习题（二） 常数变易公式：一阶线性非齐次方程dr/dl+p()x=g(U)的 切解可以表示为x(t)=h(t)(c+「q(s)/h(s)ds)其中h()是对应的 线性齐次方程dk/d+p(t)x=0的任一个确定的非零特解，可取 h()=exp(-p()d)中一个特定的函数。其中exp(s)=e表示指 数函数。c为任意常数。注意公式中的两个函数()必须取同 个函数。 1.用分离变量法解下列方程或初值问题： ①杂+e=-0 解：y=cexp(-e2d)=cexp(-e2/2) (2)secx2 tan ydx +sec2 ytanxdy=0 解：原方程可化为tanydtanx+tanxd tany=0,从而 d(tanxtan y)=0,积分得通解tanxtany=c。 (3)(x+1)少+1=2ey dx 解：将原方程可化为(x+1)e'少+(e'-2)d=0,进而化为 (x+1)d(e-2)+(e-2)d(x+l)=0,即d(x+1)(e'-2]=0,积分 得通解(x+1(e'-2)=c
1 习 题 (二) 常数变易公式：一阶线性非齐次方程 dx dt p t x q t / ( ) ( ) + = 的一 切解可以表示为 0 ( ) ( )( ( ) / ( ) ) t t x t h t c q s h s ds = + 其中 ht( ) 是对应的 线性齐次方程 dx dt p t x / ( ) 0 + = 的任一个确定的非零特解，可取 h t p t dt ( ) exp( ( ) ) = − 中一个特定的函数。其中 exp( ) s s e = 表示指 数函数。 c 为任意常数。注意公式中的两个函数 ht( ) 必须取同一 个函数。 1. 用分离变量法解下列方程或初值问题： （1） 2 0 dy x ye dx + = 解： 2 2 exp( ) exp( / 2) x x y c e dx c e = − = − （2） 2 2 sec tan sec tan 0 x ydx y xdy + = 解 ： 原 方 程 可 化 为 tan tan tan tan 0 yd x xd y + = ，从而 d x y (tan tan ) 0 = ，积分得通解 tan tan x y c = 。 （3） ( 1) 1 2 dy y x e dx − + + = 解：将原方程可化为 ( 1) ( 2) 0 y y x e dy e dx + + − = ，进而化为 ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) 0 y y x d e e d x + − + − + = ，即 [( 1)( 2)] 0 y d x e + − = ，积分 得通解 ( 1)( 2) y x e c + − = . （4） 2 1 3 0 dy y x e dx y + + =
解：将原方程化为6e3dk+6 yedy=0,积分得通解 2e3r-3e=c. (5)少=e 解：将方程化为e'd-ed=0,积分得通解e'-e=c. (6)x2(1-y)d+y2(1+x)k=0 解：当y≠0时，将方程化为 (1/x2+1/x)dk+(1/y2-1/y)dy=0 积分得通解1/x+1/y+ln[y(cx】=0。还有两个特解，x=0及 y=0,它们不包括在通解中。 (7)3e*tan ydx+(1-e*)sec2 ydy =0,y(1)=/4 解：将原方程化为-3tand(e-l)+(e-l)dtany=0,方程两边 乘以(e-1)4,得d(e-1)3tany=0积分得通解 (e-l)3tany=c,即tany=c(e-l)3,初值问题的解为 y=arctan[(e*-1)/(e-1)3]. (8)(1+x)d+x(1-y)dy=0,y(2)=0 解：初值问题的解为y=0(不能从通解In(y)/c)=y-x中得 到)。 (9)W1+x)=1+y,0=0 dx 解：将方程化为d1+y)1dx2)=(1+y)[x21+x2】,分离变量 得d1+y2)/1+y2)=1/x2-1/1+x2)]d(x2),积分得通解为 (1+x2)1+y2)=cx2,初值问题的解为(1+x2)1+y2)=2x2解出y 2
