课程代码：B052717,B052817 座位号： 新疆大学2008一2009学年第二学期期末考试 《数学分析II)》试卷A及其答案 姓名 学号： 专业： 装 学院 数学与系统科学学院班级： 2009年7月9日 装 题号一二三四五六七八总分 订 得分 线 得分评卷人 内 一、 叙述题（本大题共4小题，每题5分，共20分）】 答 1设p 题 2.设EC,P是中的一点，则请叙述“P是E的内点”定义. 无 答：设EC2,P是R2中的一点.若3r>0使得U(P,r)CE,则称P是E的 内点 效 线林 数学分析山试愿第1页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➅➜➇è➭B052717, B052817 ➀➔Ò➭ ★õ➀➷ 2008—2009 ➷❝✶✓➷ÏÏ✧⑧➪ ✺ê➷➞Û(II)✻➪ò A ✾Ù❽❨ ✻➯➭ ➷Ò➭ ❀➆➭ ➷✓➭ ê➷❺❳Ú❽➷➷✓ ⑩❄➭ 2009 ❝ 7 ✛ 9 ❋ ❑Ò ➌ ✓ ♥ ♦ ✃ ✽ Ô ❧ ♦➞ ✚➞ ✚➞ ➭ò❁ ➌✦◗ã❑ ( ✢➀❑✁ 4 ✂❑➜③❑ 5 ➞➜✁ 20 ➞) 1. ✗ P1(x1, y1) ∈ R2 , P2(x2, y2) ∈ R2 , ❅♦➒◗ã“✿ P1 ❺P2 ✛å❧” ➼➶. ❽: ➎❑ê p (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 →➃✿ P1 ❺ P2 ✛å❧, ▲➃|P1 − P2|. 2. ✗ E ⊂ R2 , P ➫ R2 ➙✛➌✿, ❑➒◗ã“ P ➫E ✛❙✿” ➼➶. ❽: ✗ E ⊂ R2 , P ➫ R2 ➙✛➌✿. ❡ ∃r > 0 ➛✚ U(P, r) ⊂ E, ❑→ P ➫ E ✛ ❙✿. ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 1 ➄↔✁ 8 ➄↕
4.设EC2,请叙述“E是有界集”的定义. 答：设EC.若>0，有ECU0,),则称E是有界集 数学分析山试题第2页（共8页）
3. ✗ E ⊂ R2 , P ➫ R2 ➙✛➌✿, ❅♦➒◗ã“ P ➫ E ✛✳✿” ➼➶. ❽: ✗ E ⊂ R2 , P ➫ R2 ➙✛➌✿. ❡ ∀r > 0, ✙➁ U(P, r) ❙◗❦✿á✉ E, q ❦✿Øá✉ E, ❑→✿ P ➃ E ✛✳✿. 4. ✗ E ⊂ R2 , ➒◗ã“ E ➫❦✳✽” ✛➼➶. ❽: ✗ E ⊂ R2 . ❡ ∃l > 0, ❦ E ⊂ U(0, l), ❑→ E ➫❦✳✽. ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 2 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 二、计算题（本大题共8小题，每题5分，共40分） +x+1)d ve3-2+x+1d -/r-∫t++h 1 1 1 装 =-+++e 订 2.求I=「e-*sin rdr 解由不定积分的分部积分公式有 线 Ie-sin rdr=-sin rde-t -e-sinx+e-t coszdr 内 =-e-*sinx-cos rde-=-e-*sinr-e-*cosx-e-t sin rdx +c 答 =e-sin z -e cos-1+e 题 I=-e-sinz+e-t cosz]+c.c=. 无 效 3.求∫ 解令x立=t,则d证=12dt 线 =/e-+-P+1-恤 =12 dt -12dt+12 rdt-12 /dt+12dt -12arctant =是p-号+2-号e+12-12 arctant+c -寺i-乌a+号a-d+12ra-12 acta+e 5 数学分析四试题第3页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ✚➞ ➭ò❁ ✓✦❖➂❑ ( ✢➀❑✁ 8 ✂❑, ③❑ 5 ➞, ✁ 40 ➞) 1. ➛ R √ x(x 3 − x 2 + x + 1)dx ✮ Z √ x(x 