新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（辅助资料）常微分方程稳定性基本理论及应用（PDF打印版）

目 录 前言...... .......... 5 §1.常微分方程基本概念 6 §2.基本定理 9 §3.稳定性的基本定义 18 4. Liapunov 函数. 28 §5.稳定的基本定理 31 §6.渐近稳定的基本定理 35 §7.不稳定的基本定理 43 §8.全局渐近稳定的基本定理 47 §9.解的渐近性质 54 §10.解的一般有界性 §11.解的最终有界性 12.稳定性的比较原理 59 §13.线性方程组的Liapunov 函数 66 §14.线性近似决定的稳定性 72 15.类比法构造 Liapunov 函数 75 §16.力学系统的稳定性 83 §17.种群系统的稳定性 88 18.传染病系统的稳定性 99 §19.市场价格系统的稳定性 105 §20.控制系统的稳定性 117 §21.人工神经网络的稳定性 128

:  ℄G 5 §1. Ir,$Q":G 6 §2. "  9 §3. ￾ 3y" ` 18 §4. Liapunov f= 28 §5. ￾ y"  31 §6. 7M￾ y"  35 §7. 7￾ y"  43 §8. oW7M￾ y"  47 §9. Ey7M31 54 §10. EyRoF3 §11. EyR5oF3 §12. ￾ 3y$?} 59 §13. 3$QQy Liapunov f= 66 §14. 3MG_ y￾ 3 72 §15. ￾$Q Liapunov f= 75 §16. >by￾ 3 83 §17. 6rby￾ 3 88 §18. ^t1by￾ 3 99 §19. +H+Cby￾ 3 105 §20. o0by￾ 3 117 §21. xKOo#y￾ 3 128 2

分 稳定性的概念最早来源于力学，主要刻划了干扰性因素对一个力学系统运动的 影响。所谓干扰性因素，就是那些在描述物体运动时由于与基本力相比很小而未曾 加以考虑的力.这些力常常是不确切知道的，它们可以是瞬间的作用，因而引起力 学系统初始状态的微小变化.也可以作用于物体运动的整个过程.微小的干扰因素 对一个学系统运动的影响，对于不同的运动是不一样的.对于一些运动来说这种 影响并不显著，因而随着时间的变化，受干扰的运动和不受干扰的运动始终相差的 很小.反之，对于另一些运动来说，干扰因素的影响就可能就很显著，以致于无论 干扰因素多么的小，随着时间的变化，受干扰的运动和不受干扰的运动可能相差的 很大.简单地说，属于第一类的运动我们就称是稳定的运动，而属于第二类的运动 我们称为是不稳定的运动， 特别地，对于一个刚体运动系统来说，它的平衡位置就是这个力学系统的一个 特殊运动.通常我们说这个平衡位置是稳定的，就是指刚体在受到干扰力的作用从 它的平衡位置发生微小的移动后，但随着时间的推移，仍然能够回到它原有的平衡 位置.反之，如果刚体不能回到它原有的平衡位置，则我们就说这个平衡位置是不 稳定的.最明显的例子就是单摆，如下图所示， 3

F ￾ 3y:GRÆ{
r >=Nk|b y gP|bX CTyr",}PiYUlrY y!EaQr"yb ygr7_y '7RMyrR$ {B6 g27> ME.y,}3Y.r! Y b{BRyQr{/U'E >byRE V4 ^I-BEQr{/'￾ yU'*>Y3uY7BuR}oyQr{/-UBEQr{/'7 ￾ yR3yIU'n~fP" 3