2 解 ： 将 原 方 程 化 为 2 3 6 6 0 x y e dx ye dy − + = ， 积 分 得 通 解 2 3 2 3 x y e e c − − = . （5） dy x y e dx − = 解：将方程化为 0 y x e dy e dx − = ，积分得通解 y x e e c − = . （6） 2 2 x y dy y x dx (1 ) (1 ) 0 − + + = 解：当 xy 0 时，将方程化为 2 2 (1/ 1/ ) (1/ 1/ ) 0 x x dx y y dy + + − = 积分得通解 1/ 1/ ln[ /( )] 0 x y y cx + + = 。还有两个特解， x = 0 及 y = 0 ，它们不包括在通解中。 （7） 2 3 tan (1 )sec 0 x x e ydx e ydy + − = ， y(1) / 4 = 解：将原方程化为 3tan ( 1) ( 1) tan 0 x x − − + − = yd e e d y ，方程两边 乘以 4 ( 1) x e − − ，得 3 [( 1) tan ] 0 x d e y − − = 积分得通解 3 ( 1) tan x e y c − − = ，即 3 tan ( 1) x y c e = − ，初值问题的解为 3 3 arctan[( 1) /( 1) ] x y e e = − − 。 （8） (1 ) (1 ) 0 + + − = x ydx x y dy ， y(2) 0 = 解：初值问题的解为 y = 0 （不能从通解 ln(( ) / ) xy c y x = − 中得 到）。 （9） 2 2 (1 ) 1 dy xy x y dx + = + ， y(1) 0 = 解：将方程化为 2 2 2 2 2 d y d x y x x (1 ) / ( ) (1 ) /[ (1 )] + = + + ，分离变量 得 2 2 2 2 2 d y y x x d x (1 ) /(1 ) [1/ 1/(1 )] ( ) + + = − + ， 积 分 得 通 解 为 2 2 2 (1 )(1 ) + + = x y cx ，初值问题的解为 2 2 2 (1 )(1 ) 2 + + = x y x 解出 y
得y=[(x2-1)(x2+12。 2.将下列方程化为变量分离方程后求解： (1)(x+y)d-(x-y)dy=0 解：将方程两边乘以2，再重新组合化为 2(xdx+ydy)-2(xdy-ydx)=0, 可见，可凑成微分 d(x2+y)-2(x2+y)d arctan(y/x)=0, 两边同除以x2+y2得： d(x2+y2)/(x2+y2)-2darctan(y/x)=0, 积分得通解： In(x2+y2)-2arctan(y/x)=c, (注：本题是齐次方程，也是按齐次方程的通常解法求解，但较繁)。 (2)y2dk+(x2-y)y=0 解：将方程重新组合化为 -y(xdy-ydx)+x2dy =0, 凑微分得 -x'yd(y/x)+xdy=0, 当y≠0时，两边同除以x2y得： -dy/x)+y/y=0, 积分得通解： -y/x+ln(y/c)=0, 或化为y=cexp(y/x):还有特解x=0不包括在通解中。特解 3
3 得 2 2 1/ 2 y x x = − + [( 1) /( 1)] 。 2. 将下列方程化为变量分离方程后求解： （1） ( ) ( ) 0 x y dx x y dy + − − = 解：将方程两边乘以 2 ，再重新组合化为 2( ) 2( ) 0 xdx ydy xdy ydx + − − = ， 可见，可凑成微分 2 2 2 3 d x y x y d y x ( ) 2( ) arctan( / ) 0 + − + = ， 两边同除以 2 2 x y + 得： 2 2 2 2 d x y x y d y x ( ) /( ) 2 arctan( / ) 0 + + − = ， 积分得通解： 2 2 ln( ) 2arctan( / ) x y y x c + − = ， (注：本题是齐次方程，也是按齐次方程的通常解法求解，但较繁)。 （2） 2 2 y dx x xy dy + − = ( ) 0 解： 将方程重新组合化为 2 − − + = y xdy ydx x dy ( ) 0， 凑微分得 2 2 − + = x yd y x x dy ( / ) 0， 当 xy 0 时，两边同除以 2 x y 得： − + = d y x dy y ( / ) / 0， 积分得通解： − + = y x y c / ln( / ) 0， 或化为 y c y x = exp( / ) ；还有特解 x = 0 不包括在通解中。特解
