第四节几种特殊类型函数的积分 教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点：有理函数的积分 教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分 教学过程： 一、有理函数的积分 形如 P(x)_dox"+ax++x+an (4-) Qx)bx+bx+.+bn-x+an 称为有理函数。其中a,a1,a2,an及b,b,b2,.,bn为常数，且a≠0，b≠0。 如果分子多项式P(x)的次数n小于分母多项式Q(x)的次数m,称分式为真分式：如 果分子多项式P(x)的次数n大于分母多项式Q(x)的次数m,称分式为假分式。利用多项 式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： +x+=x+ 1 x2+1 因此，我们仅讨论真分式的积分。 根据多项式理论，任一多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘 积，即 Qx)=b(x-a)(x-b)(x2+px+q).(x2+r+s)(4-2) 其中p2-4g<0,.,r2-4s<0。 如果(41)的分母多项式分解为42)式，则(41)式可分解为 P(x)A A A (x-a) B B, B +-by+-=++x- Mx+N Mx+N、 Mx+N. +m+g列t+m+gt.+ (x+px+g) (43)
第四节 几种特殊类型函数的积分 教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点：有理函数的积分。 教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。 教学过程： 一、 有理函数的积分 形如 m m m m n n n n b x b x b x a a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) (4-1) 称为有理函数。其中 a a a an , , , , 0 1 2 及 b b b bm , , , , 0 1 2 为常数，且 a0 0 ，b0 0 。 如果分子多项式 P(x) 的次数 n 小于分母多项式 Q(x) 的次数 m ，称分式为真分式；如 果分子多项式 P(x) 的次数 n 大于分母多项式 Q(x) 的次数 m ，称分式为假分式。利用多项 式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： 1 1 1 1 2 2 3 + = + + + + x x x x x 因此，我们仅讨论真分式的积分。 根据多项式理论，任一多项式 Q(x) 在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘 积，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 Q x = b x − a x − b x + px + q x + rx + s (4-2) 其中 4 0, , 4 0 2 2 p − q r − s 。 如果(4-1)的分母多项式分解为(4-2)式，则(4-1)式可分解为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 x b B x b B x b B x a A x a A x a A Q x P x − + + − + − + − + + − + − = − − 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) M x N M x N M x N x px q x px q x px q − + + + + + + + + + + + + + (4-3)
Rx+NS Rx+S ++++y产+. (++S) 解：因为 x+3 x+3 -5 2-5+6x-2X-x2+x0 得 =-5hlx-21+6h|x-3引+0 求∫2g血 解：由于分母已为二次质因式，分子可写为 x-2=1(2x+2)-3 1 -2x+2 2-可+2 - x2+2x+3 r+)2+(W2 =m(x2+2x+3)- 3 例3.求∫+2xX1+r 解：根据分解式(43)，计算得 4 2 1 子+月 0+2x1+x2)1+2x1+x2 因此得
1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) R x NS R x S R x S x rx s x rx s x rx s − + + + + + + + + + + + + + 例1． 求 − + + dx x x x 5 6 3 2 解：因为 3 6 2 5 ( 2)( 3) 3 5 6 3 2 − + − − = − − + = − + + x x x x x x x x 得 x x C dx x dx x dx x x dx x x x = + − + − = − + − + − − = − + + -5ln | - 2 | 6ln | 3 | 3 1 6 - 2 1 5 3 6 2 5 5 6 3 2 例2． 求 + + − dx x x x 2 3 2 2 解：由于分母已为二次质因式，分子可写为 (2 2) 3 2 1 x − 2 = x + − 得 C x x x x d x x x d x x x x dx dx x x x dx x x x dx x x x + + = + + − + + + − + + + + = + + − + + + = + + + − = + + − 2 1 arctan 2 3 ln( 2 3) 2 1 ( 1) ( 2) ( 1) 3 2 3 ( 2 3) 2 1 2 3 3 2 3 2 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 例3． 求 + + dx (1 2x)(1 x ) 1 2 解：根据分解式(4-3)，计算得 2 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 (1 2 )(1 ) 1 x x x x x + − + + + = + + 因此得
