第二章导数与微分 学时分配：讲课12学时，习题课2学时 二、 基本内容： 1导数的概念，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，左、右导数的概念及函数可导 的充要条件。 2导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式 3隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，反函数的导数 4高阶导数的概念，莱布尼兹公式. 5微分的概念，函数微分的几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分不变性 6微分在近似计算中的应用. 三、 教学要求 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了 解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微 分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 四 教学重点难点 1.教学重点 1、导数和微分的概念与微分的关系： 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则： 3、基本初等函数的导数公式： 4、高阶导数： 函数和由参数方程确定的函数的导数 2.教学难点： 1、复合函数的求导法则： 2、分段函数的导数： 3、反函数的导 隐函数和由参数方程确定的导数 五、教改建议与深广度： 1、让学生正确理解导数作为变化率的概念，适当布置一些变化率与微分的应用问题，以培养学生用导 数解决实际问题的能力。 2、熟练学握初等函数的微分法，并知道一切初等函数的导数仍然是初等函数，会用导数定义求分段函 数在分段点处的左右导数 3、高阶导数重点放在二阶导数，由参数方程及隐函数所确定的函数的二阶导数，强调方法，不死记公 4、理解微分是函数增量的线性主部的概念，以及函数局部线性化的思想：连续与可导、可微间的关系， 在讲课中可通过例题的形式，讲解用定义确定分段函数的连续可导问题，以培养学生解决这方面问 颗的能力
1 第二章 导数与微分 一、 学时分配：讲课 12 学时，习题课 2 学时 二、 基本内容： 1 导数的概念，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，左、右导数的概念及函数可导 的充要条件. 2 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式. 3 隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，反函数的导数. 4 高阶导数的概念，莱布尼兹公式. 5 微分的概念，函数微分的几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分不变性. 6 微分在近似计算中的应用. 三、 教学要求 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了 解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微 分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 四、 教学重点难点 1．教学重点 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 2．教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 五、教改建议与深广度： 1、让学生正确理解导数作为变化率的概念，适当布置一些变化率与微分的应用问题，以培养学生用导 数解决实际问题的能力。 2、熟练掌握初等函数的微分法，并知道一切初等函数的导数仍然是初等函数，会用导数定义求分段函 数在分段点处的左右导数。 3、高阶导数重点放在二阶导数，由参数方程及隐函数所确定的函数的二阶导数，强调方法，不死记公 式。 4、理解微分是函数增量的线性主部的概念，以及函数局部线性化的思想；连续与可导、可微间的关系， 在讲课中可通过例题的形式，讲解用定义确定分段函数的连续可导问题，以培养学生解决这方面问 题的能力
第一节导数的概念 教学目的：1理解导数的定义 2.掌握函数在一点可导与连续的联系和区别： 3.利用导数的定义求一些简单函数的导数 教学重点：导数的概念，导数的几何意义 教学难点：导数的定义，可导与连续的联系和区别 教学内容： 1.函数在一点的导数 为了引出导数的概念，我们先看下面两个关于变化率的实际问题。 1)直线运动的速度 例如，物体作匀速直线运动时，其速度为 饕之 (1) I-to 如果物体作变速直线运动，则上式只能表示从时刻，到1的平均速度，如果时间间隔选得较短，这个比值(1) 在实践中也可用来说明动点在时刻1。的速度。但对于动点在时刻1。的速度的精确概念来说，这样做是不够 的，而更确切地应当这样：令1→，取(1)式的极限，如果这个极限存在，设为，即。=国，一 .s()-s(to) 这时就把这个极限值，称为动点在时刻1，的（瞬时）速度。 (2)切线问题 我们就曲线C为函数y=f)的图形的情形来讨论切线问题。设M(xo,)是曲线C上的一个点（图 2-2),则。-f(x)。根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此， 在点M外另取C上的一点N(x,y),于是割线MN的斜率为 tamp=’'-y-f)-f) x-Xo x-Xo 其中P为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，x→x。如果当x→x,时，上式的极限存在 设为k,即 k=imf(.) X-XD 存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里k=a心，其中a是切线MT的倾角。于 是，通过点M(k。,fx》且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，由 2