y=0可以包含在通解的后一种形式中。（注：本题是齐次方程，也 是按齐次方程的通常解法求解)。 (3)=2y-y dxx2x+y 解：方程是齐次方程，引进新的未知函数u,满足关系式y=xu, 对x求导得关系式/dk=u+xu/d,将这两式代入方程得： u+xdu/dk=(2u2-0)/1-u+u2), 分离变量得： [2/u-1)-1/u-3/(u-2)]du=2d/x, 积分得： ln[(2-1)2/(cu(u-2)3]=lnx2或(u-1)2=cx2(u-2)3, 以u=y/x代入得到通解(y-x)2=y(y-2x)3,还有两个通解 y=0及y=2x,它们不包括在通解中，分别对应于u=0和u=2 (注：与u=1对应的解y=x可以包括在通解中(c=0时)。 (4)xdy/dx =xexp(y/x)+y+x 解：方程时齐次方程，用变量代换y=,得变量分离方程： xdu/dx exp(u)+1, 进而写成： dx/x+dexp(-u)/(exp(-u)+1)=0 积分得： In(x(exp(-u)+1)/c)=0, 代回原变量得通解： x(l+exp(-y/x)=c。 (5)x(Inx-Iny)dy-ydx=0 解：方程是齐次方程，用变量代换y=xu,得变量分离方程： xdu/d=-u(1+lnu)/lnu,u≠l/e时，化为 4
4 y = 0 可以包含在通解的后一种形式中。（注：本题是齐次方程，也 是按齐次方程的通常解法求解）。 （3） 2 2 2 dy y xy 2 dx x xy y − = − + 解：方程是齐次方程，引进新的未知函数 u ，满足关系式 y xu = ， 对 x 求导得关系式 dy dx u xdu dx / / = + ，将这两式代入方程得： 2 2 u xdu dx u u u u + = − − + / (2 ) /(1 )， 分离变量得： [2/( 1) 1/ 3/( 2)] 2 / u u u du dx x − − − − = ， 积分得： 2 2 3 2 ln[( 1) /( ( 2) )] ln u cu u x − − = 或 2 2 3 ( 1) ( 2) u cx u u − = − ， 以 u y x = / 代入得到通解 2 3 ( ) ( 2 ) y x cy y x − = − ，还有两个通解 y = 0 及 y x = 2 ，它们不包括在通解中，分别对应于 u = 0 和 u = 2 （注：与 u =1 对应的解 y x = 可以包括在通解中（ c = 0 时））。 （4） xdy dx x y x y x / exp( / ) = + + 解：方程时齐次方程，用变量代换 y xu = ，得变量分离方程： xdu dx u / exp( ) 1 = + ， 进而写成 ： dx x d u u / exp( ) /(exp( ) 1) 0 + − − + = 积分得： ln( (exp( ) 1) / ) 0 x u c − + = ， 代回原变量得通解： x y x c (1 exp( / )) + − = 。 （5） x x y dy ydx (ln ln ) 0 − − = 解：方程是齐次方程，用变量代换 y xu = ，得变量分离方程： xdu dx u u u / (1 ln ) / ln = − + ，u e 1/ 时，化为
