第四章高阶微分方程 在第二章中我们已学习了一阶微分方程的求解方法，从本章开始我们将讨论二阶及二阶以上的微分方 程，即高阶微分方程。在微分方程的理论中，线性微分方程是非常重要的一类。线性微分方程的理论己被 研究的很清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章主要学习线性微分方程的理论和常 系数方程的解法以及高阶微分方程的降阶问题 §4.1线性徽分方程的一般理论 教学目的：了解线性徽分方程的基本理论，掌握齐线性与非齐线性微分方程方程的解的性质与结构， 掌握利用常数变易法求解非齐线性微分方程解的方法。 4.1,1线性微分方程的一般理论 (1)线性微分方程的定义：未知函数与未知函数的导数是一次的微分方程称之为线性微分方程。 (2)形式：n阶线性微分方程的一般形式： +ag h+a,@x=f04.) 其中a,(d)i=l,2,.,m)及f()都是区间a≤x≤b上的连续函数. 如果f()=0,则方程(4.)变为 +a0+a-a0=0a2 我们称它为n阶齐线性微分方程，简称齐线性方程，称(4.1)为n阶非齐线性微分方程，并且称(4.2)是对 应于方程(4.)的齐线性方程。 (3)解的存在唯一性定理 定理1如果a(di=l,2,.,n)及f()都是区间a≤x≤b上的连续函数，则对于任一，∈[a,b]及任意 的x,x9,方程(4.1)存在唯一解x=p()定义于区间a≤x≤b上，且满足初始条件 p)=xoh）=04e=43 注：从此定理可以看出：初始条件(4.3)唯一确定了方程(4.)的解，并且其解在a,(t)(i=1,2,.,m)及 第1页共29页
第 1 页 共 29 页 第四章 高阶微分方程 在第二章中我们已学习了一阶微分方程的求解方法，从本章开始我们将讨论二阶及二阶以上的微分方 程，即高阶微分方程。在微分方程的理论中，线性微分方程是非常重要的一类。线性微分方程的理论已被 研究的很清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章主要学习线性微分方程的理论和常 系数方程的解法以及高阶微分方程的降阶问题。 §4. 1 线性微分方程的一般理论 教学目的：了解线性微分方程的基本理论，掌握齐线性与非齐线性微分方程方程的解的性质与结构， 掌握利用常数变易法求解非齐线性微分方程解的方法。 4．1．1 线性微分方程的一般理论 （1）线性微分方程的定义：未知函数与未知函数的导数是一次的微分方程称之为线性微分方程。 （2）形式： n 阶线性微分方程的一般形式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4.1 n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt − + + + + = − − 其中 a t i n i ( )( =1,2, , ) 及 f t( ) 都是区间 a x b 上的连续函数。 如果 f t( ) 0 ，则方程 (4.1) 变为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 4.2 n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt − + + + + = − − 我们称它为 n 阶齐线性微分方程，简称齐线性方程，称 (4.1) 为 n 阶非齐线性微分方程，并且称 (4.2) 是对 应于方程 (4.1) 的齐线性方程。 （3）解的存在唯一性定理： 定理 1 如果 a t i n i ( )( =1,2, , ) 及 f t( ) 都是区间 a x b 上的连续函数，则对于任一 t a b 0 , 及任意 的 (1 1 ) ( ) 0 0 0 , , , n x x x − ，方程 (4.1) 存在唯一解 x t = ( ) 定义于区间 a x b 上，且满足初始条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 , , , 4.3 n n n d t d t t x x x dt dt − − − = = = 注：从此定理可以看出：初始条件 (4.3) 唯一确定了方程 (4.1) 的解，并且其解在 a t i n i ( )( =1,2, , ) 及
∫()连续的整个区间上存在。 4.1.2齐线性方程的解的性质与结构 (一）解的性质： 定理2（叠加原理）如果x(),x(),x()是方程(4.2)的k个解，则它们的线性组合 cx()+cx()+.+Cx()也是(42)的解，这里G,C2,.,C是任意常数 问题：当k=n时，方程(4.2)有解x=cx(0)+Cx(d)++cx(d)(4.4),它含有n个任意常数，试 问(4.4)是否是方程(4.2)的通解呢？如果不是，表达式(4.4)在什么条件下能构成为n阶齐线性方程的通 解 (二)函数线性相关与线性无关及伏朗斯基行列式等概念 (1)函数线性相关与线性无关：设定义在区间a≤x≤b上的函数x(),x(⑦)，.，x(),如果存在不全 为零的常数G,G,.,C4,使得恒等式c()+c,()++Cx()=0对于所有t∈[a,]都成立，我们 称这些函数为线性相关的，否则，就称这些函数在所给区间上线性无关。 即Gx(+Cx2(①+.+Cx(d=0当且仅当G=C2=.=C4=0时函数线性无关。 例如：①函数sint和cos1在任何区间上线性无关：Gsin1+C2cos1=0恒成立，当且仅当G=C2=0 ②函数sin2t和cos2t-1在任何区间上都线性相关。令G=C2=1,则sin2t+cos1-1=0对所有t∈R 都成立。 ③函数1,，线性无关，因为G+c1+.+C三0最多只有n个值使它成立，而对所有1∈R都成 立，应满足，C=C2=.=cn=0 由于用定义判别函数的线性相关与无关比较不易，所以给出下列概念。 伏朗斯基行列式的定义：由定义在区间a≤1≤b上的k个可微k-1次的函数x(①)，x2(),x()所成 行列式 x(0 W[x(,x2(),.,x(0]= x(0) (0.(0) x-(x-(.x-( 称这些函数的伏朗斯基行列式。 (三)函数线性相关与线性无关的判定条件： 第2页共29页