2 第一节 导数的概念 教学目的：1. 理解导数的定义; 2. 掌握函数在一点可导与连续的联系和区别； 3. 利用导数的定义求一些简单函数的导数. 教学重点：导数的概念,导数的几何意义 教学难点：导数的定义，可导与连续的联系和区别 教学内容： 1. 函数在一点的导数 为了引出导数的概念，我们先看下面两个关于变化率的实际问题。 （1）直线运动的速度 例如，物体作匀速直线运动时，其速度为 ( ) ( ) 0 0 0 0 t t s t s t t t s s v − − = − − = = 时间差 位移差 （1） 如果物体作变速直线运动，则上式只能表示从时刻 0 t 到 t 的平均速度，如果时间间隔选得较短，这个比值（1） 在实践中也可用来说明动点在时刻 0 t 的速度。但对于动点在时刻 0 t 的速度的精确概念来说，这样做是不够 的，而更确切地应当这样：令 0 t → t ,取（1）式的极限，如果这个极限存在，设为 0 v ，即 ( ) ( ) 0 0 0 0 lim t t s t s t v t t − − = → ， 这时就把这个极限值 0 v 称为动点在时刻 0 t 的（瞬时）速度。 （2）切线问题 我们就曲线 C 为函数 y = f (x) 的图形的情形来讨论切线问题。设 ( ) 0 0 M x ，y 是曲线 C 上的一个点（图 2-2），则 ( ) 0 0 y = f x 。根据上述定义要定出曲线 C 在点 M 处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此， 在点 M 外另取 C 上的一点 N(x，y) ，于是割线 MN 的斜率为 ( ) ( ) 0 0 0 0 tan x x f x f x x x y y − − = − − = ， 其中 为割线 MN 的倾角。当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时， 0 x → x 。如果当 0 x → x 时，上式的极限存在， 设为 k ,即 ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x k x x − − = → 存在，则此极限 k 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里 k = tan ，其中 是切线 MT 的倾角。于 是，通过点 ( ( )) 0 0 M x ，f x 且以 k 为斜率的直 线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线。事实上，由
∠WMT=P-a以及x→x,时pa,可见x→x,时（这时MN→0），∠NMT→0。因此直线MT 确为曲线C在点M处的切线， 图2 图22 我们撒开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。 定义设函数y=fx)在点U(x,)内有定义，当自变量x在x。处取得增量△x (x=xo+△xeU(xo,))时，相应地函数y取得增量△y=fx+△x)-fxo):如果△y与△r之比当 △x→0时的极限存在，则称函数y=fx)在点x。处可导，并称这个极限为函数y=fx)在点x。处的导 数，记为y·即 九，是=m+a), △y (2) n)裂织 函数fx)在点x。处可导有时也说成fx)在点x具有导数或导数存在。 导数的定义式(2)也可取不同的形式，常见的有 f)=@+小-f) h 和 f)-) (4) x-xo 注：函数在一点的导数的几何定义：f"(x)是曲线y=fx)在(x。,fx)》点的切线斜率： 路程S=S)对时间1的导数S飞)是。时刻的速度： 在抽象情况下，∫(x)表示y=fx)在x=x。点变化的快慢。 2.可导与连续的关系 3
3 NMT = − 以及 0 x → x 时 → ，可见 0 x → x 时（这时 MN → 0 ）， NMT →0 。因此直线 MT 确为曲线 C 在点 M 处的切线。 我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。 定 义 设函数 y = f (x) 在 点 ( , ) U x0 内有定义，当自变量 x 在 0 x 处取得增量 x （ ( , ) x = x0 + xU x0 ）时，相应地函数 y 取得增量 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ；如果 y 与 x 之比当 x →0 时的极限存在，则称函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导，并称这个极限为函数 y = f (x) 在点 0 x 处的导 数，记为 0 x x y = ，即 ( ) ( ) x f x x f x x y y x x x x + − = = = → → 0 0 0 0 lim lim 0 ， （2） 也可记作 ( ) 0 f x ， 0 dx x x dy = 或 ( ) 0 dx x x df x = 。 函数 f (x) 在点 0 x 处可导有时也说成 f (x) 在点 0 x 具有导数或导数存在。 导数的定义式（2）也可取不同的形式，常见的有 ( ) ( ) ( ) h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − = → （3） 和 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x f x f x f x x x − − = → （4） 注：函数在一点的导数的几何定义： f (x) 是曲线 y = f (x) 在 ( ( )) 0 0 x ，f x 点的切线斜率； 路程 S = S(t) 对时间 t 的导数 ( ) 0 S t 是 0 t 时刻的速度； 在抽象情况下， ( ) 0 f x 表示 y = f (x) 在 0 x = x 点变化的快慢。 2. 可导与连续的关系 图 2-1 图 2-2
