第一章绪论 第一章绪论 一应该掌握的基本知识 1.基本概念 微分方程：常微分方程及偏微分方程：线性和非线性微分方程：解和隐式解：通 解和特解：方程和方程组。 2.根据实际问题建立微分方程模型：(1)数学摆：（②）人口增长模型：(3)SI及SIR传染 病模型：(4)两生物种群生态模型（⑤）化学动力模型 二.学习注意点 根据实际问题建立常微分方程模型是本课程的重点和难点之一.中学阶段解决应用 问题通常是先根据问题所给出的条件，列出已知与未知数所满足的条件等式，这类等 式是代数方程或三角方程，然后解出未知数微分方程则与之不同，它是根据问题的条 件，给出未知函数及其自变量与未知函数的导数之间的条件的等式，是描述某一事物 在任何位置、任何时刻都必须满足的表达式，然后通过一定的方法求出未知函数，因 此建立微分方程也是建立应用问题的数学模型可以用微分方程建立数学模型的应用问 题通常是几何问题，运动问题，力学问题、热学问题、电路问题以及生物、医学、生 态、经济等领域的某些问题。学生要适当掌握这方面的知识。能够理解所建模型，理 解参数的含义，通过分析解的性质，解释其实际意义，要正体会到常微分方程理论来 源于实践，自己能够利用所学知识解决实际问题。 三.释疑解难 1.怎样建立微分方程解决应用问题？ 答对一些需要求“运动规律”、“变化规律”、“对应规则”的实际问题，通 常考虑用微分方程来解决.建立微分方程是根据实际问题的条件，列出未知函数和它 的导数（微分）及其自变量之间关系的等式。这些问题通常是几何问题，运动问题， 力学问题、热学问题、电路问题以及生物、医学、生态、经济等领域的某些问题.虽然 -2-
第 一 章 绪 论 第一章 绪论 一.应该掌握的基本知识 1. 基本概念 微分方程；常微分方程及偏微分方程；线性和非线性微分方程；解和隐式解；通 解和特解；方程和方程组。 2. 根据实际问题建立微分方程模型：(1)数学摆；(2)人口增长模型； (3)SI 及SIR 传染 病模型； (4)两生物种群生态模型 (5) 化学动力模型 二. 学习注意点 根据实际问题建立常微分方程模型是本课程的重点和难点之一. 中学阶段解决应用 问题通常是先根据问题所给出的条件，列出已知与未知数所满足的条件等式， 这类等 式是代数方程或三角方程，然后解出未知数.微分方程则与之不同，它是根据问题的条 件， 给出未知函数及其自变量与未知函数的导数之间的条件的等式，是描述某一事物 在任何位置、 任何时刻都必须满足的表达式，然后通过一定的方法求出未知函数，因 此建立微分方程也是 建立应用问题的数学模型.可以用微分方程建立数学模型的应用问 题通常是几何问题，运动问题， 力学问题、热学问题、电路问题以及生物、医学、生 态、经济等领域的某些问题。 学生要适当掌握这方面的知识。能够理解所建模型，理 解参数的含义，通过分析解的性质， 解释其实际意义，要正体会到常微分方程理论来 源于实践，自己能够利用所学知识解决 实际问题。 三. 释疑解难 1. 怎样建立微分方程解决应用问题？ 答 对一些需要求“运动规律”、“变化规律”、“对应规则”的实际问题，通 常考虑 用微分方程来解决. 建立微分方程是根据实际问题的条件，列出未知函数和它 的导数（微分）及其自变量之间 关系的等式。这些问题通常是几何问题，运动问题， 力学问题、热学问题、电路问题以及生物、医学、生态、经济等领域的某些问题. 虽然 – 2 –
第一章绪论 应用问题涉及的范围很广，但是在建立数学模型时的基本指导思想有共同之处。 (1)建立微分方程的基本条件： (①)由于微分方程所含的导数都是实际问题中各种变量的变化率，因此我们要熟悉 能用导数表示的各种常见的变化率.例如 切线的斜率款-光与曲线的自幸K=a十A 小 速威一密与加速成一密-器 角电政一尝角道度一兰-品 电流一品放射学中的衰变率、生物学、传染病学以及人口学中的增长率等。 需要熟悉与问题有关的各种定理、原理、原则例如 力学中物体运动所遵循的牛顿第二定律、牛顿万有引力定律： 热学中的牛顿冷却定律、傅里叶热传到定律：弹性变形问题中的胡克定律： 流体力学中的托里拆里定律，化学中的质量作用定律等： 变化问题中常常遵循的原则： 净变化率（改变率）=输入率（增加率）输出率（减少率） (2)建立微分方程及求解的注意点： ()如果问题要求“运动规律”、“变化规律”、“对应规则”等，则需用微分 方程来解决问题如果问题的条件中有“变化”、“快慢”、“增减”一类词汇时，则 可能表明问题与导数有关.这时应根据问题的特征，一方面可考虑问题是否遵循什么定 律或原则，利用己知定律或原则来建立微分方程：另一方面可考虑用微元法导出微分 方程. ()问题往往给出特定时刻或特定位置的信息，据此写出定解条件或确定解中的有 关常数.如积分常数、比例常数等. ()微分方程的有关的各项应采用同样的单位（量纲） -3-