3 − x 2 + x + 1)dx = Z x 7 2 dx − Z x 5 2 dx + Z x 3 2 + Z x 1 2 dx = 1 1 + 7 2 x 1+ 7 2 − 1 1 + 5 2 x 1+ 5 2 + 1 1 + 3 2 x 1+ 3 2 + 1 1 + 1 2 x 1+ 1 2 + c = 2 9 x 9 2 − 2 7 x 7 2 + 2 5 x 5 2 + 2 3 x 3 2 + c. 2. ➛ I = R e −x sin xdx ✮ ❞Ø➼➮➞✛➞Ü➮➞ú➟❦ I = Z e −x sin xdx = Z − sin xde−x = −e −x sin x + Z e −x cos xdx = −e −x sin x − Z cos xde−x = −e −x sin x − e −x cos x − Z e −x sin xdx + c1 = −e −x sin x − e −x cos x − I + c1 =⇒ I = − 1 2 [e −x sin x + e −x cos x] + c, c = 1 2 c1. 3. ➛ R √4 x √3 x+ √ x dx ✮ ✲ x 1 12 = t, ❑ dx = 12t 11dt ∴ Z √4 x √3 x + √ x dx = Z t 3 t 4 + t 6 12t 11dt = Z 12t 10 1 + t 2 dt = 12 Z [t 8 − t 6 + t 4 − t 2 + 1 − 1 1 + t 2 ]dt = 12 Z t 8 dt − 12 Z t 6 dt + 12 Z t 4 dt − 12 Z t 2 dt + 12 Z dt − 12 arctan t = 12 9 t 9 − 12 7 t 7 + 12 5 t 5 − 12 3 t 3 + 12t − 12 arctan t + c = 4 3 x 3 4 − 12 7 x 7 12 + 12 5 x 5 12 − 4x 1 4 + 12x 1 12 − 12 arctan x 1 12 + c. ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 3 ➄↔✁ 8 ➄↕
客幸制三L则由不定积分药铁元公式计算出 ∫4=∫-m=∫ cos4 r =-r+x-a=-r+3rn-3+ra =+22-++ 1 (cos)-3-3(c0)c0cos+c. 5.求∫2dx 解设tanr=t,则d=dr ∫女=∫女=jam+e =e+1+内i=2+=号+t+e=号mrz+mz+e 6.求∫cos sin3xdr cos rsin rdr=-cos r sin?rdcos-cos (1-cos )dcos 数学分析山试题第4页（共8页）
4. ➛ R sin7 x cos4 x dx ❽ ❡✲ cos x = t, ❑❞Ø➼➮➞✛❺✄ú➟❖➂Ñ Z sin7 x cos4 x dx = Z − sin6 x cos4 x d cos x = Z −(1 − t 2 ) 3 t 4 dt = − Z 1 − 3t 2 + 3t 4 − t 6 t 4 dt = − Z t −4 dt + 3 Z t −2 dt − 3 Z dt + Z t 2 dt = − 1 1 − 4 t 1−4 + 3 1 1 − 2 t 1−2 − 3t + 1 3 t 3 + c = 1 3 (cos x) −3 − 3(cos x) −1 − 3 cos x + 1 3 cos3 x + c. 5. ➛ R sin2 x+1 cos4 x dx ✮ ✗tan x = t, ❑dt = 1 cos2 x dx Z sin2 x + 1 cos4 x dx = Z sin2 x + 1 cos2 x 1 cos2 x dx = Z [tan2 x + sec2 x] 1 cos2 x dx = Z (t 2 + 1 + t 2 )dt = Z 2t 2 dt + Z dt = 2 3 t 3 + t + c = 2 3 tan3 x + tan x + c. 6. ➛ R cos6 x sin3 xdx ✮ Z cos6 x sin3 xdx = Z − cos6 x sin2 xd cos x = Z − cos6 x(1 − cos2 x)d cos x = Z cos8 xd cos x − Z cos6 xd cos x = 1 9 cos9 x − 1 7 cos7 x + c. ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 4 ➄↔✁ 8 ➄↕