dx/x+Inud Inu/(1+Inu)=0, 积分得； In[cxu/(1+Inu)]=0, 代回原变量得通解cy=1+lny-lnx,特解y=x/e包含在通解 中。 (6)d/d=(2x-y+1)/(x-2y+1) 解：将方程化为微分形式并分组得： [(2x+1)dk+(2y-1)y]-(xy+yd)=0, 进而得：d(x2+x+y2-y)-d(xy)=0,积分得通解： x2+y2+x-y-xy=c (注：本题也可以化为少=2x+1/3)-0y-1/3) 后按齐次方程的 d(x+1/3)-2(y-1/3) 解法来求解，但较繁)。 (7)d1dk=(2x+3y+4)/(4x+6y+5) 解：令=2x+3y,故 d/dk=2+3d/d=2+3(u+4)/2u+5), 即du/dk=(7u+22)/(2u+5).7u+22=0时，得特解 14x+21y+22=0, 7u+22≠0时，分离变量得[2-9/(7u+22)]d=7d, 积分得2u-9/7n(7u+22)/c=7x,代回原变量整理得通解 7(2y-x)-3lnl(14x+21y+22)/c=0。 另一形式为 14x+21y+22=cexp(7(2y-x)/3),特解14x+21y+22=0包含 在通解的后一种形式中。 5
5 dx x ud u u / ln ln /(1 ln ) 0 + + = ， 积分得; ln[ /(1 ln )] 0 cxu u + = , 代回原变量得通解 cy y x = + − 1 ln ln ，特解 y x e = / 包含在通解 中。 （6） dy dx x y x y / (2 1) /( 2 1) = − + − + 解：将方程化为微分形式并分组得： [(2 1) (2 1) ] ( ) 0 x dx y dy xdy ydx + + − − + = ， 进而得: 2 2 d x x y y d xy ( ) ( ) 0 + + − − = ，积分得通解： 2 2 x y x y xy c + + − − = （注：本题也可以化为 2( 1/ 3) ( 1/ 3) ( 1/ 3) 2( 1/ 3) dy x y dx x y + − − = + − − 后按齐次方程的 解法来求解，但较繁）。 （7） dy dx x y x y / (2 3 4) /(4 6 5) = + + + + 解：令 u x y = + 2 3 ，故 dy dx dy dx u u / 2 3 / 2 3( 4) /(2 5) = + = + + + ， 即 du dx u u / (7 22) /(2 5) = + + . 7 22 0 u + = 时 ， 得 特 解 14 21 22 0 x y + + = ， 7 22 0 u + 时，分离变量得 [2 9/(7 22)] 7 − + = u du dx ， 积分得 2 9/ 7ln[(7 22) / ] 7 u u c x − + = ，代回原变量整理得通解 7(2 ) 3ln[(14 21 22) / ] 0 y x x y c − − + + = 。 另一形式为 14 21 22 exp(7(2 ) / 3) x y c y x + + = − ，特解 14 21 22 0 x y + + = 包含 在通解的后一种形式中
(8)d/d=(x+1)2+(4y+1)2+8y+1 解：可见d/dk=(x+4y+1)2+2,故令u=x+4y+1,从而 du/dk=1+y/d=1+4(2+2)=42+9,即du/dk=4u2+9,分 离变量得3d(2u)/(4r2+9)=6dk,，积分得：arctan(2u/3)=6x+c, 代回原变量整理得通解arctan(2x+8y+2)/3)=6x+c。 (9)d/d=(2x3+3y2+x)/3x2y+2y3-y) 解：将原方程化为 dy2)/d(x2)=[2(x2-1)+3y2+1]/[3x2-1)+2y2+1]。 从而可令u=x2-1,v=y2+1,原方程化为齐次方程 /du=(2u+3v)3u+2v),令v=nv,对u求导得， d/du=w+udhw/du=(3w+2)(2w+3)。即得变量分离方程 uhw/du=2(1-w2)(2w+3)。分离变量得 [1/w+1)-5/(w-1)hw=4du/u, 积分得： In w+1-5In|w-1=4Inlul+c, 代回原变量整理得通解 (y2-x2+2)5=c(x2+y2)。(注：对应于w=1的特解包含在通解 中) 3.用常数变易公式求解下列（可化为）线性方程或Bernoulli方程 的通解或初值问题： (1)dy/dx=y+sinx 解：取线性齐次方程y/dx-y=0的一个特解h(x)=exp(x),应 6