第 一 章 绪 论 应用问题 涉及的范围很广，但是在建立数学模型时的基本指导思想有共同之处。 (1) 建立微分方程的基本条件： (i) 由于微分方程所含的导数都是实际问题中各种变量的变化率，因此我们要熟悉 能用导数表示的各种常见的变化率. 例如 切线的斜率k = dy dx与曲线的曲率K = |y 0 | (1 + y 02 ) 3 2 ; 速度v = dx dt 与加速度a = dv dt = d 2x dt2 ; 角速度ω = dθ dt与角加速度β = dω dt = d 2 θ dt2 ; 电流i = dQ dt ; 放射学中的衰变率、生物学、传染病学以及人口学中的增长率等. 需要熟悉与问题有关的各种定理、原理、原则. 例如 力学中物体运动所遵循的牛顿第二定律、牛顿万有引力定律; 热学中的牛顿冷却定律、傅里叶热传到定律； 弹性变形问题中的胡克定律； 流体力学中的托里拆里定律，化学中的质量作用定律等； 变化问题中常常遵循的原则： 净变化率（改变率）=输入率（增加率）-输出率（减少率）. （2）建立微分方程及求解的注意点： （i）如果问题要求“运动规律”、“变化规律”、“对应规则”等， 则需用微分 方程来解决问题.如果问题的条件中有“变化”、“快慢”、“增减” 一类词汇时，则 可能表明问题与导数有关. 这时应根据问题的特征，一方面可考虑问题是否遵循什么定 律或原则，利用已知 定律或原则来建立微分方程；另一方面可考虑用微元法导出微分 方程. (ii) 问题往往给出特定时刻或特定位置的信息，据此写出定解条件或确定解中的有 关常数. 如积分常数、比例常数等. (iii) 微分方程的有关的各项应采用同样的单位（量纲）. – 3 –
第一章绪论 ()在得出微分方程及其解之后，应检查是否与实际问题问题相符合？因为不 完全符合实际的可能性是存在的，这种可能性产生于：第一，解微分方程过程中的增 解：第二，在建立微分方程时往往忽略去一些与问题有关的“次要”因素，因而所 得的数学模型是“近似”的，从而所得结果与实际情况有差距.如果差距太大，就应 该修改模型.例如，在建立质点运动的模型时，可以忽略阻力（这可能对运动是合适 的)，但这对阻力处于重要地位的运动来说，所得的模型就与实际情况大相进庭了， (3)用微分方程解应用题的一般步骤： ①)分析问题，建立微分方程：写出定解条件：注意单位的统一： ()求出微分方程的解（通解），或根据定解条件，确定积分常数（包括比例系 数)； (的)验证解的合理性，回答问题，必要时修改模型，对问题作进一步的探讨. 四.例题增补 1.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比 (比例系数为k1)的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正 比（比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。 解：设质点在t时刻的速度为u,加速度为α，所受合外力为F,由物理学知识得： - 根据题意，F-t一k2,故 m密-1-k>0 即 盟-会 ()式为一阶线性方程， 2.摩托艇以5米/秒的速度在静水中运动，全速时停止了发动机，过了20秒种后艇 -4-