第 2 页 共 29 页 f t( ) 连续的整个区间上存在。 4．1．2 齐线性方程的解的性质与结构 (一) 解的性质： 定理 2（叠加原理）如果 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的 k 个解，则它们的线性组合 c x t c x t c x t 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) k k ( ) 也是 (4.2) 的解，这里 1 2 , , , k c c c 是任意常数。 问题：当 k n = 时，方程 (4.2) 有解 x c x t c x t c x t = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) (4.4) ，它含有 n 个任意常数，试 问 (4.4) 是否是方程 (4.2) 的通解呢？如果不是，表达式 (4.4) 在什么条件下能构成为 n 阶齐线性方程的通 解？ （二）函数线性相关与线性无关及伏朗斯基行列式等概念 （1）函数线性相关与线性无关：设定义在区间 a x b 上的函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) k ( ) ，如果存在不全 为零的常数 1 2 , , , k c c c ，使得恒等式 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 k k c x t c x t c x t + + + 对于所有 t a b , 都成立，我们 称这些函数为线性相关的，否则，就称这些函数在所给区间上线性无关。 即 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 k k c x t c x t c x t + + + 当且仅当 1 2 0 k c c c = = = = 时函数线性无关。 例如：① 函数 sint 和 cost 在任何区间上线性无关； 1 2 c t c t sin cos 0 + = 恒成立，当且仅当 1 2 c c = = 0 ② 函数 2 sin t 和 2 cos 1 t − 在任何区间上都线性相关。令 1 2 c c = =1 ，则 2 2 sin cos 1 0 t t + − = 对所有 t R 都成立。 ③ 函数 2 1, , , , n t t t 线性无关，因为 1 2 0 n n c c t c t + + + 最多只有 n 个值使它成立，而对所有 t R 都成 立，应满足， 1 2 0 n c c c = = = = 由于用定义判别函数的线性相关与无关比较不易，所以给出下列概念。 伏朗斯基行列式的定义：由定义在区间 a t b 上的 k 个可微 k −1 次的函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) k ( ) 所成 行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 , , , k k k k k k k x t x t x t x t x t x t W x t x t x t x t x t x t − − − 称这些函数的伏朗斯基行列式。 （三）函数线性相关与线性无关的判定条件：
定理3：函数线性相关的必要条件：若函数x(),x,(),.,x,()在区间a≤1≤b上线性相关， 则在[a,b]上它们的伏朗斯基行列式W(=0(若存在一点。∈[a,],使得W()≠0，则函数 x(t),x(t),.,xn(t)线性无关) 证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数G,G2,C。,使得 cx(d+cx3(d)+.+c,x(d)=0,a≤1≤b(4.5) 依次对1微分此恒等式，得到 cx()+cx(0)+.+cnx()=0 cxi(0)+cx(0+.+cx0）=0 (4.6). cx-(+c,x-()+.+cx-()=0 将(4.5)和(4.6)看成关于G,G,C的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是 W[x(),x(),x,()门，于是由线性代数理论可知，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须 为零，即W(t=0(a≤t≤b)。证毕。 注：逆定理不成立。W()=0(a≤1≤b)不是函数线性相关的必要条件 考案肠数x0-仁。10和飞0= 00≤1s1 。70tk00-o,Eau 证得它们是线性无关的。 假设存在恒等式c()+cx()=0-1≤1≤1(4.7)，当-1≤1<0时，得c=0,当0≤1≤1时，得 C2=0,即除G=C=0以外，不存在其它常数值G,S2,使得C()+C22()三0-1≤1≤1恒成立。 故x(),x(①)线性无关。 定理4：（方程的解线性无关的必要条件）如果方程(4.2)的解x(C),x(d),.,x()在区间a≤1≤b上 线性无关，则W[x(,x(),x()门在这个区间的任何点上都不等于零，即W()≠0(a≤1≤b) 注：比较定理3与定理4的条件，定理4是在函数x(),x(),.,x()是方程(42)的解的情况下给出 的解线性无关的必要条件。 证明：采用反证法。设存在。∈[a,b小，使得W()=0,考虑关于G,C,·,Cn的齐次线性代数方程组 第3页共29页
第 3 页 共 29 页 定理 3：函数线性相关的必要条件： 若函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b 上线性相关， 则在 a b, 上它们的伏朗斯基行列式 W t( ) 0 （若存在一点 t a b 0 , ，使得 W t( ) 0 ，则函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 线性无关） 证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数 1 2 , , , n c c c ，使得 c x t c x t c x t a t b 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) 0, 4.5 ( ) 依次对 t 微分此恒等式，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 0 0 4.6 0 n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t − − − + + + + + + + + + . 