( n)=e x 即 (e x ) (n)=e x 例 5．求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数 解 y=sin x
y=cosx=sin(x+). =cos(+)=sin(x++)=smn(x+2.) y”广=-cos(x+2)=sinr+2受+受)=sinx+3受， 4=cos(+3)=sin(x+4) 般地，可得 y=sin(x+n),(sinxym)=sin(x+n) 用类似方法，可得(cosxym-=cos(+n) 例6.求对函数(1+)的n阶导数 解：=ln(1+x,y=(1+x)',y"=-(1+x), y"=(-1X-2X1+x3,4=(-1X-2-3X1+x广， 一般地，可得 =(-1-2←m11+w)=(←1- 即 例6.求幂函数=x(是任意常数)的n阶导数公式 解：y=, y-M-I. y"”=1X23, y+=4-12-3r4, 一般地，可得 m=12).(+1rW 即(y=1X2) 当n时，得到 (x=410-2.3.2.1=ml 而 (x"Mm+I-0, 如果函数=x)及=)都在点x处具有n阶导数，那么显然函数x士)也在点x处 具有n阶导数，且 (w)'=t+n (m)"="+2r+nw5 (w）"="43"p+3p"+n"', 用数学归纳法可以证明 (mya=∑C5a-n因 这一公式称为莱布尼茨公式， 例8.=x2e2,求20 解：设=e2,1=x2,则
2 ) 2 cos sin( y = x = x+ ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos( y = x+ = x+ + = x+ ) 2 ) sin( 3 2 2 ) sin( 2 2 cos( 2 y = x+ = x+ + = x+ ) 2 ) sin( 4 2 (4) cos( 3 y = x+ = x+ 一般地 可得 ) 2 sin( ( ) y = x+n n 即 ) 2 (sin ) sin( ( ) x = x+n n 用类似方法 可得 ) 2 (cos ) cos( ( ) x = x+n n 例 6．求对函数 ln(1+x)的 n 阶导数 解 y=ln(1+x) y=(1+x) −1 y=−(1+x) −2 y=(−1)(−2)(1+x) −3 y (4)=(−1)(−2)(−3)(1+x) −4 一般地 可得 y (n)=(−1)(−2) (−n+1)(1+x) −n n n x n (1 ) ( 1)! ( 1) 1 + − = − − 即 n n n x n x (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1 + − + = − − 例 6．求幂函数 y=x (是任意常数)的 n 阶导数公式 解 y=x −1 y=(−1)x −2 y=(−1)(−2)x −3 y ( 4)=(−1)(−2)(−3)x −4 一般地 可得 y (n)=(−1)(−2) (−n+1)x −n 即 (x ) (n) =(−1)(−2) (−n+1)x −n 当=n 时 得到 (x n ) (n) = (−1)(−2) 3 2 1=n! 而 (x n ) ( n+1)=0 如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x 处具有n 阶导数 那么显然函数u(x)v(x)也在点x 处 具有 n 阶导数 且 (uv) (n)=u (n)+v (n) (uv)=uv+uv (uv)=uv+2uv+uv (uv)=uv+3uv+3uv+uv 用数学归纳法可以证明 = = − n k k n k k n n uv C u v 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 这一公式称为莱布尼茨公式 例 8．y=x 2 e 2x 求 y (20) 解 设 u=e 2x v=x 2 则
(0y-2e2(=1,2.,20. r2x,=2(9=03,4.,20 代入菜布尼茨公式，得 y20(uvy20=20.4Cz0'1%y+C202ly =20e.r+20.219e4.2r+201928e.2 21 -220e2(x2+20x+95). 小结：本节训练了初等函数的求导方法，讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的 归纳方法，莱布尼茨公式 思考：莱布尼茨公式求两函数乘积的导数时有什么窍门吗？ 作业：见习题册
3 (u) (k)=2 k e 2x (k=1, 2, , 20) v=2x v=2 (v) (k) =0 (k=3, 4, , 20) 代入莱布尼茨公式 得 y (20)=(u v) (20)=u (20) v+C201u (19) v+C202u (18) v =2 20e 2x x 2+20 2 19e 2x 2x 2! 2019 + 2 18e 2x 2 =2 20e 2x (x 2+20x+95) 小结：本节训练了初等函数的求导方法，讲述了高阶导数的概念及求高阶导数的 归纳方法，莱布尼茨公式. 思考: 莱布尼茨公式求两函数乘积的导数时有什么窍门吗? 作业：见习题册