第 一 章 绪 论 (iv) 在得出微分方程及其解之后， 应检查是否与实际问题问题相符合？ 因为不 完全符合实际的可能性是存在的，这种可能性产生于：第一，解微分方程过程中的增 解； 第二，在建立微分方程时往往忽略去一些与问题有关的“次要”因素，因而所 得的数学模型是 “近似”的，从而所得结果与实际情况有差距. 如果差距太大，就应 该修改模型. 例如，在建立质点运动的模型时，可以忽略阻力（这可能对运动是合适 的），但这对阻力处于重要地位的运动来说，所得的模型就与实际情况大相进庭了. (3) 用微分方程解应用题的一般步骤： (i) 分析问题，建立微分方程；写出定解条件； 注意单位的统一； (ii) 求出微分方程的解（通解）， 或根据定解条件，确定积分常数（包括比例系 数）； (iii) 验证解的合理性，回答问题，必要时修改模型，对问题作进一步的探讨. 四. 例题增补 1. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比 （比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速 度成正 比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。 解： 设质点在t时刻的速度为v,加速度为a,所受合外力为F,由物理学知识得： a = F m 根据题意，F = k1t − k2t, 故 m dv dt = k1t − k2t(k2 > 0) 即 dv dt = k1 m t − k2 m t (∗) (*)式为一阶线性方程， 2. 摩托艇以5米/秒的速度在静水中运动，全速时停止了发动机，过了20秒种后艇 – 4 –
第一章绪论 的速度减至=3米/秒，确定发动机停止2分钟后艇的速度，假定水的阻力与艇的运 动速度成正比。 解：设艇的质量为m,速度为（代），由题设水对艇的阻力正比与速度，即-A,其 中入>0表比例系数，负号表示阻力与运动速度方向相反，注意到停止发动机后，艇仅 受阻力作用，故按牛顿第二定律，有 容易求得通解 v=ce- 根据题设条件：t=0时，v=0得c=5,第二个条件代入u=5e-会，再由初始条件 t=20时，v=1=3得k≈-0.0255.因此有特解u=5e-00256.将t=120秒代入上式 得v≈0.233米/秒。即发动机停止2分钟后，艇的速度减至0.233米/秒。 3.一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8m,另一端离开钉子12m,分别在 以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间： ()若不计钉子对链条所产生的摩擦力： (2)若摩擦力为1m长的链条的重量. 解设链条的线密度为kg/m,则链条的质量为20kg/m.又设在时刻t,链条的 端距离钉子x=x()m,则另一端距离钉子20-xm,当t=0时，x=12. (1)如果不计钉子对链条所产生的摩擦力，则在运动过程中，链条受力的大小 为x-(20-x)Pg,按牛顿第二定律，有 2-00-9 即得初值问题 -是=-9leo=12,0=0. 求得方程'-品r=-9的通解r=GeV备+ceV+10,再代入初始条件，得 -5-
第 一 章 绪 论 的速度减至 v1 = 3米/秒，确定发动机停止2分钟后艇的速度，假定水的阻力与艇的运 动速度成正比。 解 ：设艇的质量为m, 速度为v(t), 由题设水对艇的阻力正比与速度，即−λv,其 中λ > 0表比例系数，负号表示阻力与运动速度方向相反， 注意到停止发动机后，艇仅 受阻力作用，故按牛顿第二定律，有 m dv dt = −λv 容易求得通解 v = ce− λ m t 根据题设条件： t = 0时， v = 0得c = 5 ,第二个条件代入v = 5e − λ m ,再由初始条件 t = 20时，v = v1 = 3 得k ≈ −0.0255. 因此有特解v = 5e −0.0255 . 将t = 120秒代入上式 得v ≈ 0.233米/秒。即发动机停止2分钟后，艇的速度减至0.233米/秒。 3. 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8m, 另一端离开钉子12m，分别在 以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间： (1) 若不计钉子对链条所产生的摩擦力； (2) 若摩擦力为1m长的链条的重量. 解 设链条的线密度为ρkg/m, 则链条的质量为20ρkg/m. 