将 (4.5) 和 (4.6) 看成关于 1 2 , , , n c c c 的 齐 次 线 性 代 数 方 程 组 ， 它 的 系 数 行 列 式 就 是 W x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) ，于是由线性代数理论可知，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须 为零，即 W t a t b ( ) 0( ) 。证毕。 注：逆定理不成立。 W t a t b ( ) 0( ) 不是函数线性相关的必要条件。 考察函数 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 t t t x t x t t t t − − = = 和 ，显然 W x t x t 1 2 ( ), 0 ( ) ，但可以 证得它们是线性无关的。 假设存在恒等式 c x t c x t t 1 1 2 2 ( ) + − ( ) 0 1 1 4.7 ( ) ，当 − 1 0 t 时，得 1 c = 0 ，当 0 1 t 时，得 2 c = 0, 即除 1 2 c c = = 0 以外，不存在其它常数值 1 2 c c, ，使得 c x t c x t t 1 1 2 2 ( ) + − ( ) 0 1 1 恒成立。 故 x t x t 1 2 ( ), ( ) 线性无关。 定理 4：（方程的解线性无关的必要条件） 如果方程 (4.2) 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b 上 线性无关，则 W x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在这个区间的任何点上都不等于零，即 W t a t b ( ) 0( ) 注：比较定理 3 与定理 4 的条件，定理 4 是在函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的解的情况下给出 的解线性无关的必要条件。 证明：采用反证法。设存在 t a b 0 , ，使得 W t( 0 ) = 0 ，考虑关于 1 2 , , , n c c c 的齐次线性代数方程组
Gx(6)+G()+.+cx(6)=0 Gx(6)+Gx()+.+c(o)=0 4.44+4t44444.44.4.4.0444 Gx-(6)+c-()+.+cx-(6o）=0 由于其系数行列式为零，故(4.8)有非零解G,C2,C。 根据叠加原理x()=c()+c水3()++c,x()a≤1≤b是方程(4.2)的解，由(4.8)知x(t)满足 初始条件x(,)=x()=x()=.=x-()=0(4.9),而x(0)=0显然也满足初始条件(4.9)由解 的唯一性定理知：G()+G()++Cx()）=0a≤1≤b,因为G,G,Cn不全为零，这就与 x(t),x(t),.,x(t)线性无关的假设矛盾。 注：根据定理4可知，如果方程(4.2)的解x(),x(),.,x()在区间a≤1≤b上线性无关，则 W[x(),x3(),x,()]在这个区间上的任何点都不等于零，反之如果存在一点∈[a,b小，使得 W()=0,则方程(42)的解x(),x(),x()在区间a≤1≤b上线性相关。 (四)线性齐方程解的结构： 定理5：n阶齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。 证明：根据定理1，满足初始条件 x(6)=1,x()=0,xm(6)=0 无6)=0，)=1，x-6)=0(410) x()=0,()=0,.,x(o)=1 的解x(),x(可).，x()一定存在，且W[x(),x2().,x()门≠0，这n个解线性无关。 定理6（通解结构定理）如果x(),(),x()是方程(4.2)的n个线性无关的解，则方程的通解可表 示为x(0)=Gx()+Cx3(+.+cx(t)(4.11),其中C,C2,.,Cn是任意常数，且(4.11)包含了方程 (4.2)的所有解。 证明：(1)首先由叠加原理可知(4.1)是方程(4.2)的解， 第4页共29页
第 4 页 共 29 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 2 0 0 1 1 0 2 2 0 0 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t − − − + + + + + + + + + 由于其系数行列式为零，故 (4.8) 有非零解 1 2 , , , n c c c 。 根据叠加原理 x t c x t c x t c x t a t b ( ) = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) 是方程 (4.2) 的解，由 (4.8) 知 x t( ) 满足 初始条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 4.9 n x t x t x t x t − = = = = = ，而 x t( ) 0 显然也满足初始条件 (4.9) 由解 的唯一性定理知： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t a t b + + + ，因为 1 2 , , , n c c c 不全为零，这就与 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 线性无关的假设矛盾。 注：根据定理 4 可知，如果方程 (4.2) 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b 上线性无关，则 W x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在这个区间上的任何点都不等于零，反之如果存在一点 t a b 0 , ，使得 W t( 0 ) = 0 ，则方程 (4.2) 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 在区间 a t b 上线性相关。 （四）线性齐方程解的结构： 定理 5： n 阶齐次线性方程 (4.2) 一定存在 n 个线性无关的解。 