课程代码：B052717,B052817 座位号： 新疆大学2010一2011学年第二学期期末考试 《数学分析(II)》试卷A及其答案 姓名： 学号： 专业： 学院 数学与系统科学学院 班级： 2011年7月5日 装 题号 二三四五六七八总分 订 得分 线 得分评卷人 内 叙述题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 答 1.请叙述“n元函数”的定义. 答：设A是n维空间”中的点集，若存在对应关系∫，对A中任意 题 点P(x1,x ·,n,按照对应关系∫，对应唯一一个y∈R,则称对应关系f 是定义在A上的n元函数，表为∫：A一R 无 2.设函数f(红，)在区域D有定义，P(x0,%)是D的聚点，则请叙 效 花粤心)=的定文 粤f,=A台e>0,36>0,z)eD:k-0<8 线 ly-0l<6,(c,)≠(o,h),有f(x,)-A<e 数学分析山试题第1页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** §èµB052717, B052817 Òµ #õÆ 2010—2011 Æc1ÆÏÏ"Á 5êÆ©Û(II)6Áò A 9ÙY 6¶µ ÆÒµ ;µ Ƶ êÆXÚÆÆ ?µ 2011 c 7 5 F KÒ n o Ê 8 Ô l o© © © µò 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D : |x − x0| < δ, |y − y0| < δ, (x, y) 6= (x0, y0),k |f(x, y) − A| < . êÆ©Û(II)ÁK 1 1 £ 8 ¤
光货瓷数台兴变整的老思动 f(ro,h),即e>0,36>0,(x,)∈D:e-xol 0,则36>0P∈U(P6,)nD,有f(P)>0. 数学分析山试题第2页（共8页）
3. Q㓼ê f(x, y) 3 P0(x0, y0) :ëY” ½Â. : ¼ê f(x, y) 3« D k½Â, P0(x0, y0) ∈ D. e x lim→x0 y→y0 f(x, y) = f(x0, y0), = ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ D : |x − x0| 0, K ∃δ > 0, ∀P ∈ U(P0, δ) ∩ D, k f(P) > 0. êÆ©Û(II)ÁK 1 2 £ 8 ¤
得分评卷人 二、计算题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 求∫ 解 「5+P++ 2 =∫++∫咖+∫地 装 装林林林社 -专+++国+e 2.求∫arctan VTdz 解由不定积分的分部积分公式有 订 z 1 线 =ata-/八H:女 内 =mv-+2a女 1 答 1 题 =arctan丘-v匠+1+VdvE =x arctan vr-V+arctan v+c. 无 效 来则+1==-1 ∫品=+-9m=∫3h 线 =g+e=3e+)+e 数学分析山试题第3页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** © µò< !OK ( K 8 K, zK 5 ©, 40 ©) 1. ¦ R x 6+x 5+x 3+x x2 dx ) Z x 6 + x 5 + x 3 + x x 2 dx = Z x 4 dx + Z x 3 dx + Z xdx + Z 1 x dx = 1 5 x 5 + 1 4 x 4 + 1 2 x 2 + ln |x| + c. 2. ¦ R arctan √ xdx ) dؽȩ©ÜÈ©úªk Z arctan √ xdx = x arctan √ x − Z x 1 + x 1 2 √ x dx = x arctan √ x − Z 1 + x − 1 1 + x 1 2 √ x dx = x arctan √ x − Z 1 2 √ x dx + Z 1 1 + x 1 2 √ x dx = x arctan √ x − √ x + Z 1 1 + (√ x) 2 d √ x = x arctan √ x − √ x + arctan √ x + c. 3. ¦ R 1+x √3 x+1 dx ) √3 x + 1 = t, K x + 1 = t 3 =⇒ x = t 3 − 1, dx = 3t 2dt, Z 1 + x √3 x + 1 dx = Z 1 t {1 + t 3 − 1}3t 2 dt = Z 3t 4 dt = 3 5 t 5 + c = 3 5 (x + 1) 5 3 + c. êÆ©Û(II)ÁK 1 3 £ 8 ¤
4.求∫cot3xdz 答若令six=t,则由不定积分的换元公式计算出 m=/≥=/∫a =∫-∫及=与-a+e=r-+ (sin z)-Iin sinc. ∫wt-∫dr-∫c-a+t -(+eya=a+sea+fwra+fea ++c=tanz+tan+(tan(tanz)+c 最求/izos'h ∫s如s=∫(Gx2rs'在=∫G血2au =a{/-∫mn+∫+a} “厨因如+房+成血+ 1 2s-1i血r+0i血8r+ 数学分析四试题第4页（共8页）