又设在时刻t, 链条的一 端距离钉子x = x(t) m, 则另一端距离钉子20 − x m, 当 t = 0 时， x = 12. (1) 如果不计钉子对链条所产生的摩擦力， 则在运动过程中， 链条受力的大小 为[x − (20 − x)]ρg, 按牛顿第二定律， 有 20ρ d 2x dt2 = [x − (20 − x)]ρg 即得初值问题 x 00 − g 10 x = −g, x|t=0 = 12, x0 |t=0 = 0. 求得方程x 00 − g 10 x = −g 的通解 x = c1e √ g 10 t + c2e √ − g 10 t + 10, 再代入初始条件， 得 – 5 –
第一章绪论 特解 x=eV需+evF0+10 取x=20,得 -(+2/( (2)若摩擦力为1m长的链条的重量为Pg,则在运动过程中，链条受力的大小为z一(20- 川pg-p9,按牛顿第二定律，有 2脚票-北-0-网-网 即得初值问题 7-0=小=12=0 21 求得初值问题的解为 -ev面+e副+ 取x=20,得 3 4.过曲线上每一点的切线同过该点的向径及y轴一起构成一个等腰三角形，求此 曲线上所满足的微分方程。 解：设所求曲线为y=(x),其上任一点（红，）的切线为 Y-=(X-x), 它交oy轴于点A(0,y-x).使三角形OAP为等腰三角形有三种可能： (1)lp=Apl.这时有 2+=+,即2=是 -6-
第 一 章 绪 论 特解 x = e √ g 10 t + e √ − g 10 t + 10 取x = 20, 得 t = r 10 g ln(5 + 2√ 6)(s) (2) 若摩擦力为1m长的链条的重量为ρg, 则在运动过程中，链条受力的大小为[x − (20 − x)]ρg − ρg, 按牛顿第二定律， 有 20ρ d 2x dt2 = [x − (20 − x)]ρg − ρg, 即得初值问题 x 00 − g 10 x = − 21 20 g, x|t=0 = 12, x0 |t=0 = 0. 求得初值问题的解为 x = 3 4 ¡ e √ g 10 t + e √ − g 10 t ¢ + 21 2 , 取x = 20, 得 t = r 10 g ln(9 + 4√ 22 3 )(s). 4. 过曲线上每一点的切线同过该点的向径及oy轴一起构成一个等腰三角形，求此 曲线上所满足的微分方程。 解 ：设所求曲线为y = y(x), 其上任一点(x, y)的切线为 Y − y = y 0 (X − x), 它交oy轴于点A(0, y − xy0 ). 使三角形OAP为等腰三角形有三种可能： (1) |op = Ap|. 这时有 x 2 + y 2 = x 2 + x 2 y 02 , 即 dy dx = ± y x . – 6 –
第一章绪论 (2)loA=1om叫.这时有 ”+=g-,即坐=纟±+亚 (3)b4=|4p.这时有 g-=2+,即=-2 dx 2xy 5.试求抛物线族，=cx的正交轨线族所满足的微分方程组。 解：所谓相互正交的轨线族，是指一轨线族中的任一条曲线与另一轨线族的任一 条曲线在交点处的切线互相垂直，那么它们的切线斜率互为负倒数，所以首先要写出 抛物线族所满足的微分方程，即y=cx2对x求导得 y=2cx 再由 { 消去c得 -头 将y换成-之，就得到与它正交的轨线族所满足的微分方程 =或 五.习题解析（习题1.2，第26页） 5.求下列两个微分方程的公共解： (1)y=y2+2x-x4 (2)=2x+x2+x4-y- 解：(1)要求两个微分方程公共解，则它必须满足两个方程组且斜率都一样，即 -7-