证明：根据定理 1，满足初始条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 2 0 1 0 0 0 1, 0 , , 0 0, 1, , 0 4.10 0, 0 , , 1 n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t − − − = = = = = = = = = 的解 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 一定存在，且 W x t x t x t 1 0 2 0 0 ( ), , , 0 ( ) n ( ) ，这 n 个解线性无关。 定理 6（通解结构定理）如果 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的 n 个线性无关的解，则方程的通解可表 示为 x t c x t c x t c x t ( ) = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) (4.11) ，其中 1 2 , , , n c c c 是任意常数，且 (4.11) 包含了方程 (4.2) 的所有解。 证明：（1）首先由叠加原理可知 (4.11) 是方程 (4.2) 的解
. (2)其次，由于 =W[x(d),x2(),.,x(]≠0a≤1≤b x(-)dx(-1) dx(-1) dc. 所以G,C2,.,Cn相互独立，故(4.11)是方程(4.2)的通解。 (3)下证(4.11)包含方程(42)的所有解。 根据定理1可知方程(4.2)的解唯一地取决于它所满足的初始条件，只需证明，任给一初始条件 x)=x,x()=X,xm()=xr-(4.12) 能够确定(4.1山)中的常数C,G,.,C,的值。使(4.1山)满足(4.12) 现令(4.1)满足条件(4.12)，我们得到如下关于G,C2,.,Cn的线性代数方程组： Gx(（)+c2x2()+.+cnx()=x G(o)+c(o)+.+c(o)=6 (4.13) G-()+cx-()++cx-()=x- 它的系数行列式W(,)≠0，所以方程(4.13)有唯一解G,2,C.,则它就满足条件(4.12）。证毕。 推论：方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n,所以，n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空 间。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为方程组的一个基本解组。显然，基本解组不是唯一的。 4.1.3非齐线性方程与常数变易法 (1)非齐线性方程解的性质： 考虑非齐线性方程 +a++a密+ar=f0a) d- 我们有以下两个简单性质： 性质1如果x(d)是方程(4.)的解，而x()是方程(42)的解，则x()+x()是(4.1)的解。 第5页共29页
第 5 页 共 29 页 （2）其次，由于 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 2 n n n n n n x x x c c c x x x c c c x x x c c c − − − ＝W x t x t x t a t b 1 2 ( ), , , 0 ( ) k ( ) 所以 1 2 , , , n c c c 相互独立，故 (4.11) 是方程 (4.2) 的通解。 （3）下证 (4.11) 包含方程 (4.2) 的所有解。 根据定理 1 可知方程 (4.2) 的解唯一地取决于它所满足的初始条件，只需证明，任给一初始条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 0 0 , , , 4.12 n n x t x x t x x t x − − = = = 能够确定 (4.11) 中的常数 1 2 , , , n c c c 的值。使 (4.11) 满足 (4.12) 现令 (4.11) 满足条件 (4.12) ，我们得到如下关于 1 2 , , , n c c c 的线性代数方程组： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 4.13 n n n n n n n n n n c x t c x t c x t x c x t c x t c x t x c x t c x t c x t x − − − − + + + = + + + = + + + = 它的系数行列式 W t( 0 ) 0 ，所以方程 (4.13) 有唯一解 1 2 , , , n c c c ，则它就满足条件 (4.12) 。证毕。 推论：方程 (4.2) 的线性无关解的最大个数等于 n ，所以， n 阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空 间。方程 (4.2) 的一组 n 个线性无关解称为方程组的一个基本解组。显然，基本解组不是唯一的。 4．1．3 非齐线性方程与常数变易法 （1）非齐线性方程解的性质： 考虑非齐线性方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4.1 n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt − + + + + = − − 我们有以下两个简单性质： 性质 1 如果 x t( ) 是方程 (4.1) 的解，而 x t( ) 是方程 (4.2) 的解，则 x t x t ( ) + ( ) 是 (4.1) 的解
性质2方程(4.1)的任意两个解之差必为(4.2)的解。 (2)非齐线性方程解的结构 定理7设x(),x(),.,x()是方程(4.2)的基本解组，而x()是方程(4.)的某一解，则方程(4.) 的通解可表为x(=Gx()）+G()+.+cx()+x()）(（4.13),其中G,9,.,Cn为任意常数，而且 这个通解(4.13)包含了方程(4.1)的所有解 证明：根据性质1知(4.13)是方程(4.)的解，类似可以证明这些常数相互独立。所以它是方程(4.)的 通解。设x(0是方程(4.1)的任一解，则x(0-x(是方程(4.2)的解，而x(),(),x()是方 程(4.2)的基本解组，存在G,c2,.,c,使得x()-x()=Cx(+cx()+.+cx()故 x()=cx()+C23()+.+cnx()）+x()。证毕。 注：(1)n阶非齐线性方程至多存在n+1个线性无关的解： 若x(0=G()+G()++C,x,()+Cx(),且G+G2+.+C=1,则x()必是方程(4.)的 解。 证明：①设x(),x(①)，x(回)是方程(4.2)的一组基本解组，x(0)是方程(4.)