单摆的平衡位置有两个，一个是夹角9=0，另一个是夹角日=π.显然，我们都 知道，日=0是稳定的平衡位置，而0=云是不稳定的平衡位置 关于稳定性研究的早期工作主要是研究物体的平衡位置的稳定性问题.最早的 一个稳定性原理是以意大利科学家Torricelli命名的一个定律，即：物体的重心处 于最低位置的平衡位置是稳定的.后来，稳定性的研究逐步发展到研究运动的稳定 性.而且所谓运动，也不限于物体的运动，任何事物的变化都是一种运动，都存在 着是否稳定的问题。因此运动稳定性的研究在现代已经超出了力学的范围，而进入 了许多其它的自然科学领域。 稳定性是一个非常具有实用意义的概念。事实上，对于任何一项我们将要实施 的工程来说，稳定性问题的研究往往成为这个工程能否最终实现，并且达到理想目 标的关键以发射人造卫星为例，我们要求卫星按照预定的轨道运行，如果这个运 动不是稳定的，这个要求就无法实现或者实现的很不理想，从而卫星的发射也就不 会成功.大量的工程中都存在着类似的问题.因此稳定性理论的研究对于科学技术 的发展具有重要的意义. 由于任何一个实际的系统，不论是力学系统，电学系统，生态系统，经济系统， 还是其它学科领域内的系统，都可以通过建立数学中的微分方程，差分方程，或者 是其它类型的数学方程来描述，而这些实际系统的任何一个运动都对应于所建立的 数学方程的某一个解、因此，一个实际系统的运动的稳定性问题就转化为所对应的 数学方程的解的稳定性问题。稳定性理论研究的核心内容就是要建立各类具有不同 实际意义或实际应用的稳定性概念的精确的数学描述，以及建立关于这些稳定性概 念的各种不同的判别准则，特别是充分必要的判别准则.并将这些判别准则应用于 实际问题，用来判断所考察的具体运动是稳定的还是不稳定的，以及具有怎样的稳 定性特征 为稳定性理论作出开创性工作的是俄国科学家A.M.李雅普诺夫(AM.Liapunov), 他从1882-1892年完成的在理论和实际上均具有普遍意义的博士论文“运动稳定性 的一般问题”，首次从数学的角度给出了稳定性的精确定义，开创了常微分方程的解 4

nyQr{/oÆERE''= θ = 0, RE''= θ = π. s- $v θ = 0 '￾ yQr{/ θ = π '7￾ yQr{/ Yr￾ 3ETyÆSKU=N'ETYyQr{/y￾ 3
XRÆy RE￾ 3}'Y^ih>( Torricelli 54yRE Yy7+℄ rR|{/yQr{/'￾ yu{￾ 3yETy"tK 6TRyJsh>x ￾ 3'RE*I\ol^`y:G%rymR-9N yKQ{B￾ 3
XyETppOwEKQB.R52agu; .yY3Y x}-w-Ng}-{ y^v1~`E 7'￾ yENgUyp7d}-y PU7 OMiyKQ4fE￾Gy
X b￾ 3!yETrh>9 y\o7Ny^` nrymRE$yb7!' >b>bTbO b ￾'TR>hxAybiY^a8 =>4yr,$QE,$Q 'TR￾/y=>$Q{1:$$byymRE erP8 y =>$Qy8REE bRE$by y￾ 3
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X￾ 3!ETyk+A}U'N8 F￾\o7_ $^`$ely￾ 3:GyNqy=>1:Y8 Yr$￾ 3: GyF67_yL0DV0'T,(NyL0D29$L0Delr $
Xl{LPeDy\Y '￾ y￾'7￾ yY\oMy￾ 3V w￾ 3!UYb_3KUy'_h>( A.M. CRJ/ (A.M.Liapunov), Qd 1882-1892 FlOy!l$a\oR-^`y5#!~ “ ￾ 3 yR
X ”, 1 d=>y=ÆGY￾ 3yNq `b_Ir,$QyE 4