第 一 章 绪 论 (2) |oA| = |op|. 这时有 x 2 + y 2 = (y − xy0 ) 2 , 即 dy dx = y x ± p x 2 + y 2 x . (3) |oA| = |Ap|. 这时有 (y − xy0 ) 2 = x 2 + x 2 y 02 ,即 dy dx = y 2 − x 2 2xy . 5. 试求抛物线族y = cx2的正交轨线族所满足的微分方程组。 解： 所谓相互正交的轨线族，是指一轨线族中的任一条曲线与另一轨线族的任一 条曲线在交点处的切线互相垂直， 那么它们的切线斜率互为负倒数，所以首先要写出 抛物线族所满足的微分方程，即y = cx2 对x求导得 y 0 = 2cx 再由 ½ y = cx2 y 0 = 2cx. 消去c得 y 0 = 2y x 将y换成− 1 y 0 , 就得到与它正交的轨线族所满足的微分方程 y 0 = − x 2y . 五.习题解析（习题 1.2，第26页） 5. 求下列两个微分方程的公共解： (1) y 0 = y 2 + 2x − x 4 (2) y 0 = 2x + x 2 + x 4 − y − y 2 解：（1） 要求两个微分方程公共解，则它必须满足两个方程组且斜率都一样，即 – 7 –
第一章绪论 2+2x-x4=2x+x2+x4-y-2, 2y2+y-2x4-x2=0, y=x2,y=-x2- 经验证知y=x2是它们的公共解。 (2)略。 6.求微分方程+x2-y=0的直线积分曲线。 解：设g=kx+b为所给方程的积分曲线，将y=kx+b及=k代入方程得 k+k2-kz-b=0, k)x- k=0,k=1及b=0,b=1 所以k=1,b=1,及y=x+1是原方程的直线积分曲线。k-0,b=0,即y=0也是原 方程的直线积分曲线。 7.微分方程4x22-2=xy3,证明其积分曲线关于坐标原点(0,0)成中心对称的 曲线，也是此微分方程的积分曲线。 证明：设y=(x)是关于原点对称于所给方程的积分曲线划=(x)的曲线方程，所 以 p(x)=-f(-x) 由于 4x2[（x)2-2(x）-xp3(x) =4x2[-f(-x12-【-f(-x)】]2-x-f(-x)]3 =4(-x)2Lf'(-x2-f(-x]2-(-x儿f(-x =0 所以y=(x)也是微分方程4x22-y2=x的积分曲线. -8-
第 一 章 绪 论 y 2 + 2x − x 4 = 2x + x 2 + x 4 − y − y 2 , 2y 2 + y − 2x 4 − x 2 = 0, y = x 2 , y = −x 2 − 1 2 . 经验证知 y = x 2是它们的公共解。 (2) 略。 6. 求微分方程 y 0 + xy02 − y = 0的直线积分曲线。 解： 设y = kx + b 为所给方程的积分曲线， 将 y = kx + b及y 0 = k代入方程得 k + k 2x − kx − b = 0, (k 2 − k)x + (k − b) = 0, k 2 − k = 0, k − b = 0, k = 0, k = 1, k = b, k = 0, k = 1及b = 0, b = 1 所以 k = 1, b = 1, 及y = x + 1是原方程的直线积分曲线。k = 0, b = 0, 即y = 0 也是原 方程的直线积分曲线。 7. 微分方程4x 2 y 02 − y 2 = xy3， 证明其积分曲线关于坐标原点(0, 0)成中心对称的 曲线，也是此微分方程的积分曲线。 证明： 设y = ϕ(x)是关于原点对称于所给方程的积分曲线y = f(x)的曲线方程，所 以 ϕ(x) = −f(−x) 由于 4x 2 [ϕ 0 (x)]02 − ϕ 2 (x) − xϕ3 (x) = 4x 2 [−f(−x)]2 − [−f(−x)]2 − x[−f(−x)]3 = 4(−x) 2 [f 0 (−x)]2 − [f(−x)]2 − (−x)[f(−x)]3 = 0 所以 y = ϕ(x) 也是微分方程 4x 2 y 02 − y 2 = xy3 的积分曲线. – 8 –
第二章一阶微分方程的初等解法 第二章 一阶微分方程的初等解法 一.应该掌握的基本知识 1熟知方程就解出的一阶微分方程=f(x,)的若干类型： 1变量分离方程：=f(x)g(y) 2齐次微分方程：=g() 3°一阶线性方程：=(x)y+Q() 4 Bernoulli方程：寸=P(x)y+Q(x)y”,(n≠0,1) 5恰当方程：Mc,证+N亿，)=0.（器=器） 2.基本解题方法，技巧和公式 1°分离变量法：直接进行分离变量或先通过适当的变量代换化为变量分离方程，通 过积分求出其通解： 2°常数变易法和常数变易公式：先求出对应的齐次线性方程的通解，然后由齐次 线性方程的通解通过常数变易法求出非齐次方程的通解： 3°积分因子法：先根据全微分方程的判别准则，判别方程是否为全微分方程。