1 -x+写 a+2x1+r-可+2x+x3 引品-经+2 -引-2z0+2-0++制子 1 +x+x+arctanx+C 二、三角函数有理式的积分 如果R(u,)为关于,v的有理式，则R(sinx,cosx)称为三角函数有理式。我们不深 入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。 例4. 解：如果作变量代换u=an了，可得 品活山 21u 因此得 2 =au+2+恤 -5+2+h1+c -m登+m+号ham+c 三、简单无理式的积分 求1+x+2 dx 解：令x+2=u,得x=n3-2,k=32d,代入得
x x x C dx x d x x d x x dx x dx x x dx x dx x x x dx x x = + − + + + + + + + + − + = + + + − + = + − + + + = + + arctan 5 1 ln(1 ) 5 1 ln |1 2 | 5 2 1 1 5 1 (1 ) 1 1 5 1 (1 2 ) 1 2 1 5 2 1 1 5 1 1 2 5 1 1 2 2 5 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 (1 2 )(1 ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 二、 三角函数有理式的积分 如果 R(u ,v) 为关于 u , v 的有理式，则 R(sin x ,cos x) 称为三角函数有理式。我们不深 入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。 例4． 求 + + dx x x x sin (1 cos ) 1 sin 解：如果作变量代换 2 tan x u = ，可得 2 1 2 sin u u x + = ， 2 2 1 1 cos u u x + − = ， du u dx 2 1 2 + = 因此得 C x x x u u C u du u u du u u u u u u u dx x x x = + + + = + + + = + + + + − + + + + = + + | 2 ln | tan 2 1 2 tan 2 tan 4 1 2 ln | | ) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 三、 简单无理式的积分 求 + + 3 1 x 2 dx 解：令 x + = u 3 2 ，得 2 3 x = u − ， dx u du 2 = 3 ，代入得
会血 w =u-*地 hlu)+C =0x+2-3+2+3h1++21+c 例5.求∫a+店 解：令x=1°，得dk=61d山，代入得 j骑n -r 6nM =6(t-arctan t)+C =6(x-arctan)+ 小结：本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积 分。同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法 思考：1.有无简单方法将有理真分式化为四类简单分式？ 2,三角函数有理式积分的解题思路是什么？ 作业见作业卡 习题课 一·主要内容：不定积分的换元积分法，分部积分法。 二.习题选讲：
x x x C u u C u du u u du u u du u u x dx = + − + + + + + = − + + + + = − + + − + = + = + + ( 2) 3 2 3ln |1 2 | 2 3 ln |1 | ) 2 3( ) 1 1 3 ( 1 1 1 1 3 1 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 例5． 求 + x x dx (1 ) 3 解： 令 6 x = t ，得 dx t dt 5 = 6 ，代入得 x x C t t C dt t ( dt t t t t t dt x x dx = − + = − + + = − + = + = + 6( arctan ) 6( arctan ) ) 1 1 6 1 1 6 (1 ) 6 (1 ) 6 6 2 2 2 2 3 5 3 小结：本节学习了有理函数的积分，并通过例题了解了三角函数有理式和简单无理式的积 分。同学们可以通过多做一些练习题来熟悉本节介绍的几种积分方法。 思考：１．有无简单方法将有理真分式化为四类简单分式？ ２． 三角函数有理式积分的解题思路是什么？ 作业见作业卡 习题课 一．主要内容：不定积分的换元积分法，分部积分法。 二．习题选讲： 例１． 2 1 arctan 1 x dx + x
解：原式∫ +32 1+ 例2.ò4.司 1 1 1 -arcsin)+c 解法二令1=F,x=2,d本=21d,则 六可是2am台e2om兰+e 例3.> 解法一令x=sec1,则V2-i=tan0<1<,在=sec1and.于是 ∫产jj4c=m+c 解法二令x=0<1<,则k=子. 解鞋三◆可4，则xi00气 ∫产F,产南停ar+c=ic 1 例4.∫k 解、限式-小=片=-r
解：原式= 3 2 2 2 2 1 1 arctan arctan 1 1 1 2 1 ( ) arctan (arctan ) (arctan ) 1 1 3 (1 ) 1 x x dx d d C x x x x x x x = − = − = − + + + 例２． 1 (4 ) dx x x - ò 解法一 − − − = − − = − ) 2 2 ( ) 2 2 1 ( 1 (4 ) 4 ( 2) 1 2 2 x d x x dx dx x x c x + − = ) 2 2 arcsin( 解法二 令 t = x ， 2 x = t ， dx = 2tdt ，则 = + − = − = − c t t dt t t tdt x x dx 2 2arcsin 4 2 4 2 (4 ) 2 2 c x = + 2 2arcsin ． 例３． 2 ( 1) 1 dx x x x − 解法一 令 x t =sec ，则 2 1 tan (0 ), sec tan . 2 x t t dx t tdt − = = 于是 2 sec tan 1 arccos sec tan 1 dx t tdt dt t C C t t x x x = = = + = + − 解法二 令 1 x t (0 1), t = 则 2 1 dx dt t = − ． 2 2 2 2 1 1 1 ( ) arcsin arcsin 1 1 1 1 1 dx dt dt t C C t x x x t t t = − = − = − + = − + − − − 解法三 令 2 x t − = 1 ，则 2 2 1( 0), 1 tdt x t t dx t = + = + 2 2 2 2 2 1 arctan arctan 1 1 1 1 1 dx t dt dt t C x C x x t t t t = = = + = − + − + + + 解法四 2 2 2 2 1 1 1 ( ) arcsin 1 1 1 1 1 ( ) dx dx d C x x x x x x x = = − = − + − − − 例４． 3 2 ln x dx x 解． 原式＝ 3 3 3 2 2 1 ln 1 1 ln 1 ln ( ) 3ln 3 ln ( ) x x xd x dx xd x x x x x x − = − + = − −