的稳定性理论.AM.李雅普诺夫从类似于物体的总能量的物理概念得到了启示， 提出了后来被人们称为Liapunov函数的研究方法，将一般常微分方程的解的稳定 性的讨论转化为讨论一个标量函数(Liapunov函数以及它对常微分方程的全导数 的某些特性的研究。成功地避开了具体求解常微分方程的困难，从而建立了常微分 方程稳定性研究的基本框架 A.M.李雅普诺夫的这一工作影响之巨大，在稳定性理论的一百年来的历史中已 经得到了充分的证明.在理论上，稳定性理论和Liapunov函数方法已经从原来的 常微分方程领域发展到了积分方程，泛函微分方程，差分方程，随机微分方程和偏 微分方程领域等等，从有限维空间发展到了无穷维空间；在应用上，已经从力学领 域发展到了自动控制，机械，航空，航天，电力，化工，生态，农业，经济，能源， 管理和系统工程等许多科学领域.目前，稳定性理论和Liapunov函数方法已经形 成了从理论到应用的一个非常丰富的体系 本讲义较系统地介绍了常微分方程稳定性理论的基础内容和应用，从中读者可 基本了解到常微分方程稳定性理论的发展状况和研究方法.具备有数学分析，线性 代数，解析几何，常微分方程基础理论知识和泛函分析初步知识的读者都可以读通 本讲义 本讲义共计二十一节内容，可划分为两个部分.第一部分从第一节到第十二节， 这里主要介绍了常微分方程稳定性理论的基本概念和基本定理.基本概念包括：解 的稳定性，不稳定性和一致稳定性；解的吸引性，一致吸引性和全局吸引性；解的 渐近稳定性，一致渐近稳定性和全局渐近稳定性；解的有界性，等度有界性和一致 有界性；解的最终有界性，等度最终有界性和一致最终有界性；Liapunov函数， Liapunov函数的全导数，Liapunov函数的常号及定号性，Liapunov函数的无穷 小上界和无穷大性质，等等.基本定理包括：解的稳定性的Liapunov型基本定理； 解的渐近稳定性的Liapunov型基本定理，解的不稳定性的Liapunov型基本定理； 解的全局渐近稳定性的Liapunov型基本定理，解的渐近性质的Liapunov型基本定 理；解的一般有界性和最终有界性的Liapunov型基本定理；稳定性的Liapunov型 5

y￾ 3! A.M. CRJ/d￾GrYyLBy:GwuX" WYu{!x-Nw Liapunov f=yET$9RIr,$QyEy￾ 3yU!B}wU!RE.f= (Liapunov f=) YRIr,$Qyot= y8$V3yETOM)b\YgEIr,$Qyv>d8 Ir, $Q￾ 3ETy"s, A.M. CRJ/yRKUg%[i￾ 3!yRF{y4X OwuT,y#3!￾ 3!l Liapunov f=$XOd}{y Ir,$Qxu,$Q#fr,$QE,$QMr,$QlN r,$Qx{{doxn.ufxn. elXOd > xuJ o0'gng[ }KTHQO B
 [lbKQ{6h>x;℄￾ 3!l Liapunov f=$XO0 Od!uelyRE*I-6yY ";`?bG Ir,$Q￾ 3!y[A}leld4 i "EuIr,$Q￾ 3!yCtlET$\ o=>,3 k=EmIr,$Q[!$l#f,X9$y iY ^ ";` ";`P!RCA}i|,wÆE:,￾R:,d￾RCu￾C =NG Ir,$Q￾ 3!y":Gl" ":GwE y￾ 37￾ 3lR.￾ 3 Ey d3R. d3loW d3 Ey 7M￾ 3R.7M￾ 3loW7M￾ 3 EyoF3{ÆoF3lR. oF3 EyR5oF3{ÆR5oF3lR.R5oF3 Liapunov f= Liapunov f=yot= Liapunov f=yIj j3 Liapunov f=yf "Flfi31{{" wEy￾ 3y Liapunov /" Ey7M￾ 3y Liapunov /" Ey7￾ 3y Liapunov /" EyoW7M￾ 3y Liapunov /" Ey7M31y Liapunov /" EyRoF3lR5oF3y Liapunov /" ￾ 3y Liapunov / 5

比较原理，等等.第二部分从第十三节到第二十一节，这里主称似绍了Liapunov函 数构造理论基础和稳定性理论应用基础。内原包为：常系数线性微分方程组的二次 型Liapunov函数的穷在性；线性随似决定的稳定性；二次型Liapunov函数的巴尔 巴欣公式构造非线性微分方程Liapunov函数的稳比法；吸学系统的稳定性问题； 控制系统的稳定性问题；生态系统的稳定性问题；动态经济系统的稳定性问题；传 染病动吸学系统的稳定性问题；域工神经网络动吸学系统的稳定性问题，等等。 6

$?}{{￾:,d￾Cu￾RC=NG  Liapunov f =Q![l￾ 3!el[A}wI=3r,$QQy / Liapunov f=yf3 3MG_ y￾ 3  / Liapunov f=y (O! Q*3r,$Q Liapunov f=y￾$ >by￾ 3
X o0by￾ 3
X Tby￾ 3
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X ^ t1 >by￾ 3
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X{{ 6

