§2.3恰当方程与积分因子 讲授内容： :恰当方程极其解法；积分因子概念利用积分因子求解一解 微分方程。 教学重点： 恰当方程的判定及求解方法，积分因子的概念， 1.恰当方程（全微分方程） 例2.15 例2.16 2.积分因子 例2.17 例2.18 例2.19 例2.20 例2.21 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §2.3 恰当方程与积分因子 1.恰当方程(全微分方程) 例2.15 2.积分因子 例2.16 例2.17 例2.18 例2.19 例2.20 例2.21 :恰当方程极其解法;积分因子概念利用积分因子求解一解 微分方程. 恰当方程的判定及求解方法,积分因子的概念. 讲授内容: 教学重点:
§2.3恰当方程与积分因子 1.恰当方程（全微分方程） 考虑微分形式的一阶方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 (2.28) 其中M,N具有一阶连续的偏导数，这样的形式有时更便于寻找它 的通解.如果上式左端恰好是某个二元函数 u(x的全微分即 du(x,y)=M(x,y)d+N(x,y)dy (2.29) 则称(2.28)为全微分（恰当）方程. 例如 xdx+ydy =0 就是一个恰当方程.因为它的左端x+y恰好是二元函数 4(x,)=(的全徽分又如 yoc -xay =0 +J>2 结束 上一页返回下页<2 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1.恰当方程(全微分方程) 考虑微分形式的一阶方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = 其中M,N具有一阶连续的偏导数,这样的形式有时更便于寻找它 的通解.如果上式左端恰好是某个二元函数 u x y ( , ) 的全微分即 du x y M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) ( , ) (2.29) = + 则称(2.28)为全微分(恰当)方程. xdx ydy + = 0 例如 §2.3 恰当方程与积分因子 就是一个恰当方程 .因为它的左端 xdx+ydy 恰好是二元函数 的全微分.又如 1 2 2 ( , ) ( ) 2 u x y x y = + 2 2 0 ydx xdy x y − = +
§2.3恰当方程与积分因子 M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 (2.28) du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy (2.29) 也是一个恰当方程因为它的左端为 4(x,)=的堆微分. 如果(2.28)是恰当方程，则由定义存在可微的二元函数(x使嫩 得(2.29)成立.从而由(2.28)知 du(x,y)≡0 于是 u(x,y)=c 为(2.28)的解这里c为任意常数 那么如何求解2.28)呢？下面就以下三个问题进行讨论： 1.如何判断(2.28)是否为全微分方程； 2.若(2.28)为全微分方程，如何求出二元函数(x,y)； 3.若(2.28)不是全微分方程，有何办法将它转变成全微分方程并 求出其通解。 结束 帮助 返叵
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §2.3 恰当方程与积分因子 也是一个恰当方程.因为它的左端为 ( , ) 的全微分. x u x y arctg y = 如果(2.28)是恰当方程,则由定义存在可微的二元函数 使 得(2.29)成立.从而由(2.28)知 u x y ( , ) du x y ( , ) 0 于是 u x y c ( , ) = M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = du x y M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) ( , ) (2.29) = + 为(2.28)的解.这里c 为任意常数. 那么如何求解(2.28)呢？下面就以下三个问题进行讨论: 1. 如何判断(2.28)是否为全微分方程; 2. 若(2.28)为全微分方程，如何求出二元函数 u x y ( , ) ； 3. 若(2.28)不是全微分方程，有何办法将它转变成全微分方程并 求出其通解