解求6+omez+3池 oo+1)cs(+ =5es(6r+1+2+3)+c0s(6r+1-2x-3d cos(+)+cos(3x-2)ldr 1 4J msz+4a7r+到+若/osr-2aiz-2到 =4m(7z+到+言m3r-2)+e 装 8.求幂级数户器”的收敛半径 订 解an=器，n=1,2,3, 线 林林 =典喜鸟”装-(+)-(+▣) 内 所以该幂级数的收敛半径为r= 答 题 无 效 数学分析四试题第5页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 7. ➛ R cos(5x + 1) cos(2x + 3)dx ✮ Z cos(5x + 1) cos(2x + 3)dx = Z 1 2 [cos(5x + 1 + 2x + 3) + cos(5x + 1 − 2x − 3)]dx = Z 1 2 [cos(7x + 4) + cos(3x − 2)]dx = 1 14 Z cos(7x + 4)d(7x + 4) + 1 6 Z cos(3x − 2)d(3x − 2) = 1 14 sin(7x + 4) + 1 6 sin(3x − 2) + c. 8. ➛➌❄ê P∞ n=1 2 n n x n ✛➶ñ➀➺. ✮ an = 2 n n , n = 1, 2, 3, · · · r = limn→∞ 2 n n 2n+1 n+1 = limn→∞ n + 1 2n = 1 2 limn→∞ 1 + 1 n = 1 2 1 + limn→∞ 1 n = 1 2 . ↕➧❚➌❄ê✛➶ñ➀➺➃r = 1 2 . ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 5 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 1.证明：级数 名Va西收敛 证明>0n=1,23 :含一是正项级数 西品 而广义调和级数立青收敛 由比较判别法知道宫V一西收敛。 2.证明：级数立（品）”收敛 证明()0，n=1,2,3 “三()》”是正项级数 ▣(+=职-典中 2+四专×1 由Cady判别法知道言()”收敛 数学分析山试题第6页（共8页）
✚➞ ➭ò❁ ♥✦②➨❑ ( ✢➀❑✁ 5 ✂❑, ③❑ 6 ➞, ✁ 30 ➞) 1. ②➨: ❄ê P∞ n=1 √ 1 n(n2+10) ➶ñ. ②➨ ∵ √ 1 n(n2+10) > 0, n = 1, 2, 3, · · · ∴ P∞ n=1 √ 1 n(n2+10) ➫✔➅❄ê. ∵ √ 1 n(n2+10) 0, n = 1, 2, 3, · · · ∴ P∞ n=1 n 2n+1 n ➫✔➅❄ê. ∵ limn→∞ n s n 2n + 1n = limn→∞ n 2n + 1 = limn→∞ 1 2 + 1 n = 1 2 + limn→∞ 1 n = 1 2 < 1 ∴ ❞ Cauchy ✞❖④⑧✗ P∞ n=1 n 2n+1 n ➶ñ. ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 6 ➄↔✁ 8 ➄↕