§1.常微上方程基传概念 1.1常微分方全到等义 设R=(-o心，o∞)，型示n维欧氏空致，对任何向量x∈，x的模记为. 设DCR×"是一个可域，设∫：？一R是一个已比的标量函数.设x=x()是 一个以t∈R为诺变量的未比函数，则如下关系式 dnr dx d-1x =f化，x.,) (1.1) 称为一个n转常微分方程，制称n转方程. 进一步，设∫：→R”是一个已比的n维向量函数.设x=x()是一个以 t∈R为诺变量的n维向量未比函数，则如下关系式 密-f北到 (1.2) 称为一个n维一转常微分方程程，制称一转方程程， 如果我们及： =小=-会尝会 和 ft,x)=(i(t,x),f2(t,x,.,fn(化，x), 则一转方程程(1.2)可以写成如下联立方程程的形式： =6,1,2,n】 t =fh,n,2,n】 dt 告-动 此外，n转方程(1.1)也可以通过引如新的变量能化成一转方程程的形式.具体方

§1. i n^A 1.1 jdou{ R = (−∞, ∞), Rn /" n xK*n.ym x ∈ Rn , x y6"w |x|. Ω ⊂ R × Rn 'REix f : Ω → R 'REX$y.f= x = x(t) ' REY t ∈ R wJ,yy$f=~Y! d nx dtn = f(t, x, dx dt , · · · , d n−1x dtn−1 ) (1.1) NwRE n BIr,$Q0N n B$Q KR9 f : Ω → Rn 'REX$y n xf= x = x(t) 'REY t ∈ R wJ,y n xy$f=~Y! dx dt = f(t, x) (1.2) NwRE n xRBIr,$QQ0NRB$QQ ~`- x = (x1, x2. · · · , xn), dx dt = (dx1 dt , dx2 dt , · · · , dxn dt ) l f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), · · · , fn(t, x)), RB$QQ (1.2) iY&O~ $QQy0! dx1 dt = f1(t, x1, x2, · · · , xn) dx2 dt = f2(t, x1, x2, · · · , xn) · · · · · · dxn dt = fn(t, x1, x2, · · · , xn) bk n B$Q (1.1) PiY^ad~*y,B}ORB$QQy0!\Y$ 7

史如下：读1=x,2=告，xn=告，则我们有 dn以=n 答-=化 这是一个n维未一转方程程。 由于任何一个n转方程都可出通过上概方史能化为一个n维未一转方程程，因 统从下形第二状开始我们只对一转方程程进行讨论 1.2解到等义 读x=x()是绍义于区致ICR上未有直到n导数未标量函数，如果我们有 0=心29对-文te1 则称x(①是n转方程(11)绍义：区致I上未一个解. 读x-x()是绍义于区致ICR上未有一转导数未n维向量函数，如果我们有 0=f化，)对-义te1 dt 则称x(①)是一转方程程(1.2)绍义：区致1上未一个解. 显然，一个常微分方程可出有许多个解为了确绍常微分方程未某个提绍未解 作需称确绍这个解未绍解条中.绍解条中通常有题始条中和氏界条中.这里我们主 称体心题始条中.对于n转方程程(1.1)，题始条中通常绍义为如下形式： x)=0,ao=1,.,=n-, (1.3) dt dtn-1 其中o∈R称为题始而刻，x0,x1,.,n-1称为题始值，它们都是初此未值.对 于一转方程程(1.1)，题始条中通常绍义为如下形式： x(to）=x0 (1.4) 8