6 （8） 2 2 dy dx x y xy / ( 1) (4 1) 8 1 = + + + + + 解：可见 2 dy dx x y / ( 4 1) 2 = + + + ，故令 u x y = + + 4 1 ，从而 2 2 du dx dy dx u u / 1 / 1 4( 2) 4 9 = + = + + = + ，即 2 du dx u / 4 9 = + ，分 离变量得 2 3 (2 ) /(4 9) 6 d u u dx + = ，积分得： arctan(2 / 3) 6 u x c = + ， 代回原变量整理得通解 arctan((2 8 2) / 3) 6 x y x c + + = + 。 （9） 3 2 2 3 dy dx x xy x x y y y / (2 3 ) /(3 2 ) = + + + − 解：将原方程化为 2 2 2 2 2 2 d y d x x y x y ( ) / ( ) [2( 1) 3( 1)]/[3( 1) 2( 1)] = − + + − + + 。 从而可令 2 u x = −1 ， 2 v y = +1 ，原方程化为齐次方程 dv du u v u v / (2 3 )(3 2 ) = + + ， 令 v uw = ， 对 u 求 导 得 ， dv du w udw du w w / / (3 2)(2 3) = + = + + 。即得变量分离方程 2 udw du w w / 2(1 )(2 3) = − + 。分离变量得 [1/( 1) 5/( 1)] 4 / w w dw du u + − − = ， 积分得： ln | 1| 5ln | 1| 4ln | | w w u c + − − = + ， 代回原变量整理得通解 2 2 5 2 2 ( 2) ( ) y x c x y − + = + 。（注：对应于 w =1 的特解包含在通解 中） 3. 用常数变易公式求解下列 （可化为）线性方程或 Bernoulli 方程 的通解或初值问题： （1） dy dx y x / sin = + 解：取线性齐次方程 dy dx y / 0 − = 的一个特解 h x x ( ) exp( ) = ，应
用常数变易公式得： y=exp(x)[c+[sinxexp(-x)dx]=cexp(x)-(sinx+cosx)/2 (2)dy/dx-ny/x=x"exp(x) 解：y=x"(c+exp(x。 (3)d/d+(1-2x)y/x2-1=0 解：取对应的齐次方程的一个特解h(x)=x2xp(I/x),应用常 数变易公式得 y=x2 exp(1/x)[c+exp(-1/x)d(-1/x)]=x'[cexp(1/x)+1]. (4)/k-y=2xexp(2x),y(0)=1 解：通解为y=exp(x)+2(x-l)exp(2x),初值问题的解为 y=3exp(x)+2(x-1)exp(2x). (5)y/dk+2y/(x+1)=(x+1)3 解：是Bernoulli方程，当y≠0时，先将它化为线性方程 dy2)/d=2xy2-2x3 应用常数变易公式得通解：y2=cexp(x2)+x2+1, 还有特解y=0(不包含在通解中)。 (6)dy/d=1/(xy+x3y) 解：将自变量与因变量交换得Bemoulli方程少=y+xy, dx 将它化为线性方程： d(x2)/d=-2x2-2y3, 从而应用常数变易公式得通解：x2=cexp(-y2)+1-y2。 (7)d/d=(x4+y3)1xy2)
7 用常数变易公式得： y x c x x dx c x x x = + − = − + exp( )[ sin exp( ) ] exp( ) (sin cos )/ 2 。 （2） / / exp( ) n dy dx ny x x x − = 解： ( exp( )) n y x c x = + 。 （3） 2 dy dx x y x / (1 2 ) / 1 0 + − − = 解：取对应的齐次方程的一个特解 2 h x x x ( ) exp(1/ ) = ，应用常 数变易公式得 2 2 y x x c x d x x c x = + − − = + exp(1/ )[ exp( 1/ ) ( 1/ )] [ exp(1/ ) 1] 。 （4） dy dx y x x / 2 exp(2 ) − = ， y(0) 1 = 解：通解为 y x x x = + − exp( ) 2( 1)exp(2 ) ，初值问题的解为 y x x x = + − 3exp( ) 2( 1)exp(2 )。 （5） 3 dy dx y x x / 2 /( 1) ( 1) + + = + 解：是 Bernoulli 方程，当 y 0 时，先将它化为线性方程 2 2 3 d y dx xy x ( ) / 2 2 − − = − 应用常数变易公式得通解： 2 2 2 y c x x exp( ) 1 − = + + ， 还有特解 y = 0 （不包含在通解中）。 (6) 3 3 dy dx xy x y / 1/( ) = + 解：将自变量与因变量交换得 Bernoulli 方程 dy 3 3 xy x y dx = + ， 将它化为线性方程 ： 2 2 3 d x dy yx y ( ) / 2 2 − − = − − ， 从而应用常数变易公式得通解： 2 2 2 x c y y exp( ) 1 − = − + − 。 (7) 4 3 2 dy dx x y xy / ( ) /( ) = +
解：是Bemouli方程，可化为线性方程d_3少=3x,积 dx x 分得通解：y3=cx3+3x4。 (8)dy/dx =1/(xcosy+sin2y) 解：将自变量与因变量交换得线性方程 =xcosy+sin(2y), dx 取对应的齐次方程的一个特解为x=h(y)=exp(sin(y),从而应用 常数变易公式得： x=2exp(siny)[c+sin yexp(-sin y)dsiny], 积分得通解：x=exp(siny)-2(l+siny). 4.利用全微分方程（题1-6,12）和积分因子方法，（题7-11）求解 下列方程。 (1)(x2+y)d+(x-2y)dy=0 解：将方程分组为(xd-2dy)+(Odk+xy)=0,凑微分得 (xdk-2dy)+d(xy)=0,积分得通解为x3/3-y2+y=c。 (2)exp(-y)dx+(1-xexp(-y))dy=0 解：将方程分组为(exp(-y)dk-xexp(-y)dy)+dy=0,凑微分 得d(xexp(-y)+d=0,积分得通解：xexp(-y)+y=c。 (3)(y-3x2)dk-(4y-x)d=0 解：将方程分组为(yd+xdy)-(3xd+4)=0,凑微分得 d(xy)-d(x3+2y2)=0,积分得通解：xy-x3-2y2=c。 (4)(9x2+y-1)dk-(4y-x)=0
8 解：是 Bernoulli 方程，可化为线性方程 3 3 3 ( ) 3 3 d y y x dx x − = ，积 分得通解： 3 3 4 y cx x = + 3 。 (8) dy dx x y y / 1/( cos sin 2 ) = + 解：将自变量与因变量交换得线性方程 cos sin(2 ) dy x y y dx = + ， 取对应的齐次方程的一个特解为 x h y y = = ( ) exp(sin( )) ，从而应用 常数变易公式得： x y c y y d y = + − 2exp(sin )[ sin exp( sin ) sin ] ， 积分得通解： x y y = − + exp(sin ) 2(1 sin )。 4.利用全微分方程（题 1-6，12）和积分因子方法，（题 7-11）求解 下列方程。 (1) 2 ( ) ( 2 ) 0 x y dx x y dy + + − = 解：将方程分组为 2 ( 2 ) ( ) 0 x dx ydy ydx xdy − + + = ，凑微分得 2 ( 2 ) ( ) 0 x dx ydy d xy − + = ，积分得通解为 3 2 x y xy c / 3− + = 。 (2) exp( ) (1 exp( )) 0 − + − − = y dx x y dy 解：将方程分组为 ( ( ) exp( ) ) 0 exp y dx x y dy dy − − − + = ，凑微分 得 d x y dy ( exp( )) 0 − + = ，积分得通解： x y y c exp( ) − + = 。 （3） 2 ( 3 ) (4 ) 0 y x dx y x dy − − − = 解：将方程分组为 2 ( ) (3 4 ) 0 ydx xdy x dx ydy + − + = ，凑微分得 3 2 d xy d x y ( ) ( 2 ) 0 − + = ，积分得通解： 3 2 xy x y c − − = 2 。 （4） 2 (9 1) (4 ) 0 x y dx y x dy + − − − =