4. ¦ R cot3 xdx e- sin x = t, KdؽȩúªOÑ Z cot3 xdx = Z cos3 x sin3 x dx = Z cos2 x sin3 x d sin x = Z 1 − t 2 t 3 dt = Z t −3 dt − Z 1 t dt = 1 1 − 3 t 1−3 − ln |t| + c = − 1 2 t −2 − ln |t| + c = − 1 2 (sin x) −2 − ln |sin x| + c. 5. ¦ R sec8 xdx ) tan x = t, Kdt = 1 cos2 x dx, Z sec8 xdx = Z 1 cos8 x dx = Z sec6 x 1 cos2 x dx = Z (1 + tan2 x) 3 1 cos2 x dx = Z (1 + t 2 ) 3 dt = Z dt + Z 3t 2 dt + Z 3t 4 dt + Z t 6 dt = t + t 3 + 3 5 t 5 + 1 7 t 7 + c = tan x + tan3 x + 3 5 (tan x) 5 + 1 7 (tan x) 7 + c. 6. ¦ R sin4 x cos4 xdx ) Z sin4 x cos4 xdx = Z 1 2 × 2 sin x cos x 4 dx = Z 1 16 (sin 2x) 4 dx = 1 16 Z 1 − cos 4x 2 2 dx = 1 64 Z (1 − 2 cos 4x + cos2 4x)dx = 1 64 Z dx − 1 2 Z cos 4xd(4x) + Z 1 + cos(8x) 2 dx = 1 64 x − 1 128 sin 4x + 1 128 x + 1 1024 sin 8x + c = 3 128 x − 1 128 sin 4x + 1 1024 sin 8x + c. êÆ©Û(II)ÁK 1 4 £ 8 ¤
鼎求/as2红通 cos 2x sin 3xdr sin 5r + -∫s血t+∫mh -10-c+ 1 装 8.求幂级数立”的牧敛半径 订 解 线 + 誉典会 内 答 ==()-() 1+m)52+im是 题 =（1+m2+m 无 =1, 效 所以该幂级数的收敛半径为r=1 线 数学分析山试题第5页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 7. ¦ R cos 2x sin 3xdx ) Z cos 2x sin 3xdx = Z 1 2 [sin(2x + 3x) − sin(2x − 3x)]dx = Z 1 2 [sin 5x + sin x]dx = 1 2 Z sin 5xdx + 1 2 Z sin xdx = − 1 10 cos 5x − 1 2 cos x + c. 8. ¦?ê P∞ n=1 (n+1)5 2n+1 x n Âñ». ) r = limn→∞ (n+1)5 2n+1 (n+2)5 2n+3 = limn→∞ (n + 1)5 (2n + 3) (n + 2)5 (2n + 1) = limn→∞ n + 1 n + 25 2n + 3 2n + 1 = limn→∞ 1 + 1 n 1 + 2 n 5 2 + 3 n 2 + 1 n = 1 + limn→∞ 1 n 1 + limn→∞ 2 n !5 2 + limn→∞ 3 n 2 + limn→∞ 1 n = 1, ¤±T?êÂñ» r = 1. êÆ©Û(II)ÁK 1 5 £ 8 ¤
得分评卷人 三、证明题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 1证明级数立点发散。 证明点>0，n=7,8. ~三点是正项级数 出亲世品但品世活浙 =1∈0，∞)， 而广义调和级数立太发散， 所以由比较判别法如道立点发散 2.证明：级数立（二）收敛. 证明（毁）量>0，n=1,2,3. “之()是正项级数 ▣-V=一群-<1 .由Cauchy判别法知道立(=)收敛. 数学分析四试题第6页（共8页）
© µò 0, n = 7, 8, · · · ∴ P∞ n=7 1 √3 n−6 ´?ê. ∵ limn→∞ 1 √3 n−6 1 √3 n = limn→∞ 3 r n n − 6 = 3 r limn→∞ n n − 6 = 3 s limn→∞ 1 1 − 6 n = √3 1 = 1 ∈ [0, ∞), 2ÂNÚ?ê P∞ n=7 1 n 1 3 uÑ, ¤±d'O{ P∞ n=7 1 √3 n−6 uÑ. 2. y²: ?ê P∞ n=1 2n+1 3n−1 n 2 Âñ. y² ∵ 2n+1 3n−1 n 2 > 0, n = 1, 2, 3, · · · ∴ P∞ n=1 2n+1 3n−1 n 2 ´?ê. ∵ limn→∞ n q 2n+1 3n−1 n 2 = limn→∞ q2n+1 3n−1 == r limn→∞ 2+ 1 n 3− 1 n = r2+ lim n→∞ 1 n 3− lim n→∞ 1 n = q 2 3 < 1 ∴ d Cauchy O{ P∞ n=1 2n+1 3n−1 n 2 Âñ. êÆ©Û(II)ÁK 1 6 £ 8 ¤
