新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章基本概念第一节微分方程及其解的定义（主讲：曼合布拜）

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常微分方程多媒体教学课件 ©第一章：基本概念 ○第二章：一阶微分方程的初等解法 ● 第三章：一阶微分方程的解的存在定理第四章：高阶微分方程第五章：线微分方程组第六章：非线性微分方程和稳定性第七章：一阶线性偏微分方程习题课结束上一返回下一页<2目录首页

结束帮助上一页返回下一页目录首页第一章：基本概念第二章：一阶微分方程的初等解法第三章：一阶微分方程的解的存在定理第四章：高阶微分方程第五章：线微分方程组第六章：非线性微分方程和稳定性第七章：一阶线性偏微分方程常微分方程多媒体教学课件习题课

常微分方程多媒体教学课件第一章：基本概念 0 第一节微分方程及其解的定义第二节微分方程模型本节重点与难点结束帮助

结束帮助上一页返回下一页目录首页第一章：基本概念第一节微分方程及其解的定义第二节微分方程模型常微分方程多媒体教学课件本节重点与难点

§1微分方程及其解的定义教学内容 0 微分方程的定义，微分方程的解，通解特解，初始条件，线性与非线性方程等概念 ©通过实例讲解如何由实际问题建立微分方程模型，教学要求通过讲授微分方程的一些具体实例.使学生了解如何由实际问题建立数学；理解微方程的基本概念（解，通解，初始条件等）结束目录首页

结束帮助上一页返回下一页目录首页教学内容教学要求微分方程的定义,微分方程的解,通解特解,初始条件,线性与非线性方程等概念. 通过实例讲解如何由实际问题建立微分方程模型. 通过讲授微分方程的一些具体实例.使学生了解如何由实际问题建立数学;理解微方程的基本概念(解,通解,初始条件等) §1 微分方程及其解的定义

$1微分方程及其解的定义第一节微分方程及其解的定义微分方程线性和非线性微分方程的解和积分通解，定解问题和特解结束帮助

结束帮助上一页返回下一页目录首页 §1 微分方程及其解的定义第一节微分方程及其解的定义线性和非线性微分方程通解,定解问题和特解微分方程的解和积分

§1微分方程及其解的定义由牛顿(Newton,1642-1727)和莱不尼兹(Leibniz, 1646-1716)所创立的微积分，是人类科学史上划时代的重大发现。而微积分的产生与发展与人们求解微分方程的需要有密切关系。所谓微分方程，就是联系着自变量，未知函数，以及为知函数导数的方程。物理学，化学，生物学，工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程。在本书的各章中，将举出各种不同的引导微分方程的实际例子。一个实际问题只要转化为微分方程，那么问题的解决就依赖于对微分方程的研究。就是在数学本身的一些分支中，微分方程也是经常要用到的重要工具之一。本教程将主要介绍常微分方程的基本理论和某些基本方法。我们首先在本章中给出微分方程及其解的定义以及它们的几何解释。对这些内容的理解需要在以后各章中进行反复和加深。结束帮助■ 首页

结束帮助上一页返回下一页目录首页由牛顿(Newton，1642-1727)和莱不尼兹(Leibniz， 1646-1716) 所创立的微积分，是人类科学史上划时代的重大发现。而微积分的产生与发展与人们求解微分方程的需要有密切关系。所谓微分方程，就是联系着自变量，未知函数，以及为知函数导数的方程。物理学，化学，生物学，工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程。在本书的各章中，将举出各种不同的引导微分方程的实际例子。一个实际问题只要转化为微分方程，那么问题的解决就依赖于对微分方程的研究。就是在数学本身的一些分支中，微分方程也是经常要用到的重要工具之一。本教程将主要介绍常微分方程的基本理论和某些基本方法。我们首先在本章中给出微分方程及其解的定义以及它们的几何解释。对这些内容的理解需要在以后各章中进行反复和加深。 §1 微分方程及其解的定义

§1微分方程及其解的定义 §1.微分方程及其解的定义利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，在对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题对结果进行分析和讨论。数学模型最常见的表达方式，是包含自变量和未知函数的函数方程。在很多情形下，未知函数的导数也会在方程中出现。例如，用牛顿第二运动定律列出质点的运动方程时，就要出现质点位移（未知函数）对时间（自变量)的二阶导数 d-x (m =F) 结束帮助返回

结束帮助上一页返回下一页目录首页 §1.微分方程及其解的定义利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，在对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题对结果进行分析和讨论。数学模型最常见的表达方式，是包含自变量和未知函数的函数方程。在很多情形下，未知函数的导数也会在方程中出现。例如，用牛顿第二运动定律列出质点的运动方程时，就要出现质点位移（未知函数）对时间（自变量）的二阶导数. 2 2 ( ) d x m F dt = §1 微分方程及其解的定义