的一个特解，于是， x()+x(0),x()+x(),.,x()+x(),x(构成方程(4.)的n+1线性无关的解。若不然 x()+x(),x3()+x(),x()+x(),x()线性相关，则存在不全为零的常数C,C2,.,c1,使得 G[x()+x()]+G[x()+x()+.+c[x()+x)】+cx(0=0,即 cx()+c2x2(t)+.+cnxn()+(G+G2+.+cnx(=0 则有G+C2+.+C1≠0，否则，就有G=G=.=C1=0(矛盾)，故 x()= +9++0+ 所以，x(0)是方程(4.2)的解（矛盾）所以，x()+x(),x()+x(),.,x()+x(),x()是方程(4.) 的n+1个线性无关的解。 ②x(),(),x()x1()是方程(4.1)的n+1个线性无关的解。若 x(d)=cx()+C2x2()+.+cnxn(0+c4x(),且G+C2+.+C1=1,则：C1=1-G-G2-Cn, 代入上式，可知： 第6页共29页
第 6 页 共 29 页 性质 2 方程 (4.1) 的任意两个解之差必为 (4.2) 的解。 （2）非齐线性方程解的结构： 定理 7 设 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的基本解组，而 x t( ) 是方程 (4.1) 的某一解，则方程 (4.1) 的通解可表为 x t c x t c x t c x t x t ( ) = + + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) ( ) (4.13) ，其中 1 2 , , , n c c c 为任意常数，而且 这个通解 (4.13) 包含了方程 (4.1) 的所有解。 证明：根据性质 1 知 (4.13) 是方程 (4.1) 的解，类似可以证明这些常数相互独立。所以它是方程 (4.1) 的 通解。设 x t( ) 是方程 (4.1) 的任一解，则 x t x t ( ) − ( ) 是方程 (4.2) 的解，而 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方 程 (4.2) 的基本解组，存在 c c c 1 2 , , , n ，使得 x t x t c x t c x t c x t ( ) − = + + + ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) 故 x t c x t c x t c x t x t ( ) = + + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) ( ) 。证毕。 注：（1） n 阶非齐线性方程至多存在 n+1 个线性无关的解； 若 x t c x t c x t c x t c x t ( ) = + + + + 1 1 2 2 1 ( ) ( ) n n n ( ) + ( ) ，且 1 2 1 1 n c c c + + + = + ，则 x t( ) 必是方程 (4.1) 的 解。 证明：① 设 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的一组基本解组， x t( ) 是方程 (4.1) 的一个特解，于是， x t x t x t x t x t x t x t 1 2 ( ) + + + ( ), , , , ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) 构成方程 (4.1) 的 n+1 线性无关的解。若不然， x t x t x t x t x t x t x t 1 2 ( ) + + + ( ), , , , ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) 线性相关，则存在不全为零的常数 1 2 1 , , , n c c c + ， 使得 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n n c x t x t c x t x t c x t x t c x t + + + + + + + + = ， 即 c x t c x t c x t c c c x t 1 1 2 2 1 2 1 ( ) + + + + + + + = ( ) n n n ( ) ( ) 0 + ( ) 则有 1 2 1 0 n c c c + + + + ，否则，就有 1 2 1 0 n c c c = = = = + （矛盾），故 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1 n n n n c c x t x t x t c c c c c c + + = + + + + + + + + ， 所以， x t( ) 是方程 (4.2) 的解（矛盾），所以， x t x t x t x t x t x t x t 1 2 ( ) + + + ( ), , , , ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) 是方程 (4.1) 的 n+1 个线性无关的解。 ② x t x t x t x t 1 2 1 ( ), , , , ( ) n n ( ) + ( ) 是方程 (4.1) 的 n+1 个线性无关的解。若 x t c x t c x t c x t c x t ( ) = + + + + 1 1 2 2 1 ( ) ( ) n n n ( ) + ( ) ，且 1 2 1 1 n c c c + + + = + ，则： 1 1 2 1 n n c c c c + = − − − − ， 代入上式，可知：