3.证明级数三器发散。 证明因为=>0，n=12,3,所以立=是正项级数 -典a==()”-[▣(+)门 .3(n+1)nn 由Der判别法知道宫器发截 装 装林林林林料 4证明级数言学收敛 证明 订 线 -店-a玄m 内 m三-(-)5-(+)引 答 1 题 点>n咖21典后=0 无 所以由Dirichlet判别法推出空如芝收。敛 效 5用定义证明：c+)如=0 证明>0要使不等式 线 a+叨-0≤Ie+功sn时l≤+M0，则>0,6=号>0，（红，）：x-01<6,y-0< 6z)≠Q0有在+功血-0<6野+功sm=0 数学分析山试题第7页（共8页）
C ¾ S K à ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 3. y²: ?ê P∞ n=1 3 nn! nn uÑ. y² Ï 3 nn! nn > 0, n = 1, 2, 3, · · · , ¤± P∞ n=1 2 nn! nn ´?ê. ∵ limn→∞ 3 n+1(n+1)! (n+1)n+1 2nn! nn = limn→∞ 3(n + 1)n n (n + 1)n+1 = 3 limn→∞ n n + 1n = 3 limn→∞ 1 + 1 n n−1 = 3 e > 1 ∴ d D’Alembert O{ P∞ n=1 3 nn! nn uÑ. 4. y²: ?ê P∞ n=1 sin nπ 2 n Âñ. y² ∵ |Sn| = Xn k=1 sin kπ 2 = 1 2 sin π 4 Xn k=1 2 sin π 4 sin kπ 2 = 1 2 sin π 2 Xn k=1 cos k − 1 2 π 2 − cos k + 1 2 π 2 = 1 2 sin π 2 cos π 4 − cos n + 1 2 π 2 ≤ 1 |sin π 2 | , ∀n ≥ 1, 1 n > 1 n + 1 , ∀n ≥ 1, limn→∞ 1 n = 0, ¤±d Dirichlet O{íÑ P∞ n=1 sin nπ 2 n Âñ. 5. ^½Ây²: limx→0 y→0 (x + y) sin 1 y = 0. y² ∀ > 0 ¦Ø ª |(x + y) sin 1 y − 0| ≤ |(x + y) sin 1 y | ≤ |x| + |y| 0, K ∀ > 0, ∃δ = 2 > 0, ∀(x, y) : |x − 0| < δ, |y − 0| < δ, (x, y) 6= (0, 0), k |(x + y) sin 1 y − 0| < , = limx→0 y→0 (x + y) sin 1 y = 0. êÆ©Û(II)ÁK 1 7 £ 8 ¤
得分评卷人 四、综合题（本大题共10分） 证明：函数 fx,)= 品当2+≠0 0当x2+y2=0 查舒点@)莲统并且存在徐导气包在0)不订我 2+≥一l辛sl岛=号 0≤号e≤尝号=0一豐e=0=o 即f(x,)在(0,0)连续.又有 0-@-=器-0.0 @.tum o.).0吗会益。D △y △y 但是 df=f(0,0)△x+0,0)△y=0, (△x)2△y △f-j=fA,A)-f0,0)-=aP+△yP p=V(△x)2+(△)2， 思，0l”中a明”中a盖在 (△x2△x ∴f红，)在(0,0)点不可微 数学分析四试题第8页（共8页）
© µò< o!nÜK £ K 10 © ¤ y²: ¼ê f(x, y) = x 2y x2+y 2 x 2 + y 2 6= 0 0 x 2 + y 2 = 0 3: (0, 0) ëY¿ 3 ê, 3 (0, 0) Ø. y² ∵ x 2 + y 2 ≥ 2|xy| =⇒ x 2 y x 2 + y 2 ≤ x 2 y 2xy = |x| 2 ∴ 0 ≤ limx→0 y→0 f(x, y) ≤ limx→0 y→0 |x| 2 = 0 =⇒ limx→0 y→0 f(x, y) = 0 = f(0, 0), = f(x, y) 3 (0, 0) ëY. qk f 0 x (0, 0) = lim ∆x→0 f(∆x, 0) − f(0, 0) ∆x = lim ∆x→0 (∆x) 2 ·0 (∆x) 2+0 − 0 ∆x = 0, f 0 y (0, 0) = lim ∆y→0 f(0, ∆y) − f(0, 0) ∆y = lim ∆y→0 0 2 ·∆y 0 2+(∆x) 2 − 0 ∆y = 0. ´ df = f 0 x (0, 0)∆x + f 0 y (0, 0)∆y = 0, ∆f − df = f(∆x, ∆y) − f(0, 0) − df = (∆x) 2∆y (∆x) 2 + (∆y) 2 , ρ = p (∆x) 2 + (∆y) 2 , limρ→0 ∆x=∆y (∆f − df) ρ (0,0) = lim |∆x|→0 (∆x) 2∆x √ 2|∆x|[(∆x) 2 + (∆x) 2 ] = lim |∆x|→0 1 2 √ 2 ∆x |∆x| Ø3. ∴ f(x, y) 3 (0, 0) :Ø. êÆ©Û(II)ÁK 1 8 £ 8 ¤