如 果不是，则设法寻找积分因子。可以从求特殊的积分因子开始，例如求试只与或只 与y有关的积分因子，还可用分项组合法： 4°Bernoulli方程：通过变换z=yn将方程化为线性方程。 5°一阶隐式方程F(红，弘，）=0的几种特殊类型的解法： (1)若方程就能y解出y=f红，)，则令=p,把问题化为求解关于x和p之间的一阶 方程 D=e,p+,p2 然后代入！=f(红，P)得隐式方程的解或参数形式的解： (2)若方程就能x解出x=f(y,),则令=p,把问题化为求解关于y和p之间的一阶 -9-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 第 二章 一阶微分方程的初等解法 一.应该掌握的基本知识 1.熟知方程就y 0解出的一阶微分方程y 0 = f(x, y)的若干类型： 1 ◦变量分离方程: y 0 = f(x)g(y) 2 ◦齐次微分方程:y 0 = g( y x ) 3 ◦ 一阶线性方程：y 0 = p(x)y + Q(x) 4 ◦Bernoulli方程：y 0 = P(x)y + Q(x)y n ,(n 6= 0, 1) 5 ◦ 恰当方程：M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, ³ ∂M ∂y = ∂N ∂x ´ 2. 基本解题方法，技巧和公式 1 ◦ 分离变量法: 直接进行分离变量或先通过适当的变量代换化为变量分离方程，通 过积分求出其通解； 2 ◦ 常数变易法和常数变易公式：先求出对应的齐次线性方程的通解， 然后由齐次 线性方程的通解通过常数变易法求出非齐次方程的通解； 3 ◦ 积分因子法：先根据全微分方程的判别准则，判别方程是否为全微分方程。如 果不是，则设法寻找积分因子。可以从求特殊的积分因子 开始，例如求试只与x或只 与y有关的积分因子，还可用分项组合法； 4 ◦ Bernoulli方程：通过变换z = y −n将方程化为线性方程。 5 ◦ 一阶隐式方程F(x, y, y0 ) = 0的几种特殊类型的解法： (1) 若方程就能y解出y = f(x, y0 ),则令y 0 = p,把问题化为求解关于x和p之间的一阶 方程 p = f 0 x (x, p) + f 0 p (x, p) dp dx 然后代入 y = f(x, p)得隐式方程的解或参数形式的解； (2) 若方程就能x解出x = f(y, y0 ),则令y 0 = p,把问题化为求解关于y和p之间的一阶 – 9 –
第二章一阶微分方程的初等解法 方程 =e刊+密 1 p 然后代入x=f(,P)得方式方程的解或隐参数形式的解： (3)若方程不显含，即方程为F(红，)=0，则先取该方程参数表示式 x=(t),y=(t) 由关系式dy=dx得竖=(t)w(),得到方程的参数形式解： {行8 (4)若方程不显含x,即方程为F(y,)=0,则先取该方程参数表示式 y=(),=() 由关系式dy=dx得警=兽，得到方程的参数形式解： z =x(t,c) y=(t) 二.学习注意点 1°首先要熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何 种类型，从而按照所介绍的方法进行求解。我们所遇到的方程未必都恰好是本章所介 绍的方程类型，因此要注意学习解题技巧，从中总结经验。在解方程时我们常用变量 代换，就是根据方程的特点，引进适当的变换，将方程转化为能求解的类型，从而求 解。一阶微分方程的求解有众多方法，技巧性很强，要多做练习题，掌握这些解题技 巧。 三.释疑解难 1.所有的微分方程都有通解吗？ -10-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 方程 1 p = f 0 y (y, p) + f 0 p (y, p) dp dy 然后代入 x = f(y, p)得方式方程的解或隐参数形式的解； (3) 若方程不显含y,即方程为F(x, y0 ) = 0, 则先取该方程参数表示式 x = ϕ(t), y = ψ(t) 由关系式dy = y 0dx得 dy dt = ψ(t)ϕ 0 (t),得到方程的参数形式解： ½ x = ϕ(t) y = y(t, c) (4)若方程不显含x,即方程为F(y, y0 ) = 0, 则先取该方程参数表示式 y = ϕ(t), y0 = ψ(t) 由关系式dy = y 0dx得 dx dt = ϕ 0 (t) ψ(t) ,得到方程的参数形式解： ½ x = x(t, c) y = ϕ(t) 二. 