若一：=了6存在.则有极限的函数与无穷小的关系知道，义=f)+a即Ay=了Ar+ar (其中a为当△x→0时为无穷小)，由 imAy=m,f代Ar+m,Ar=0。 可知，如果函数y=)在点x处可导，则函数在该点必连续。 注意：一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。 3.左导数与右导数 根据函数f(x)在点x。处的导数∫"(x)的定义是一个极限，因此∫"(x)存在即fx)在点x。处可导的充 分必要条件是左、右极限 色+川)及色+小园 h 都存在且相等。这两个极限分别称为函数f()在点x。处的左导数和右导数，记作f(x。)及(x。),即 k)巴飞+，)巴+) h h 现在可以说，函数在点x。处可导的充分必要条件是左导数f:(x。)和右导数f()都存在且相等。 如果函数fx)在开区间(a,b)内可导，且f(a)及b)都存在，就说f)在闭区间[a,b]上可导 4.求导练习 下面根据导数定义求一些简单函数的导数。 例1求函数fx)=C(C为常数)的导数。 架卢包外因：包片-0,0=0，这是e等我 例2求函数fx)=x”(n为正整数)在x=a处的导数。 go=0-g=+a+*a=m x-a 把以上结果中的a换成x得f()=叫，即(）=x。 更一般地，对于幂函数y=x“(山为常数)，有（“）=心。这就是幂函数的导数公式。利用这公 式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如： 当4=2时，y=x=厅(x>0)的号数为
4 若 f (x) x y x = →0 lim 存在。则有极限的函数与无穷小的关系知道， = ( )+ f x x y 即 y = f (x)x +x （其中 为当 x →0 时为无穷小），由 lim lim ( ) lim 0 0 0 0 = + = → → → y f x x x x x x 。 可知，如果函数 y = f (x) 在点 x 处可导，则函数在该点必连续。 注意：一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。 3. 左导数与右导数 根据函数 f (x) 在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x 的定义是一个极限，因此 ( ) 0 f x 存在即 f (x) 在点 0 x 处可导的充 分必要条件是左、右极限 ( ) ( ) h f x h f x h 0 0 0 lim + − →− 及 ( ) ( ) h f x h f x h 0 0 0 lim + − →+ 都存在且相等。这两个极限分别称为函数 f (x) 在点 0 x 处的左导数和右导数，记作 ( ) 0 f x − 及 ( ) 0 f x + ，即 ( ) ( ) ( ) h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − = →− − ， ( ) ( ) ( ) h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − = →+ + 。 现在可以说，函数在点 0 x 处可导的充分必要条件是左导数 ( ) 0 f x − 和右导数 ( ) 0 f x + 都存在且相等。 如果函数 f (x) 在开区间 (a，b) 内可导，且 f (a) + 及 f (b) − 都存在，就说 f (x) 在闭区间 a，b 上可导。 4. 求导练习 下面根据导数定义求一些简单函数的导数。 例 1 求函数 f (x) = C （ C 为常数）的导数。 解： ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 = − = + − = → → h C C h f x h f x f x h h ，即 ( ) = 0 C 。这就是说，常数的导数等于零。 例 2 求函数 ( ) n f x = x （ n 为正整数）在 x = a 处的导数。 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 lim lim lim − − − − → → → = + + + = − − = − − = n n n n x a n n x a x a x ax a na x a x a x a f x f a f a 。 把以上结果中的 a 换成 x 得 ( ) −1 = n f x nx ，即 ( ) −1 = n n x nx 。 更一般地，对于幂函数 y = x （ 为常数），有 ( ) −1 = x x 。这就是幂函数的导数公式。利用这公 式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如： 当 2 1 = 时， y = x = x 2 1 （ x 0 ）的导数为