$2.3恰当方程与积分因子 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.28) 设(2.28)为恰当方程，则存在二元函数(x,y)使得 du=M(x,y)dx+N(x,y)dy 另一方面， du(x,y)= 所以 Ox ay ou Ox =M(x,y) Ou=N(x,y) oy 于是 Ou aM a'u aN axay ay oyax Ox 由于 OM X 连续，) 所以 8u 8u ax’ axay 因此 ayax aM aN (2.30) ay Ox 结束 目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 设(2.28)为恰当方程，则存在二元函数 u x y ( , ) 使得 §2.3 恰当方程与积分因子 另一方面， ( , ) u u du x y dx dy x y = + M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = du M x y dx N x y dy = + ( , ) ( , ) ( , ) , u M x y x = ( , ) u N x y y = 所以 于是 2 u M x y y = ， 2 u N y x x = 由于 , 连续，所以 M N x x = 2 2 , u u x y y x 因此 (2.30) M N y x =
§2.3恰当方程与积分因子 aM aN M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.28) (2.30) ay ax (2.30)是(2.28)为恰当方程的必要条件 下面证明，如果(2.30)成立，则(2.28)为恰当方程， 我们取函数(x,y)如下 u(x,y)=M(x,y)dx+o(y) (2.31) 其中当进行积分是，把y看成参数，而p(为任一个y的可微函数 实际上由0=M将看成参数解此方程，得) u(c,y)=「M(x,y)dc+c 当c取为y的可微函数（时，仍然是 的解 为了使函数（的尘微分等于(2.28）的左端，还应当要求函数 满足u(x,y) 即要求p(满足 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 (2.30)是(2.28)为恰当方程的必要条件. 下面证明，如果(2.30)成立，则(2.28)为恰当方程. 我们取函数 u x y ( , ) 如下 u x y M x y dx y ( , ) ( , ) ( ) (2.31) = + 其中当进行积分是，把 y 看成参数，而 ( y 为任一个 ) y 的可微函数 u x y M x y dx c ( , ) ( , ) = + ( , ) u M x y x = (实际上由 ,将 y 看成参数解此方程，得) ( y) ( , ) u M x y x = 当 c取为y的可微函数 时，仍然是 的解) §2.3 恰当方程与积分因子 = (2.30) M N y x M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = 为了使函数 的全微分等于(2.28)的左端,还应当要求函数 满足 u x y ( , ) u x y ( , ) ( ) ( , ) ( , ) u d y M x y dx N x y y y dy = + = 即要求( ) 满足y
$2.3恰当方程与积分因子 do(y) =N(x,y)- M(x,y)d (2.32) 少 vvrvwrwwvwrrrrrrvwwwrrrvrvrvrvrvwvrrrrrrvrr 显然只要上式右端与x无关，把它的两边对y积分一次即得p(代入 (2.31)就找到其全微分为(2.28)左端的u(x,下面说明(2.32)右端与x 无关 事实上，由于M(x续可微，因此根据条件(2.30) aM aN (2.30) lNWwa1=x-Ma ax aN ∫Mx,)= aN aM =0 注： 这里用到了含参变量积分的性质：若f(x,y),f进续，则 寻∫g 茵此在涤件(2.30j得到满足的条件下，为了求出c,位.31)满边对y积 分得 p)）=jiN(x,y)-a∫Mx,y1 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ( ) ( , ) ( , ) (2.32) d y N x y M x y dx dy y = − 显然只要上式右端与x无关，把它的两边对y积分一次即得 代入 (2.31)就找到其全微分为(2.28)左端的 .下面说明(2.32)右端与x 无关. ( y) u x y ( , ) 事实上，由于 连续可微，因此根据条件(2.30) M x y ( , ) §2.3 恰当方程与积分因子 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ] N N x y M x y dx M x y dx x y x x y − = − [ ( , ) ] 0 N N M M x y dx x y x x y = − = − = (2.30) M N y x (这里用到了含参变量积分的性质:若 f x y f x y ( , ), ' ( , ) 连续 y ,则 ( , ) f f x y dx dx y y = ) 注: 因此在条件(2.30)得到满足的条件下，为了求出 ,(2.31)两边对y积 分得 u x y ( , ) ( ) [ ( , ) ( , ) ] y N x y M x y dx dy y = −