学习注意点 1 ◦ 首先要熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何 种类型，从而按照所介绍的方法进行求解。 我们所遇到的方程未必都恰好是 本章所介 绍的方程类型，因此要注意学习解题技巧，从中总结经验。在解方程时我们常用变量 代换，就是根据方程的特点，引进适当的变换， 将方程转化为能求解的类型，从而求 解。一阶微分方程的求解有众多方法，技巧性很强，要多做练习题，掌握这些解题技 巧。 三. 释疑解难 1. 所有的微分方程都有通解吗？ – 10 –
第二章一阶微分方程的初等解法 答不是，所谓微分方程的通解，是指含有任意常数且任意常数的个数与方程的 阶数相同的解.以下两个方程： lP+1=0, (1) 与 2+2=0. (2) 显然方程(1)无解，方程(2)只有解g=0.可见并非所有的微分方程都有通解。 2.微分方程的通解包含了微分方程的一切解吗？ 答不一定.例如：微分方程 2+2-1=0 的通解是y=si(x+c),但是y=士1也是方程的解，后者并不包含在通解中，即无论通 解中的c取什么定值，都不可能得到g=士1.y=士1是该方程的奇解 然而线性微分方程的通解包含了该方程的一切解（见教材第四章）· .函数彩=ac0os生+c与y=acim生十c哪一个是微分方程/=rV后的通 解？ 答=rV的自然定义域是（←x,-lUL,+o,求)=acos号+c关 于x的导数，得 = (- 1-V1-÷ 当x>1时，对= 2√-三rV产故，=a0cos是+c是原方程的通解 1 1 同样，求y=arcsin是+c关于x的导数，当x>1时，有= V即 y=arcsin上+c也是原方程的通解， 为什么两个通解在形式上不统一呢？事实上，微分方程的通解的确切定义是：如 果区间1上的函数y=(x)满足方程，就称该函数为微分方程在区间I上的解。定义中 -11-
第 二 章 一阶微分方程的初等解法 答 不是. 所谓微分方程的通解， 是指含有任意常数且任意常数的个数与方程的 阶数相同的解. 以下两个方程： |y 0 | 2 + 1 = 0, (1) 与 y 02 + y 2 = 0. (2) 显然方程(1)无解， 方程(2)只有解y = 0. 可见并非所有的微分方程都有通解. 2. 微分方程的通解包含了微分方程的一切解吗？ 答 不一定. 例如： 微分方程 y 02 + y 2 − 1 = 0 的通解是y = sin(x + c), 但是y = ±1 也是方程的解, 后者并不包含在通解中，即无论通 解中的c取什么定值，都不可能得到y = ±1. y = ±1是该方程的奇解. 然而线性微分方程的通解包含了该方程的一切解（见教材第四章）. 3. 函数 y = arccos 1 x + c 与 y = arcsin 1 x + c 哪一个是微分方程 y 0 = 1 x √ x 2 − 1 的通 解？ 答 y 0 = 1 x √ x 2 − 1 的自然定义域是 (−∞, −1) S (1, +∞), 求 y = arccos 1 x + c 关 于x的导数， 得 y 0 = − 1 1 − q 1 − 1 x2 · ¡ − 1 x 2 ¢ 当 x > 1时，y 0 = 1 x 2 q 1 − 1 x2 = 1 x √ x 2 − 1 , 故y = arccos 1 x + c 是原方程的通解. 同样， 求 y = arcsin 1 x + c关于x的导数，当 x > 1时，有y 0 = 1 x √ x 2 − 1 , 即 y = arcsin 1 x + c也是原方程的通解. 为什么两个通解在形式上不统一呢？事实上，微分方程的通解的确切定义是：如 果区间I 上的函数y = ϕ(x) 满足方程， 就称该函数为微分方程在区间I上的解. 定义中 – 11 –