~ x1 = x, x2 = dx dt , · · ·, xn = d n−1x dtn−1 , -o dx1 dt = x2 dx2 dt = x3 · · · · · · dxn−1 dt = xn dxn dt = f(t, x1, x2, · · · , xn) 'RE n xyRB$QQ nrymRE n B$QiY^a:$B}wRE n xyRB$QQ bd0￾Cb -+RB$QQK1U! 1.2 #u{ x = x(t) ' `ri. I ⊂ R yo&u n t=y.f=~`-o d nx(t) dtn ≡ f(t, x(t), dx(t) dt , · · · , d n−1x(t) dtn−1 ) R` t ∈ I, N x(t) ' n B$Q (1.1) `i. I yREE x = x(t) ' `ri. I ⊂ R yoRBt=y n xf=~`-o dx(t) dt ≡ f(t, x(t)) R` t ∈ I, N x(t) 'RB$QQ (1.2) `i. I yREE sREIr,$QiYo6EEwq Ir,$Qy8EW yE U4Nq EEy E\4 E\4^IoX \4l*F\4-= NY+X \4r n B$QQ (1.1), X \4^I `w~0! x(t0) = x0, dx(t0) dt = x1, · · · , d n−1x(t0) dtn−1 = xn−1, (1.3) T4 t0 ∈ R NwX k x0, x1, · · ·, xn−1 NwX )R-'X$y) rRB$QQ (1.1), X \4^I `w~0! x(t0) = x0, (1.4) 8

其中to∈R称为初始时代概x∈R”称为初始值并且它们都是已比的值都 确定n阶方程程(1.1)的满足初始条需(1.3)的差的源题称为n阶方程程(1.1) 的初值源题概通常本为 d"r dn-iz. dr(to) xto=o, d-lx(to） =n-1 确定最阶方程程(1.2)的满足初始条需(1.4)的差的源题称为最阶方程程(1.2)的初 值源题概通常本为 华=f化， x(to)=To. 1.3困空间轨线概秤积点 对于最阶方程程(1.2)，我们称分量x所：的由标”为它的者由标都 设x=x(t,to,xo)是最阶方程程(1.2)的满足初始条需(1.4)的差概定义区标为 L,展然to∈L.则者由标中的集合 J={x:x=x(t),i∈I},J+={x:x=x(t),t∈I,t≥to}, J_=x:=x(t).tel.t<tot 分别称为差x(t,to,o)所对应的通线概正半通线和负半通线都 对于最阶方程程(1.2)，如果函：最个常数向量x=x*使为f(化，x*三0对最义 t∈R,则我们称x=x*是它的最个业微点都 展然概最阶方程程(1.2)的业微点x=x°也是它的最个差概骈且是常数差都 1,4自治方全概解方全概线如方全 ：常微分方程理论中概我们通常把方程程(1.2)称为非诺明的微分方程程都诺方 程程(1.2)的右端函数f(t,x)不展含时标t,即方程程(1.2)分为 =fe) (1.5) 9

T4 t0 ∈ R NwX k x) ∈ Rn NwX )2aR-'X$y) q n B$QQ (1.1) y&OX \4 (1.3) yEy
XNw n B$QQ (1.1) yX)
X^I"w d nx dtn = f(t, x, dx dt , · · · , d n−1x dtn−1 ) x(t0) = x0, dx(t0) dt = x1, · · · , d n−1x(t0) dtn−1 = xn−1. q RB$QQ (1.2) y&OX \4 (1.4) yEy
XNwRB$QQ (1.2) yX )
X^I"w dx dt = f(t, x) x(t0) = x0. 1.3 v+ÆuDw rRB$QQ (1.2), -N, x Pyn. Rn wRyn. x = x(t, t0, x0) 'RB$QQ (1.2) y&OX \4 (1.4) yE `i.w I, s t0 ∈ I. n. Rn 4yn J = {x : x = x(t), i ∈ I}, J+ = {x : x = x(t), t ∈ I, t ≥ t0}, l J− = {x : x = x(t), t ∈ I, t ≤ t0} ,0NwE x(t, t0, x0) Pey^"^l5^ rRB$QQ (1.2), ~`fREI= x = x ∗ w f(t, x∗ ) ≡ 0 R` t ∈ R, -N x = x ∗ 'RyREQr sRB$QQ (1.2) yQr x = x ∗ P'RyREE2a'I=E 1.4 #o Eou~o Ir,$Q!4-^I$QQ (1.2) Nw*J3yr,$QQ￾$ QQ (1.2) ypf= f(t, x) 7d. t, $QQ (1.2) ,w dx dt = f(x) (1.5) 9

