第七章不定积分 第八章定积分 访问主页 标题页 第九章级数 第十章多元函数微分学 第2页603 返回 全屏显示 关闭 退出
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第七章 不定积分 一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算.例 如，有加就有减，有乘就有除，在乘方就有开方，等等.导数运算也不例外，它 也有逆运算，这就是本章所讲的不定积分.为什么要讲不定积分？一是为第 八章的计算定积分服务；二是为一些后继课作准备 访问主页 §7.1不定积分 标题页 N炒 一、原函数 第3页603 返回 数学的各种运算及逆运算都是客观规律的反映.因此，一种运算 全屏显示 的逆运算不仅在数学中是可能的，而且也是解决实际问题所必需的.那么 关闭 退出 解决哪些实际问题应用导数运算的逆运算呢？
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例如： 已知物体的运动规律（函数)是s=s(t),其中是时间，s是距离，导 数s(t)=v(t)就是物体在时刻t的瞬时速度.在力学中有时要遇到相反的问 题.已知物体的瞬时速度v(t)函数，问物体的运动规律s(t)=?,即(？)}=v(t) 显然，这是求导运算的逆运算问题. 访问主页 定义设函数f(x)在区间I有定义，存在函数F(x).若 标题页 从炒 r∈I,有F'(x)=f(x), 第4页603 则称函数F(x)是f(x)在区间I的原函数或简称F(x)是f(x)的原函数 返回 全屏显示 关闭 退出
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例如： z∈R,(sinx)'=cosx,即sinx是cosx的原函数 Va E(-1,1),(arcsin)=1 ,即arcsin是 的原函数 V1-x 1-x2 Vx∈R,(r3)y=3x2,即x3是3x2的原函数 V红∈R,(x3+C)'=3x2,即x3+C也是3x2的原函数. 访问主页 由此可见，若函数f()存在原函数F(x)(F(x)=f(x),则这个 标题页 原函数F(x)加上任意常数C,即F(x)+C也是函数f(x)的原函 数(F(x)+C)=f(z).于是，一个函数存在原函数，那么它必有无 第5页603 限多个原函数 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❳: ∀x ∈ R,(sin x) 0 = cos x,❂sin x➫cos x✛✝➻ê. ∀x ∈ (−1, 1),(arcsin x) 0 = 1 √ 1 − x 2 ,❂arcsin x➫ 1 √ 1 − x 2 ✛✝➻ê. ∀x ∈ R,(x 3 ) 0 = 3x 2 ,❂x 3➫3x 2✛✝➻ê. ∀x ∈ R,(x 3 + C) 0 = 3x 2 ,❂x 3 + C➃➫3x 2✛✝➻ê. ❞ ❞ ➀ ❸,❡ ➻ êf(x)⑧ ✸ ✝ ➻ êF(x)(F 0 (x) = f(x)),❑ ù ❻ ✝ ➻ êF(x)❭ þ ❄ ➾ ⑦ êC➜ ❂F(x) + C➃ ➫ ➻ êf(x)✛ ✝ ➻ ê((F(x) + C) 0 = f(x)). ✉➫,➌❻➻ê⑧✸✝➻ê➜❅♦➜✼❦➹ ⑩õ❻✝➻ê
关于原函数有下面两个理论问题：一、原函数的存在问题，即什么机 关报函数存在原函数？这里先给出结论：若函数f(x)在区间I连续，则函数 在区间存在原函数.它的证明在第八章；二、原函数的结构问题，即 若F(x)是在区间I的一个原函数(F(a)=f(x),则f(x)有无限多个原函 数，那么f(x)的无限多个原函数是否仅限于F(x)+C的形式？换句话说，除 访问主页 了F(x)+C的形式之外是否还有其它形式的函数也是f(x)的原函数？答案 标题页 是：除了F(x)+C的形式之外不存在的原函数.下面的定理回答了这个问 题： 定理1.若F(x)是函数f(x)在区间I的一个原函数，则函数f(x)的无限多 第6页603 返回 个原函数仅限于F(x)+C(C∈R)的形式. 全屏显示 关闭 退出
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证明 已知F(x)是函数f(x)的一个原函数，即x∈R有 F(x)=f(x): (1) 设Φ(x)是函数f(x)的任意（规意“任意”二字）一个原函数，即x∈I,有 ④(x)=f(x). (2) (1)式与(2)式相减，有 访问主页 Φ'(x)-F(x)=[Φ(x)-F(x'=f(x)-f(x)=0 标题页 根据§6.1例1的推论，Φ(x)-F(x)=C(C是某个常数)或④(x)=F(x)+C,即 函数f(x)的任意一个原函数④(x)都是F(x)+C的形式.■ 第7页603 这个定理指出，一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一个常数.如果 返回 全屏显示 欲求函数∫(x)的所有的原函数，只需求出函数的一个原函数，然后再加上任 关闭 意常数C就得到了函数的所有的原函数. 退出