-2hx空.-aw =片=6g 例5.设x=n+,求∫/x. 解，令1=nx,则x=d,0=+ 蝌=螂+e-e+r2 e0*ero-e0*er0*rc =x-(l+")In(l+e)+c 例6。∫m。本注此想男解法见第节到4) nf高小 +「1 24am2+∫soc25d 2tan =htm+m芝+m+c 鞋三原式j+,k-2+小∫在-∫ sin3 x -∫cse2h-cox+2 ss 11 而 ∫csc2t=-∫cscxdcotx=-cscxcotx-∫cot2 xcsexdx=-cscxcotx-∫csc.x(csc2x-l)d =-cscxcot.x-∫csc3xt+「csc.xdx=-cscxcotx-+Incscx-cot-「csc2xt .fese xd =-csexcotx+nescx-cot+c 时n0o可-分oa+兮oecm时-c+2x+C 例7.∫3n2x+2sn dx 心5
＝ 3 2 3 2 ln ln 1 1 ln 3ln 1 3 3 2ln 6 ln ( ) x x x x x dx xd x x x x x x x − − + = − − − ＝ 3 2 2 ln 3ln ln 1 6( ) x x x dx x x x x − − − − ＝ 3 2 ln 3ln 6ln 6 x x x C x x x x − − − − + 例５．设 ln(1 ) (ln ) x f x x + = ，求 f (x)dx ． 解． 令 t x = ln ，则 ln(1 ) , ( ) t t t e x e f t e + = = ln(1 ) 1 ( ) ln(1 ) ( ) ln(1 ) 1 x x x x x x x e f x dx dx e d e e e dx e e + - - = = - + = - + + 蝌 蝌 + ln(1 ) (1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 x x x x x x x e e e dx e e x e c e - - = - + + - = - + + - + + ò + (1 )ln(1 ) x x x e e c - = - + + + 例６． + + dx x x x sin (1 cos ) 1 sin (注：此题另一解法见第四节例４) 解法一 原式= = + + + + dx x dx x x x dx x x dx 2 2 cos 1 2 cos 2 4sin 1 sin (1 cos ) 1 cos 3 2 = + + + = ) 2 ( 2 ) sec 2 (tan 2 2 tan 2 1 tan ) 2 ( 2 cos 1 ) 2 ( 2 cos 2 2sin 1 2 2 3 2 x d x x d x x x d x x d x x = C x x x + + + 2 tan 2 tan 4 1 2 ln tan 2 1 2 解法二 原式= = + − dx x x x 3 sin (1 sin )(1 cos ) + − − dx x x dx x x xdx xdx 3 2 3 2 sin cos sin cos csc csc = x x xdx x sin 1 2sin 1 csc cot 2 3 − + + 而 csc xdx = − cscxd cot x = −cscx cot x − cot x cscxdx = −cscx cot x − cscx(csc x −1)dx 3 2 2 = − x x − xdx + xdx = − x x + x − x − xdx 3 3 csc cot csc csc csc cot ln csc cot csc xdx = − x x + ln cscx − cot x + C 2 1 csc cot 2 1 csc3 故 C x x dx x x x x x x x x = − + − − + + + + + sin 1 2sin 1 ln csc cot cot 2 1 csc cot 2 1 sin (1 cos ) 1 sin 2 例７． 1 sin 2 2sin dx x x + 解法一 原式= 2 2 2 3 sin cos 2 2 2sin (cos 1) 4sin cos 8sin cos 2 2 2 x x dx dx dx x x x x x x + = = +
加a -m-9c tan ∫nom点西+-rc intantanC
= 2 3 sin 1 1 1 1 1 1 1 1 2 tan (tan ) tan ln cot 8 4 sin 4 2 2 4 sin 8 2 4 cos 2 x x x x dx dx d dx ccx x C x x x + = + = + − + 解法二 原式= 2 3 sec 1 1 1 2 ( ) (tan ) 2sin (cos 1) 4 2 4 2 sin cos tan 2 2 2 x dx x x d d x x x x x = = + = 2 2 1 tan 1 1 1 2 (tan ) [ln tan tan ] 4 2 4 2 2 2 tan 2 x x x x d C x + = + + 解法三 令 tan 2 x = t ，则 2 2 2 2 2 1 2 sin ,cos , 1 1 1 t t x x dx dt t t t − = = = + + + ，于是 1 1 1 1 2 ( ) [ln ] sin 2 2sin 2sin (cos 1) 4 4 2 dx dx t dt t t C x x x x t = = + = + + + + = 1 1 2 ln tan tan 4 2 8 2 x x + + C