第一章函数 第二章极限 第三章连续函数 访问主页 标题页 第四章实数的连续性 第2页共444页 第五章重导数与微分 返回 全屏显示 关闭 退出
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第一章变量与函数 s1.函数的概念 一、变量 我们在观察各种自然现象或研究实际问题的时候，会遇到许多的量，这 些量一般可分为两种：和种是在我们所考察的过程中保持不变的量常量， 这种量称为.还有一种是在这一过程中会起变化的量，称为变量.例如，自 由落体的下降时间和下降距离是变量，而落体的质量在这一过程中可以看 为常量.再如将一密封容器内的气体加热，气体的体积和分子数目显然是 访问主页 常量，而气体的温度和压力是变量.在数学中，我们常抽去变量或常量的具 标题页 体意义来研究某一过程中这些量在数值上的关系.但尽管如此，在研究过 炒 程中有时还是需要注意它们的具体意义. 这些量，例如时间、质量、压力、温度、分子数等，都可以用实数来表 第3页共44页 示，所以应该称它们为实变量或实常量.本书的研究对象都是实变量和实 返回 常量.也简称它们为变量或常量. 全屏显示 在中学代数里已经知道，实数包括有理数和无理数两种.所有整数、所 关闭 有分数统称为有理数换句话说，凡能表示为（这里，9为整数，g>0, 退出 并设p和g无公因子)形式的数就是有理数
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除了这种形式的数以外，还存在着不能表示为上述形式的数，如√2，圆周 率π等等，称为无理数.关于实数的严密理论，这里不叙述了，仅列举如下 几个重要的性质，进请读都注意： ()实数和直线上的点有着一一对应的关系，并称这条直线为实数轴.今 后我们将经常利用实数轴上的点来表示实数，而把点和实数统一起来，不 访问主页 加区别 标题页 ()有理数在实数中是稠密的，也就是说，在任何两个不同的实数之间 必存在着有理数.同样无理数也是稠密的，在任何两个不同的实数之间也 必存在着无理数. 第4页共444页 ()有理数与有理数的和或差仍为有理数.有理数与无理数的和或差为 返回 无理数.无理数与无理数的和或差可能仍为无理数，也可能为有理数， 全屏显示 关闭 退出
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在观察各种运动过程的时候，我们还发现，有些变量具有一定的变化范围 例如自由落体的下降时间和距离只有在落体落到地面以前才有意义. 变量的变化范围，也就是变量的取值范围，在取实数值的时候，我们往往 用区间表示：设a,b是有限数，a<b,满足不等式a≤x≤b的x的全体 组成的一个闭区间，记为[a,b],也可以说：变量x的变化范围为闭区间a, b].满足不等式a<x<b的x的全体组成开区间(a,b).而满足不等式 访问主页 a<x≤b或a≤x<b的x的全体组成半开半闭的区间(a,b或[a,b;如 标题页 果变量x能够取实数轴上所有的数，我们把它的变化范围记为(-∞，+∞) ,在这里“∞”并不表示数量，它只不过是一个记号，前面的“+”，“一” 表示方向.有时候，在并不一定要指明是开的或闭的场合，我们也常用，等 第5页共444页 来表示区间. 返回 全屏显示 关闭 退出
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二、函数 在同一现象所碰到的各种变量中，通常并不都是独立变化的.它们之间存 在着依赖关系，我们考察几个具体例子： 1.自由落体运动的规律：根据自由落体公式 这里s表示下降距离，t表示时间，g是重力加速度.这个公式指出了在物 体自由落体的过程中，距离s和时间t的依赖关系 2.用一块边长为a的正方形铁皮作一个高为x的无盖小盒 访问主页 (图1-1) 标题页 于是这盒的容积V和高x存在着依赖关系： V=x(a-2x)2 第6页共444页 返回 3.在中学的数学课程中，已经讲到许多游泳的函数，例如直线函数y=αx+b 全屏显示 (其中a,b都是常数)，又如y=tan号，y=5cos 2x+ 3 等三角函数以 关闭 及对数函数y=g(1+x)和指数函数y=2r等等，它们给出了变量x和变 退出 量y的依赖关系