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定理的几何意义是，函数f(x)的原函数y=F(x)是那样的曲线，在它上任 意一点(x,F(z)的切线斜率等于（已知的）f(x).将此曲线则=F()沿轴 平移所得到的曲线则=F(x)+C都是函数f(x)的原函数的曲线，即两个原 函数彼此仅相差一个常数.（如图7.1） 访问主页 标题页 W炒 第8页603 返回 全屏显示 关闭 图 7.1 退出
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二、不定积分 定义函数f(x)的所有的原函数F(x)+C(VC∈R)称为函数的不 定积分，表为 f(z)dz=F(z)+C (F(x)=f()), 其中f(x)称为被积函数，f(z)dx称为被积表达式，C称为积分常数 由此可见，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一 访问主页 个函数族.例如 标题页 (Gar) =t,而 atdt at2+C: 第9页603 (sinx)}=cosx,而 cos adt sin+C 返回 ）=2,而 ∫=+c 全屏显示 关闭 求已知函数的不定积分运算称为积分运算.可见，积分运算是个分运算 退出 的逆运算
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关于积分运算有下列运算法则； l.(∫f(x)dx)/'=fx)或d∫fx)dr=f(x)dz, 即不定积分的二数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）. 事实上，设F(x)是函数f(x)的一个原函数，即F(x)=f(x),有 （fa)d）=(r)+cy=fa 2.∫F'(x)d=F(x)+C或∫dF(a)=F(x)+C, 即函数F(x)的二数（或微分）的不定积分等于函数族F(x)+C 访问主页 事实上，已知F(x)是函数F(x)的原函数，则 标题页 “ F'(x)da=F(x)+C. 第10页603 例如： 返回 全屏显示 关闭 sin xda sinx. (fo- 退出 dsinx sin+C. d(3z2+x)=3x2+x+C
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✬✉➮➞✩➂❦❡✎✩➂④❑; 1.R f(x)dx 0 = f(x) ➼ d R f(x)dx = f(x)dx, ❂Ø➼➮➞✛✓ê(➼❻➞)✤✉✚➮➻ê(➼✚➮▲❼➟). ➥➣þ,✗F(x)➫➻êf(x)✛➌❻✝➻ê,❂F 0 (x) = f(x),❦ Z f(x)dx 0 = (F(x) + C) 0 = f(x). 2.R F 0 (x)d = F(x) + C ➼ R dF(x) = F(x) + C, ❂➻êF(x)✛✓ê(➼❻➞)✛Ø➼➮➞✤✉➻ê①F(x) + C. ➥➣þ,➤⑧F(x)➫➻êF 0 (x)✛✝➻ê,❑ Z F 0 (x)dx = F(x) + C. ⑦❳: Z sin xdx 0 = sin x. Z (3x 2 + x)dx 0 = 3x 2 + x. Z d sin x = sin x + C. Z d(3x 2 + x) = 3x 2 + x + C
3.∫af(x)dx=a∫f(x)dz,a是常数，且a≠0， 即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边 事实上，(a∫f(x)dx)'=a(f(x)dx)=afz), 即 af(x)da=a f(z)dz. 4.∫儿f(x)土g(xdx=f(x)dz±∫g(x)dx, 即两个函数代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和。 事实上 访问主页 (∫f(x)dx±∫g(r)dz)'=(fr)dx)'+(∫g(x)dx)'=f(a)±g(x, 标题页 炒 即 /f(a)±gxdr=fe)dx± g(x)dx. 第11页603 这个话则可推广到n个（有限）函数，即个函数代数和的不定积分等 返回 全屏显示 于n个函数不定积分的代数和. 关闭 因为积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公式表中的每个公式反转 退出 过来就得到了下列不定积分的公式表：
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