x=cx()+cx()+.+cx()+(1-G-G2-c)x()） =x1()+G[x()-x1()]+.+c[x()-x()] 易知，x()-x(,.,x()-x()是方程(4.2)的n个线性无关的解，所以x(是方程(4.)的解。 (2)设x(1=1,2,.,川)是齐线性方程(4.2)的任意n个解，它们构成的伏朗斯基行列式记为W(), 证明：W)满足一阶线性方程W'O+a()W()=0,因而有：W()=F么，)ep-a(s)西称 之为刘维尔公式。 证明： x(0x2(0.x(0 x() () . x() =-a() x(0) x(.xn'( =-a()W() x0()x).x同() x-()x2-().x-( 所以，W()+a0W(0=0从面，W)=W。)exp-a(s本。 (3)非齐线性方程的常数变易法： 事实上，要求解非齐次线性方程，只需知道齐次线性方程的基本解组便可以用常数变易法求非齐次线 性方程的解。与一阶非齐次线性方程的求法类似， 设x(),x(),.,x(C)是方程(4.2)的基本解组，则x(0)=Gx()+cx()+.+c,x()构成了方 程(4.2)的通解。如果把这里的任意常数C,C2,.,cn看成是待定函数C,(0)=12,.,川)得到 x()=G()x()+c2()x(+.+c()）x(）(4.14) 令(4.14)是非齐次线性方程(4.)的解，代入方程(4.1)得到一个关于待定函数c,()(i=12,.,m)的方 程，只要再找n-1个关于待定函数c,(①)i=l,2,.,)的限定方程，就可以解出c()i=1,2,n),便 得到了方程(4.1)的解。由于给出这-1限定条件的方法很多。所以我们只需选择一个比较容易计算的限 定条件为宜。一般情况下我们按如下方法给出。对(4.14)关于1微分得： x=c()x'()+C()x'()+.+c.()x'()+x()9()+x()c'回)++x()n( 令： x()G'()+x()c'(t)+.+x(d)n'()=0(4.15) 得到 第7页共29页
第 7 页 共 29 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x t c x t c x t c x t c c c x t x t c x t x t c x t x t + + + = + + + + − − − − = + − + + − 易知，x t x t x t x t 1 1 1 ( ) − − n n n + + ( ), , ( ) ( ) 是方程 (4.2) 的 n 个线性无关的解，所以 x t( ) 是方程 (4.1) 的解。 （2）设 x t i n i ( )( =1,2, , ) 是齐线性方程 (4.2) 的任意 n 个解，它们构成的伏朗斯基行列式记为 W t( ) ， 证明： W t( ) 满足一阶线性方程 W t a t W t ( ) + = 1 ( ) ( ) 0 ，因而有： ( ) ( ) ( ( )) 0 0 1 exp t t W t W t a s ds = − 称 之为刘维尔公式。 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t a t a t W t x t x t x t x t x t x t − − − = = − = − 所以， W t a t W t ( ) + = 1 ( ) ( ) 0 从而， ( ) ( ) ( ( )) 0 0 1 exp t t W t W t a s ds = − 。 （3）非齐线性方程的常数变易法： 事实上，要求解非齐次线性方程，只需知道齐次线性方程的基本解组便可以用常数变易法求非齐次线 性方程的解。与一阶非齐次线性方程的求法类似， 设 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是方程 (4.2) 的基本解组，则 x t c x t c x t c x t ( ) = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) n n ( ) 构成了方 程 (4.2) 的通解。如果把这里的任意常数 1 2 , , , n c c c 看成是待定函数 c t i n i ( )( =1,2, , ) 得到 x t c t x t c t x t c t x t ( ) = + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n ( ) ( ) (4.14) 令 (4.14) 是非齐次线性方程 (4.1) 的解，代入方程 (4.1) 得到一个关于待定函数 c t i n i ( )( =1,2, , ) 的方 程，只要再找 n−1 个关于待定函数 c t i n i ( )( =1,2, , ) 的限定方程，就可以解出 c t i n i ( )( =1,2, , ) ，便 得到了方程 (4.1) 的解。由于给出这 n−1 限定条件的方法很多。所以我们只需选择一个比较容易计算的限 定条件为宜。一般情况下我们按如下方法给出。 对 (4.14) 关于 t 微分得： x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + + + 令： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 4.15 n n x t c t x t c t x t c t + + + = 得到
x=G()x'()+c,()x'()+.+cn()xn'(0(4.16) 对(4.16)，关于1微分得：并且与上面的做法一致，使含有C()的部分等于零，我们又得到一个条件： x'(0)G'(0+x'()c'(0)++x()c()=0(4.15)2 和表达式： x"=G()x"()+2(x2"(0)++c.()x"((4.16)2 继续上面做法，在最后一次我们得到第-1个条件： x-2(0G'(0+x3a-()c2'(0+.+x-(0)c'(0=0(4.15)n 和表达式： x-=c()xa-(0+c2(0)x2-()++c.(0x,-(0(4.16)n 再对(4.16)关于1微分得到： x回=c()x)+6)xm(++c,()x,0( +x-()G'()+x2-()c'()+.+x,m-(cn()(4.16)n 现将(4.14)(4.16)(4.16)2.(4.16)n代入到(4.)，由于x(0),.,x()是方程(42)的解，得到 x()G'()+x()c'()++xa-()c(0=f0(4.15)n 这样，我们得到了含n个未知函数c(=12.,n)的n个方程(4.15)，(4.15)2(4.15)。 它们组成一个线性代数方程组，其系数行列式就是W[,(),(),.,x(门，它不等于零，因而方程组 的解可唯一确定，设求得c()=g()i=1,2,.,n,积分得：c()=∫g()dh+%i=l,2,n 这里y是任意常数，将所得c,(t)(1=12,.,n)的表达式代入(4.14)即得方程(4.)的解 x=∑x(0)+∑x)j9,(, 并且是方程(4.)的通解。 归纳：如果已知对应的齐线性方程的基本解组，那么非齐线性方程的任一解可由积分得到。因此，对线性 方程米讲，关健是求齐线性方程的基本解组。 例1：求方程一。的适解。已知它的对应齐线性方程的器本解组为ss 解：应用常数变易法，令x=G(t)cost+c,(t)sint,将它代入方程，则可得决定c(t)和c()的两个 方程： 第8页共29页