§2.3恰当方程与积分因子 du(x,y)=M(x,y)d+N(x,y)dy (2.29) 将此式代入(2.29)从而求出 ,MC+jN(x,-∫Mx,I 这样我们得出(2.28)为全微分方程的充分必要条件是(2.30)成立 如果对于(2.28)，(2.30)成立，那么它的通解为： ∫Mx,Jy)+∫Nx,y)-∫JM(x,yxw=e 用类此的方法可推导出其通解为： ∫Mx,y)+∫Nx,y)-∫N(x,yw=c 其通解也可以用下面的定积分来求： 或 ∫M(x,)+∫N(,y)=c 其中(xo,是M化，y),N,y)及其偏导数连续的区域内的任意一点 结束 帮助 返▣
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这样我们得出(2.28)为全微分方程的充分必要条件是(2.30)成立. §2.3 恰当方程与积分因子 将此式代入(2.29)从而求出 u x y M x y dx N x y dy M x y dx dy ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , ) ] = + − 如果对于(2.28),(2.30)成立,那么它的通解为: M x y dx N x y dx M x y dx dy c ( , ) ( , ) [ ( , ) ] y + − = 用类此的方法可推导出其通解为: M x y dx N x y dx N x y dy dx c ( , ) ( , ) [ ( , ) ] y + − = 其通解也可以用下面的定积分来求: 或 0 0 0 ( , ) ( , ) x y x y M x y dx N x y dy c + = 其中 (x0 , y是 0 )M(x,y),N(x,y)及其偏导数连续的区域内的任意一点. du x y M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) ( , ) (2.29) = +
§2.3恰当方程与积分因子 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.28) 结束 精助2上一贡返回下页2目录 首页
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§2.3恰当方程与积分因子 例2.15求解微分方程 w+2（2+y=0 解：方法一 由于 号-x联，此方程为恰当方程 OM x,)-∫sc+2e2+y-∫gw ixy-xy 故通解为 2x2y+y2=c 或 (d-e 得 22y+ 42=G 结束 帮助 返正
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例2.15 求解微分方程 1 2 ( ) 0 2 xydx x y dy + + = 解: 方法一. 由于 , 因此，此方程为恰当方程 M N x y x = = 1 2 ( , ) ( ) [ ] 2 u x y xydx x y dy xydx dy y = + + − 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 4 = + + − = + x y x y y x y x y y 故通解为 2 2 2x y y c + = §2.3 恰当方程与积分因子 或 0 0 1 (0 ) 2 x y xydx y dy c + + = 得 1 1 2 2 2 4 x y y C + =
一L§2.3恰当方程与积分因子 如果判断一个方程为恰当方程，并不需按照上述方法求解，而是采 用“分项组合法”· 方法二 利用分项组合的办法即凑微分法. +22+z=0d3x2y)+d)=0 y+)=0通解为x+子- 1 即 2x2y+y=c :=4) 例2.16求解微分方程 解： -方程为恰当方程 aM=-1 故通解为 (cosx+(10)do-C,sinx+C 2 y 结束 目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §2.3 恰当方程与积分因子 利用分项组合的办法 即 凑微分法. 方法二. 1 1 2 0 2 2 xydx x dy ydy + + = 如果判断一个方程为恰当方程，并不需按照上述方法求解，而是采 用“分项组合法”. 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 2 4 d x y d y + = 1 1 2 2 ( ) 0 2 4 d x y y + = ∴通解为 1 1 2 2 2 4 x y y c + = 即 2 2 2 ( 4 ) x y y c c c + = = 例2.16 求解微分方程 2 1 1 (cos ) ( ) 0. + + − = x x dx dy y y y 解: ∵ ∴ 2 此方程为恰当方程 M N 1 y y x = − = 故通解为 x y x dx dy C y y + + − = 0 1 1 1 (cos ) ( 0) , 即 sin ln + + = x x y C y