这里n维向量函数f(x)在区域GCR"上连续，且满足局部的Lipschitz条件，此 时我们称为自治的微分方程.若方程组(1.2)的右端函数f化，x)关于t是周期的， 即存在常数w>0使得对任何的（化，x)∈R×G都有 f(t+w,x)=f(t,x) 则我们称方程组(1.2)是周期的微分方程组.显然自治的和周期的微分方程组都是 非自治微分方程组的特殊情况.若方程组(1.2)的右端函数f(化，x)关于x是线性 的，即 f(t,x)=A()x+f() 其中，A()是n×n阶函数矩阵，f(t)是n维向量函数，则称方程(1.2)是线性 非齐次方程组，即 告=A0z+1m (1.6) 若有ft)≡0，即 告=0g (1.7) 则称为线性齐次方程组，若还有A()三A为一个常数矩阵即 告=： (1.8) 则称为常系数线性齐次方程组 10

 n xf= f(x) ix G ⊂ Rn 9a&OW:y Lipschitz \4b -NwJ3yr,$Q￾$QQ (1.2) ypf= f(t, x) Yr t '8Sy fI= ω > 0 wymy (t, x) ∈ R × G o f(t + ω, x) = f(t, x) -N$QQ (1.2) '8Syr,$QQsJ3yl8Syr,$QQ' *J3r,$QQyV4et￾$QQ (1.2) ypf= f(t, x) Yr x '3 y f(t, x) = A(t)x + f(t) T4 A(t) ' n × n Bf=X f(t) ' n xf=N$Q (1.2) '3 *V $QQ dx dt = A(t)x + f(t), (1.6) ￾o f(t) ≡ 0,  dx dt = A(t)x, (1.7) Nw3V $QQ￾￾o A(t) ≡ A wREI=X dx dt = Ax, (1.8) NwI=3V $QQ 10

§2.基本定理 著摄将介绍常微分方程解的些基著定理，原的存在唯性定理，解的延拓 定理，解对初值的连续性定理，以及解对参数的连续性定理.它们是著课程所涉及 内容的理论基础。 我们考虑如下一般形式的n维常微分方程组 告=化 (2.1) 其中x=(c1,x2,.,xn)∈，t∈R,ft,x)是定义于区域0C+1上的n维向 系函数及，到=，.h,.,)∈m 定义2.1(1)称f(t,x)在2上关于x满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0 使得对任意的（化，1），（化，x2)∈2都有 If(t,x1)-f(t,22)0,使得 对任意的（化，1），(6，x2)∈U都有 lf(t,x)-f(t,2l≤-x2 这里，常数L通常称为Lipschitz常数 在著聂中我们始终假设方程组(2.1)的右端函数f(t,x)在Ω上连续，并且关于 x满足局部的Lipschitz条件. 首先我们研究方程组(2.1)的初值问题的解的存在唯一性问题，我们有下面的结 果 解的存在唯-性定理用任有动∈B.打值问夏 亚=f化，以，xo)=0 (2.2) 11

§2. ^z1 "C9G Ir,$QEyR$" EyfuR3 EyFj EX)y93 YE>=y93 R-'"lQP A}y![ -e~R0!y n xIr,$QQ dx dt = f(t, x), (2.1) T4 x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn , t ∈ R, f(t, x) ' `rix Ω ⊂ Rn+1 y n x f= f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), · · · , fn(t, x)) ∈ Rn . { 2.1 (1) = f(t, x) ! Ω Ol x 0: Lipschitz iLoH!;a L > 0 WO[KP (t, x1), (t, x2) ∈ Ω X |f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|. (2) = f(t, x) ! Ω Ol x 0:9P Lipschitz iLo[KP (t0, x0) ∈ Ω, H! (t0, x0) PÆf+ U = U(t0, x0) ⊂ Ω uÆf;a L = L(t0, x0) > 0, WO [KP (t, x1), (t, x2) ∈ U X |f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|. &#;a L j;=s Lipschitz ;a "C4- 5* $QQ (2.1) ypf= f(t, x)  Ω 92aYr x &OW:y Lipschitz \4 1-ET$QQ (2.1) yX)
XyEyfuR3
X-o0yD ` #ure~{2 [Kv (t0, x0) ∈ Ω, A,wh dx dt = f(t, x), x(t0) = x0 (2.2) 11