解：将方程分组为[(9x2-1)d-4ydy+(yd+xdy)=0,凑微 分得d3x2-x-2y)+d(y)=0，积分得通解： 3x3-x-2y2+y=c。 (5)[y sin(x/y)-yx 2cos(y/x)+1]dx +[x cos(y/x)-xysin(x/y)+y]dy=0 解法一：记M(x,y)=ysin(x/y)-x2cos(y/x)+1, N(x,y)=xcos(y/x)-xysin(x/y)+y, 可得aM(x,y)/=N(x,y)/ar,因此方程是恰当的。设其积 分为U(x,y)=c,则aU(x,y)/y=N(x,y),关于y的积分，得 U(x.y)=[[xcos(y/x)-xsin(x/y)+yy sin(y/x)-cos(x/y)-1/y+c(x) 其中c(x)是待定的x的函数。为求c(x),利用恒等式 aU(x,y)/x=M(x,y),可得c(x)=l,故可取c(x)=x。所以积 分为 U(x,y)=c,其中U(x,y)=sin(y/x)-cos(x/y)-1/y+x。 解法二：将微分方程组合为sin(x/y)/yd-xsin(x/y)/yy +[-ycos(y/x)/x2+cos(y/x)/xy+[d+1/y2d)=0,凑微分，积 分得： -cos(x/y)+sin(y/x)+x-1/y=c. (6)2x(yexp(x2)-1)dx+exp(x)dy=0 解：将原方程化为[bd(exp(x2)+exp(x2)dy]-2xdk=0,凑微分 孕 9
9 解：将方程分组为 2 [(9 1) 4 ] ( ) 0 x dx ydy ydx xdy − − + + = ，凑微 分 得 3 2 d x x y d xy (3 2 ) ( ) 0 − − + = ， 积 分 得 通 解 ： 3 2 3 2 x x y xy c − − + = 。 （5） 1 2 [ sin( / ) cos( / ) 1] y x y yx y x dx − − − + 1 2 2 [ cos( / ) sin( / ) ] 0 x y x xy x y y dy − − − + − + = 解法一：记 1 2 M x y y x y yx y x ( , ) sin( / ) cos( / ) 1 − − = − + ， 1 2 2 N x y x y x xy x y y ( , ) cos( / ) sin( / ) − − − = − + ， 可得 = M x y y N x y x ( , ) / ( , ) / ，因此方程是恰当的。 设其积 分为 U x y c ( , ) = ，则 = U x y y N x y ( , ) / ( , ) ，关于 y 的积分，得 1 2 2 U x y x y x xy x y y y ( , ) [ cos( / ) sin( / ) ] − − − = − + = sin( / ) cos( / ) 1/ ( ) y x x y y c x − − + 其中 c x( ) 是待定的 x 的函数。为求 c x( ) ，利用恒等式 = U x y x M x y ( , ) / ( , ) ，可得 ' c x( ) 1 = ，故可取 c x x ( ) = 。所以积 分为 U x y c ( , ) = ，其中 U x y y x x y y x ( , ) sin( / ) cos( / ) 1/ = − − + 。 解法二：将微分方程组合为 2 sin( / ) / sin( / ) / x y ydx x x y y dy − 2 2 + − + + + = [ cos( / ) / cos( / ) / ] [ 1/ ] 0 y y x x y x xdy dx y dy ，凑微分，积 分得： − + + − = cos( / ) sin( / ) 1/ x y y x x y c。 （6） 2 2 2 ( exp( ) 1) exp( ) 0 x y x dx x dy − + = 解：将原方程化为 2 2 [ (exp( )) exp( ) ] 2 0 yd x x dy xdx + − = ，凑微分 得