第 8 页 共 29 页 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4.16 n n x c t x t c t x t c t x t = + + + 对 ( )1 4.16 关于 t 微分得：并且与上面的做法一致，使含有 c t i ( ) 的部分等于零，我们又得到一个条件： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 4.15 n n x t c t x t c t x t c t + + + = 和表达式： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4.16 n n x c t x t c t x t c t x t = + + + 继续上面做法，在最后一次我们得到第 n−1 个条件： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 0 4.15 n n n n n n x t c t x t c t x t c t − − − − + + + = 和表达式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4.16 n n n n n n n x c t x t c t x t c t x t − − − − − = + + + 再对 ( ) 1 4.16 n− 关于 t 微分得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 4.16 n n n n n n n n n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t − − − = + + + + + + + 现将 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4.14 4.16 4.16 4.16 n 代入到 (4.1) ，由于 x t x t 1 ( ), , n ( ) 是方程 (4.2) 的解，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 4.15 n n n n n n x t c t x t c t x t c t f t − − − + + + = 这样，我们得到了含 n 个未知函数 c t i n i ( )( =1,2, , ) 的 n 个方程 ( ) ( ) ( ) 1 2 4.15 4.15 4.15 n 它们组成一个线性代数方程组，其系数行列式就是 W x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) ，它不等于零，因而方程组 的解可唯一确定，设求得 ( ) ( ) 1,2, , i i c t t i n = = ，积分得： ( ) ( ) 1,2, , i i i c t t dt i n = + = 这里 i 是任意常数，将所得 c t i n i ( )( =1,2, , ) 的表达式代入 (4.14) 即得方程 (4.1) 的解 ( ) ( ) ( ) 1 1 n n i i i i i i x x t x t t dt = = = + ， 并且是方程 (4.1) 的通解。 归纳：如果已知对应的齐线性方程的基本解组，那么非齐线性方程的任一解可由积分得到。因此，对线性 方程来讲，关键是求齐线性方程的基本解组。 例 1： 求方程 1 cos x x t + = 的通解，已知它的对应齐线性方程的基本解组为 cos ,sin t t 解：应用常数变易法，令 x c t t c t t = + 1 2 ( )cos sin ( ) ，将它代入方程，则可得决定 c t 1 ( ) 和 c t 2 ( ) 的两个 方程：
cosc()+sintc(=0.-sinte()+cosc() cos/ g得：s0-60-此，60-h@+760-1+% 于是原方程的通解为：x=片cost+2sint+cos1 ncos+1sint,其中y,2为任意常数。 例2：求方程x”-x-于域1≠0上的所有解。 解：对应的济线性方程班？-=0，将方程变形为号积分即得：了，所x+B 这里AB为任意常数，易知有基本解组1，P。为了求解非齐线性方程，利用常数变易法，令 x=G()+C,(r2,代入可得G'(0,c'()的两个方程：G'(①+c'(r2=0及2tc2'()=1求得： G0=之+为5)=-+%，故得原方程的通解为：x=%+7+,这里X,乃为任意常数。 根据定理7，它包括了方程的所有解。 作业：P113-114:1,2,3,4,5,6,7,8 §4.2常系数线性方程的解法 教学目的：掌握常系数线性方程的解法。 对于线性方程的通解结构问题已从理论上的到解决，但在求解方程的通解问题上没有具体的方法。 到目前为止，我们仅解决了常系数线性方程及可化为这一类型的方程的求解问题。本节我们将学习它的求 解方法。 84.2.1复值函数与复值解 1,复值函数的相关定义与性质： (1)复值函数：如果对于区间a≤1≤b中的每一实数1，有复数()=p()+i泗()与它对应，其中p() 和y()是在区间a≤1≤b上定义的实函数，i是虚数单位，我们就说在区间a≤1≤b上给定了一个复值 函数() (2)复值函数的极限：如果实函数p()和()当1趋于1。时有极限，我们就称复值函数()当1趋于。 时有极限，并且定义1im()=imp()+limw0) 第9页共29页