1微分方程及其解的定义 1.常微分方程和偏微分方程我们知道，所谓方程，是指含有未知量的等式，它表达了未知量所必须满足的某种条件。方程的种类很多，其分类的主要依据是对未知量所施加的数学运算。例如：2-2x+1=0 sinx+cosx=1 x2-x+1-√x2+x=1 ex=x2+2x-1 3 =2 x+I 这些都是我们以前见过的方程。左边的方程中，对未知量x所施加的运算是代数运算，因此称代数方程；在右边的方程中出现了未知量的超越函数，因此称超越方程。结束帮助返下而< 首页

结束帮助上一页返回下一页目录首页 1.常微分方程和偏微分方程我们知道，所谓方程，是指含有未知量的等式，它表达了未知量所必须满足的某种条件。方程的种类很多，其分类的主要依据是对未知量所施加的数学运算。例如： 2 x x − + = 2 1 0 2 2 x x x x − + − + = 1 1 3 1 2 1 x x x − − = + sin cos 1 x x + = 2 2 1 x e x x = + − §1 微分方程及其解的定义 x x , 这些都是我们以前见过的方程。左边的方程中，对未知量所施加的运算是代数运算，因此称代数方程；在右边的方程中出现了未知量的超越函数因此称超越方程

§1微分方程及其解的定义微分方程与上述方程不同，它们的未知量是未知函数，而施加的运算是未知函数的导数（或微分）。一般来讲，包含自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）的等式称微分方程a 1.-g.2.(t2+50)h+x=0 d 3.y+5y+3y=c0sx.(0y是未知函数，是自变量) )2+x -+y=0. (y为未知函数，x为自变量) d S.& +x+y=0 (z为未知函数，x,y为自变量) (Laplalace方程) 6. 2 Ot2 二0 ay? Ot? (热传导方程) 结束帮助返回

结束帮助上一页返回下一页目录首页 1. . dy xy dx = 微分方程与上述方程不同，它们的未知量是未知函数，而施加的运算是未知函数的导数（或微分）。一般来讲，包含自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）的等式称微分方程。例如： 2 2. ( 5 ) 0 t t dt xdx + + = '' ' 3. 5 3 cos .( y y y x y x + + = 是未知函数，是自变量） §1 微分方程及其解的定义 2 4.( ) 0. dy dy x y dx dx + + = 5. 0 z x y x  + + =  2 2 2 2 2 2 6. 0 y u u x y t    + + =    2 2 2 2 2 2 2 7. ( ) u y u u a t x y t     = + +     ( , y x 为未知函数为自变量） ( , , z x y 为未知函数为自变量） ( ) Laplalace方程 (热传导方程）

§1微分方程及其解的定义在微分方程中，若未知函数的自变量只有一个，就称它为常微分方程(Ordinary Differential Equation,ODE) 若未知函数的自变量个数不少于二个，则它为偏微分方程.(Partial Differential Equation,PDE).上例中的1,2,3,4为常微分方程。例5-8为偏微分方程。这门课主要研究常微分方法，简称微分方程. 微分方程中，必定含未知函数的导数的项，其中出现的未知函数导数的最高阶数就称为该微分方程的阶数，它对微分方程的解法及解的性质都起着实质性的作用。例如1,2,4,5为阶微分方程，而3,6-8为二阶微分方程。结束首页

结束帮助上一页返回下一页目录首页若未知函数的自变量个数不少于二个，则它为偏微分方程.(Partial Differential Equation, PDE).上例中的1,2,3, 4为常微分方程。例5-8为偏微分方程。这门课主要研究常微分方法，简称微分方程. 微分方程中，必定含未知函数的导数的项，其中出现的未知函数导数的最高阶数就称为该微分方程的阶数，它对微分方程的解法及解的性质都起着实质性的作用。例如1, 2 ，4，5为一阶微分方程，而3，6-8为二阶微分方程。在微分方程中，若未知函数的自变量只有一个，就称它为常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE) §1 微分方程及其解的定义

§1微分方程及其解的定义一般n阶常微分方程式有如下形式： F(x,y,y,.vm)=0 (1.1) 但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式： =fx,y,.y") 1.2) dx" 即方程式的左边只有系数为1的未知函数最高阶导数(n 阶导数)，而方程式的右边为自变量，未知函数和低于n 阶的苿知函数导数的已知函数。结束帮助返回

结束帮助上一页返回下一页目录首页 = ' ( ) F x y y y ( , , ,., ) 0 1.1 n （） ( 1) ( , , ,., ) 1.2 n n n d y f x y y y dx − =  （）一般n阶常微分方程式有如下形式：但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式: 即方程式的左边只有系数为1的未知函数最高阶导数(n 阶导数)，而方程式的右边为自变量，未知函数和低于n 阶的未知函数导数的已知函数。 §1 微分方程及其解的定义

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