d(yexp(x2)-d(x2)=0,积分得通解yexp(x2)-x2=c,或解 出显函数形式：y=(c+x2)exp(-x2)。 (7)(exp(x)+3y2)d+2x3d=0 解：将方程分组为3y2dk+2xyy+exp(x)dk=0,凑微分得 x2d(x3y2)+exp(x)d=0,可见积分因子可取为x2,从而化为 全微分方程d(x3y2)+x2exp(x)dk=0,积分得通解 x3y2+exp(x)(x2-2x+2)=c。 8)(x2+y2+x)dk+xd=0 解：将方程分组为(x2+x)+0本+d)=0,凑微分得 (x2+x)d+(2x)-”d(x2y2)=0,可见积分因子可取为12x,从 而化为全微分方程12x(x2+x)d+6d(x2y2)=0,积分得通解 3x4+4x3+6x2y2=c。 9)(x+2y)dk+xd=0 解：将方程分组成xd+(2yd+xdy)=0,凑微分得 xk+xd(x2y)=0,可见积分因子可取为3x,从而化为全微分方 程为3x2d+3d(x2y)=0,积分得通解x3+3x2y=c。 10)(2xy2+y)d-xd=0 解：将方程分组为2y2d+(k-xdy)=0,凑微分得 2y+y2d(x/y)=0,可见积分因子可取为y2,从而化为全微分 方程2xd+d(x/y)=0,积分得通解x2+x/y=c,还有特解y=0 不包含在通解中，它是原方程两边除以零而丢失的解。 11)[y-x(x2+y2)】k-xd=0 0
10 2 2 d y x d x ( exp( )) ( ) 0 − = ，积分得通解 2 2 y x x c exp( ) − = ，或解 出显函数形式： 2 2 y c x x = + − ( )exp( )。 （7） 2 (exp( ) 3 ) 2 0 x y dx xydy + + = 解：将方程分组为 2 3 2 exp( ) 0 y dx xydy x dx + + = ，凑微分得 2 3 2 x d x y x dx ( ) exp( ) 0 − + = ，可见积分因子可取为 2 x ，从而化为 全微分方程 3 2 2 d x y x x dx ( ) exp( ) 0 + = ，积分得通解 3 2 2 x y x x x c + − + = exp( )( 2 2) 。 8） 2 2 ( ) 0 x y x dx xydy + + + = 解：将方程分组为 2 2 ( ) ( ) 0 x x dx y dx xydy + + + = ，凑微分得 2 ( 1) 2 2 ( ) (2 ) ( ) 0 x x dx x d x y − + + = ，可见积分因子可取为 12x ，从 而化为全微分方程 2 2 2 12 ( ) 6 ( ) 0 x x x dx d x y + + = ，积分得通解 4 3 2 2 3 4 6 x x x y c + + = 。 9） ( 2 ) 0 x y dx xdy + + = 解 ： 将 方 程 分 组 成 xdx ydx xdy + + = (2 ) 0 ， 凑 微 分 得 1 2 xdx x d x y ( ) 0 − + = ，可见积分因子可取为 3x ，从而化为全微分方 程为 2 2 3 3 ( ) 0 x dx d x y + = ，积分得通解 3 2 x x y c + = 3 。 10） 2 (2 ) 0 xy y dx xdy + − = 解：将方程分组为 2 2 ( ) 0 xy dx ydx xdy + − = ，凑微分得 2 2 2 ( / ) 0 xy dx y d x y + = ，可见积分因子可取为 2 y − ，从而化为全微分 方程 2 ( / ) 0 xdx d x y + = ，积分得通解 2 x x y c + = / ，还有特解 y = 0 不包含在通解中，它是原方程两边除以零而丢失的解。 11） 2 2 [ ( )] 0 y x x y dx xdy − + − =