(同-，同 当=-时，y=-（x0)的号数为 j==-,日= 例3求函数f)=cosx的导数 解：/=巴飞+=e+-巴名2(*引身 e h h 2.=-snt. (eosx=-sinx。 这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。 用类似的方法，可求得(5nx)=cosx,这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。 例4求函数fx)=a(a>0,a≠1)的导数。 0附-包作+四-归a鱼分-a h h 即 a）=a'ha。 这就是指数函数的导数公式。特殊地，当a=e时，因he=l,故有 (e)=e'. 上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e为底的指数函数的一个重要特性。 例5设y=og。x,x∈(0，+o,a>0且a≠l,求y, Ar 特别地仙一 例6研究函数 f(x)= 子x0 o. x=0 在点x=0处的连续性和可导性 5
5 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − − = = x x x ，即 ( ) x x 2 1 = ； 当 = −1 时， x y x 1 1 = = − （ x 0 ）的导数为 ( ) ( ) 1 1 1 2 1 − − − − = − = − x x x ，即 2 1 1 x x = − 。 例 3 求函数 f (x) = cos x 的导数 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 ( 2)sin 1 lim cos cos lim lim 0 0 0 h h x h h x h x h f x h f x f x h h h = − + + − = + − = → → → x h h h x h sin 2 2 sin 2 lim sin 0 = − = − + → ， 即 (cos x) = −sin x 。 这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。 用类似的方法，可求得 (sin x) = cos x ，这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。 例 4 求函数 ( ) x f x = a （ a 0，a 1 ）的导数。 解： ( ) ( ) ( ) a a h a a h a a h f x h f x f x x h h x x h x h h ln 1 lim lim lim 0 0 0 = − = − = + − = → + → → 即 (a ) a a x x = ln 。 这就是指数函数的导数公式。特殊地，当 a = e 时，因 ln e =1 ，故有 ( ) x x e = e 。 上式表明，以 e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以 e 为底的指数函数的一个重要特性。 例5 设 ' y log x, x (0, ),a 0 a 1, y = a + 且 求 . 解: x a e x x x x x x x x x x x x x y a x x a x a x a a x ln 1 log 1 log ( ) 1 lim log ( ) lim log ( ) log lim 0 0 0 ' = = = + + = + − = → → → 特别地 x x 1 (ln ) ' = . 例6 研究函数 = = 0, 0 , 0 1 sin ( ) x x x x f x 在点 x = 0 处的连续性和可导性
解因为职)=▣xs如上0=0)所以W在点x=0处连铁但是 xsin-0 不存在，故(x)在点x=0处不可导 例7函数代)=x,在点x=0处是否可导？ 解： f0+△-f@.-0=sg( △x △x .0)=mga)=lf.0)=ga)=-1 由于子(O)≠了(0)，所以x在x=0处不可导. 例8 求过点么，0)且与曲线y=士相切的直线方程 解显然点②，0心不在曲线少上。由导数的几何意义可知，若设切点为00，则，一子 的所求切线斜率k为 k=w定 故所求切线方程为 又切线过点(2,0)，所以有 于是得01,0=1，从而所求切线方程为 y-1=(x-1),即y=2-x 小结：本节讲述了导数的定义，导数的几何意义，可导与连续之间的关系 思考：已知一个函数，如何求它的导函数？特别是分段函数。， 作业：见习题册 6
6 , ( ) 0 . 1 lim sin 0 1 sin lim 0 ( ) (0) lim 0 (0) ( ) 0 , 1 lim ( ) lim sin 0 0 0 0 0 不存在 故 在点 处不可导 解 因为 所以 在点 处连续 但是 = = − = − − = = = = → → → → → f x x x x x x x f x f f f x x x f x x x x x x x 例7 函数 f(x)=|x|，在点 x＝0 处是否可导? 解： sgn( ) (0 ) (0) 0 x x x x f x f = − = + − ' (0) lim sgn( ) 1, ' (0) lim sgn( ) 1, 0 0 = = = = − + → − − → + f x f x x x ' (0) ' (0) + − 由于f f ，所以 f(x)=|x |在 x＝0 处不可导． 例 8 求过点(2,0)且与曲线 x y 1 = 相切的直线方程． 解 显然点(2,0)不在曲线 x y 1 = 上. 由导数的几何意义可知，若设切点为(x0,y0)，则 0 0 1 x y = 的所求切线斜率 k 为 , 1 )' 1 ( 2 0 0 x x k = x=x = − 故所求切线方程为 ( ). 1 1 2 0 0 0 x x x x y − = − − 又切线过点(2,0)，所以有 (2 ) 1 1 2 0 0 0 x x x − = − − 于是得 x0=1,y0=1,从而所求切线方程为 y −1= −(x −1),即y = 2 − x 小结：本节讲述了导数的定义,导数的几何意义,可导与连续之间的关系. 思考：已知一个函数，如何求它的导函数？特别是分段函数。. 作业：见习题册