3.证明：级数立产收敛 证明因为点>0，n=1,23,.,所以立点是正项级数。 “▣器=出-▣北+)-(+▣)-1 由D'Alembert判别法知道立点收敛 4.证明：级数∑(-1)”sin是收敛。 证明因为s血点>0，n=1,2,3.,所以它(-1)”si点是交错级数。 装 因为sinx在0，引是单调增加的连续函数，所以 订 点>a中步→m京>血m十呼n=123 线 照i血京=照点=血0=0. 内 从而，由Leibniz判别法推出它(-1Ps血京是收敛的. 答 5.用定义证明：四rsin号=0 题 证明e>0要使不等式 女m)-0川=红ms0,6=e>0,(x,):r-0<6,y-0l<,(e,)≠ 00叭有a0<6甲罗0 线林 数学分析四试题第7页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 3. ②➨: ❄ê P∞ n=1 n 2n−1 ➶ñ. ②➨ Ï➃ n 2n−1 > 0, n = 1, 2, 3, · · · , ↕➧ P∞ n=1 n 2n−1 ➫✔➅❄ê. ∵ limn→∞ n+1 2n n 2n−1 = limn→∞ n + 1 2n = limn→∞ 1 2 1 + 1 n = 1 2 1 + limn→∞ 1 n = 1 2 0, n = 1, 2, 3, · · · , ↕➧ P∞ n=1 (−1)n sin 1 n2 ➫✂❺❄ê. Ï➃ sin x ✸ [0, π 2 ] ➫ü◆❖❭✛ë❨➻ê, ↕➧ 1 n2 > 1 (n + 1)2 ⇒ sin 1 n2 > sin 1 (n + 1)2 , n = 1, 2, 3, · · · , limn→∞ sin 1 n2 = sin limn→∞ 1 n2 = sin 0 = 0. ❧✌, ❞ Leibniz ✞❖④íÑ P∞ n=1 (−1)n sin 1 n2 ➫➶ñ✛. 5. ❫➼➶②➨: limx→0 y→0 x sin 1 y = 0. ②➨ ∀ > 0 ❻➛Ø✤➟ |x sin 1 y − 0| = |x sin 1 y | ≤ |x| 0, ∃δ = > 0, ∀(x, y) : |x − 0| < δ, |y − 0| < δ, (x, y) 6= (0, 0), ❦ |x sin 1 y − 0| < , ❂ limx→0 y→0 x sin 1 y = 0. ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 7 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 四、综合题（本大题共10分） 证明：函数f红，到=帝(（红，）≠(0,0》在(0,0)点两个累次板限都存在，但 是二重极限不存在 证明当动点P(工，)沿着x轴(y=0)和y轴（红=0）无限趋近于原点(0,0)时，极 限都是0，即 imfz,0)=0与1imf0,)=0. 当动点P(x,y)沿着通过原点(0,0)的抛物线y=x2无限趋近于原点(0,0)时，有 （将y换成x2) x2.x21 f,)=+p=方 于是雪品不存在.然而有 吗丹中典四华=0 即两个累次极限都存在而且相等 数学分析（山）试题第8页（共8页）
✚➞ ➭ò❁ ♦✦♥Ü❑ ↔ ✢➀❑✁ 10 ➞ ↕ ②➨➭➻êf(x, y) = x 2y x4+y 2 ((x, y) 6= (0, 0)) ✸ (0, 0) ✿ü❻❭❣✹⑩Ñ⑧✸➜✂ ➫✓➢✹⑩Ø⑧✸. ②➨ ✟➘✿P(x, y) ÷❳x ➯(y = 0) Úy ➯(x = 0) ➹⑩➟❈✉✝✿(0, 0) ➒,✹ ⑩Ñ➫0➜❂ limx→0 f(x, 0) = 0 ❺ lim y→0 f(0, y) = 0. ✟➘✿P(x, y) ÷❳Ï▲✝✿(0, 0) ✛✍Ô❶y = x 2 ➹⑩➟❈✉✝✿(0, 0) ➒,❦ ↔òy ❺↕x 2↕ limx→0 f(x, x2 ) = limx→0 x 2 · x 2 x 4 + (x 2 ) 2 = 1 2 . ✉➫, limx→0 y→0 x 2y x4+y 2 Ø⑧✸. ✱✌❦ limx→0 lim y→0 x 2 y x 4 + y 2 = lim y→0 limx→0 x 2 y x 4 + y 2 = 0, ❂ü❻❭❣✹⑩Ñ⑧✸✌❹❷✤. ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 8 ➄↔✁ 8 ➄↕