第 9 页 共 29 页 cos sin 0 tc t tc t 1 2 ( ) ( ) + = ， 1 2 ( ) ( ) 1 sin cos cos tc t tc t t − + = 解得： 1 2 ( ) ( ) sin 1 cos t c t c t t = − = ，由此， c t t c t t 1 1 2 2 ( ) = + = + ln cos ( ) 于是原方程的通解为： 1 2 x t t t t t t = + + + cos sin cos ln cos sin ，其中 1 2 , 为任意常数。 例 2：求方程 2 tx x t − = 于域 t 0 上的所有解。 解：对应的齐线性方程为： tx x − = 0 ，将方程变形为 x 1 x t = ，积分即得： x At = ，所以 1 2 2 x At B = + ， 这里 A B, 为任意常数，易 知有基本解组 2 1,t 。为了求解非 齐线性方程， 利用常数变易 法，令 ( ) ( ) 2 1 2 x c t c t t = + ，代入可得 c t c t 1 2 ( ), ( ) 的两个方程： ( ) ( ) ( ) 2 1 2 c t c t t t t + = = 0 及2tc2 求得： ( ) ( ) 3 2 2 2 2 1 1 2 6 c t t c t t = + = − + ，故得原方程的通解为： 2 3 1 2 1 3 x t t = + + ，这里 1 2 , 为任意常数。 根据定理 7，它包括了方程的所有解。 作业： P113 114 :1,2,3,4,5,6,7,8 − §4. 2 常系数线性方程的解法 教学目的：掌握常系数线性方程的解法。 对于线性方程的通解结构问题已从理论上的到解决，但在求解方程的通解问题上没有具体的方法。 到目前为止，我们仅解决了常系数线性方程及可化为这一类型的方程的求解问题。本节我们将学习它的求 解方法。 §4. 2. 1 复值函数与复值解 1．复值函数的相关定义与性质： （1）复值函数：如果对于区间 a t b 中的每一实数 t ，有复数 z t t i t ( ) = + ( ) ( ) 与它对应，其中 (t) 和 (t) 是在区间 a t b 上定义的实函数， i 是虚数单位，我们就说在区间 a t b 上给定了一个复值 函数 z t( ) 。 （2）复值函数的极限：如果实函数 (t) 和 (t) 当 t 趋于 0 t 时有极限，我们就称复值函数 z t( ) 当 t 趋于 0 t 时有极限，并且定义 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim t t t t t t z t t i t → → → = +
(3)复值函数的连续：如果1im:()=(化o)小我们就称z(句)在，连续，显然，=()在连续，必有()） 和()在，连续。如果()在区间a≤1≤b上每一点都连续时，就称()在区间a≤1≤b上连续。 4复值高数的号数知果根果四9#在，称：间在6有号数可政起非生发：) d山 显然，：0在，有导数相当于)和y句在，有导数，且正_o）+y,如果：0在区 dt dt dt 间上的每点都有导数，就称：(t)在区间a≤1≤b上有导数。 注：实值函数的导数运算法则对于复值函数同样可以使用。 2.复指数函数：设K=a+iB是任一复数，这里a,B是实数，而1是实变量。 我们定义 e=einy =e(cos Bt+isin Br), 则必有 cosm=e+e）.sinm=ze-e） e的性质 h,@-,a皆ke,ek 3.线性方程的复值解：定义于区间a≤1≤b上的实变量复值函数x=三（称为方程(41）的复值解， 0a00。a029a0-00时as1ssa dt" 4.常用的两个重要结论： 定理8：如果方程(4.2)中所有系数a,(t)(i=1,2,.,n)都是实值函数，而x=()=p(+iy()是方 程的复值解，则：()的实部(0)，虚部w()和共轭复值函数)也都是方程(4.2)的解 定理若方程空+a0+.+a0会+a们=0+m0有复值解 x=U()+V(),这里a,()i=1,2,m)及u()和v(0)都是实函数，那么这个解的实部U()和虚部 V(分别是方程 第10页共29页
第 10 页 共 29 页 （3）复值函数的连续：如果 ( ) ( ) 0 0 lim t t z t z t → = ，我们就称 z t( ) 在 0 t 连续，显然， z t( ) 在 0 t 连续，必有 (t) 和 (t) 在 0 t 连续。如果 z t( ) 在区间 a t b 上每一点都连续时，就称 z t( ) 在区间 a t b 上连续。 （4）复值函数的导数：如果极限 ( ) ( ) 0 0 0 lim t t z t z t → t t − − 存在，就称 z t( ) 在 0 t 有导数（可微），记作 dz t( 0 ) dt 或 z t ( 0 ) 显然， z t( ) 在 0 t 有导数相当于 (t) 和 (t) 在 0 t 有导数，且 dz t d t d t ( 000 ) ( ) ( ) dt dt dt = + ，如果 z t( ) 在区 间上的每点都有导数，就称 z t( ) 在区间 a t b 上有导数。 注：实值函数的导数运算法则对于复值函数同样可以使用。 2．复指数函数：设 K i = + 是任一复数，这里 , 是实数，而 t 是实变量。 我们定义 ( ) (cos sin ) Kt t i t e e e t i t + = = + ， 则必有 ( ) ( ) 1 1 cos , sin 2 2 i t i t i t i t t e e t e e i − − = + = − Kt e 的性质 （1） ( 1 2 ) K K t K t K t 1 2 e e e + = ；（2） Kt Kt e e = ；（3） Kt de Kt Ke dt = ， ( ) n Kt n Kt n d e K e dt = 3．线性方程的复值解：定义于区间 a t b 上的实变量复值函数 x z t = ( ) 称为方程 (4.1) 的复值解， 如果 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 n n n n n n d z t d z t dz t a t a t a t z t f t dt dt dt − + + + + − − 对于 a t b 恒成立。 4．常用的两个重要结论： 定理 8：如果方程 (4.2) 中所有系数 a t i n i ( )( =1,2, , ) 都是实值函数，而 x z t t i t = = + ( ) ( ) ( ) 是方 程的复值解，则 z t( ) 的实部 (t) ，虚部 (t) 和共轭复值函数 z t( ) 也都是方程 (4.2) 的解。 定理 9：若方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 n n n n n n d x d x dx a t a t a t x u t iv t dt dt dt − + + + + = + − − 有复值解 x U t iV t = + ( ) ( ) ，这里 a t i n i ( )( =1,2, , ) 及 u t v t ( )和 ( ) 都是实函数，那么这个解的实部 U t( ) 和虚部 V t( ) 分别是方程