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在以上这些依赖关系中，我们看到一些共同的特征： ()在这些变量中，有些量称为自变量，如时间t,盒高以及上面3中的x 等，他们又一定的变化范围.如例中的时间t,在这个运动过程中，如果 我们把物体刚开始下落的时刻记为t=0,把物体刚到达地面的时刻记为 t=T,那么时间t的变化范围只能是在0与T之间，即t的变化范围是闭 区间[0，T].又如上例3中的函数y=lg(1+x),从对数函数的特性容易 知道，自变量的变化范围只能是x>-1,即x的范围是(-1，+∞).再如 访问主页 y=5 cos 2x+ 3 从余弦函数的特性知道x的变化范围是（一o,+∞）· 标题页 再依赖关系中，还有一些量是随着自变量的变化二起变化的，称为因变量， 如落体下降距离5，盒的容积V,及例3中的y,它们也又一定的变化范围， 再某一过程中，哪个变量是自变量或因变量并不是绝对的，例如再自由落 第7页共444页 体公式中，如果我们已经知道下降距离为s而要求出经过了多少时间，这 返回 时就视距离为自变量，而 全屏显示 关闭 时间就成为因变量了 退出
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(ⅱ)对自变量的变化范围内的每一个确定的值，通过依赖关系，总能得到 一个确定的并且唯一的因变量的值， 把这种特征抽象出来，便得到函数的概自： 函数的定义如果对某个范围X内的每一个实数x,可以按照确定的规 律，得到Y内唯一一个实数y和这个对应，我们就称f是X上的函数，它 访问主页 再x的数值（称为函数值）是y,记为f(x),即y=f(x).有时我们也称这 标题页 N炒 个y是的象，称是的y一个逆象.用数学记号把这件事表达出来就是： f:X-Y 第8页共444页 返回 x→f(x) 全屏显示 关闭 退出
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这个记号有两层意思： ()它表明通过函数的作用，把整个X变到里面Y去，我们用记号X一→Y 来表示这一层意思 ()对X内每一个实数x,在f的作用下，变为Y内的唯一一个实数y,记 作，或者说，在∫的作用下，x的象是f(x),也可以说∫在x的函数值是y 访问主页 ,我们用记号x一f(x)来表示它 标题页 我们称x是自变量，y是因变量，又称X是函数∫的定义域，它表示对X N 内的任何实数x,在∫的作用下是有意义的，简单地说，f(x)是有意义的， 当x遍取X内的所有实数时，相应的函数值f(x)的全体所组成的范围叫 第9页共444页 做函数∫的值域，要注意的是：值域并不一定就是Y,它当然不会比Y大， 返回 但它可能比Y小. 全屏显示 关闭 退出
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例1中学里已经学过的正弦函数f,用上述的记号写出来就是（设X= Y=(-o,+00)): f:X→Y 访问主页 x→y=sinx 标题页 N炒 它表示正弦函数把所有实数变成一些实数，并且把每一个具许的实数x变 成实数sinx,这个sinx就是函数f在x点的函数值.这时，f的定义域是 第10页共44页 而值域是「-1,1，它比Y小. 返回 全屏显示 关闭 退出
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例2设X=(0,+o),Y=(-00,+o) p:X→Y x一→y=lgx 它表示对数函数把(0，十∞)内的实数变成另一些实数，对每一个正的实数 访问主页 x,p在点的函数值是y=gx,这就是我们所熟悉的对数函数，它的定义 域是X,值域是（一o,+o),值域等于Y. 标题页 在通常的数学分析或微积分课本中，为了省略，而略去上面所写的记号，干 脆把函数f:X一→Y,x一y=f(x)简降地记为f(x),或y=f(x),例如函 第11页共44贝 数y=snx,函数y=l1gx等等，而不把他们写成刚才所写的那种形式，以 返回 后我们就用这种省略的写法，但要请读者注意的是：这仅仅是一种省略而 全屏显示 已 关闭 退出
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