第二节函数的求导法则 教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数， 掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法 教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法，复合函数的求导法则 教学难点：反函数求导，理解复合函数的求导方法 教学内容 复习：导数的定义：复合函数的定义。 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1如果函数仁(x)及=x)在点x具有导数那么它们的和、差、积、商（除分母 为零的点外)都在点x具有导数，并且 [x)士xj=fx)士rx)； Iux-Wx)l'=)Wx)IxV(): 证明（D壮(=+士+上生剑 =+国±+]-rere h (2)e-+n+A-e因 h xh-)hx) -[+的国+树+] -典g@丹e+的@ =u(x)h(x)+ux)v(x). 其中mx+h)=)是由于V()存在，故x)在点x连续。 法则(2)可简单地表示为 (w)'=uw+uv. h =+-MMt+h到 vx+h)v(xh
1 第二节 函数的求导法则 教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数， 掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法 教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法，复合函数的求导法则 教学难点：反函数求导，理解复合函数的求导方法 教学内容： 复习：导数的定义；复合函数的定义。 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1 如果函数 u=u(x)及 v=v(x)在点 x 具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母 为零的点外)都在点 x 具有导数 并且 [u(x) v(x)]=u(x) v(x) [u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x u x v x v x u x − = 证明 (1) h u x h v x h u x v x u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + + − = → + − + − = → h v x h v x h u x h u x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 =u(x)v(x) 法则(1)可简单地表示为 (uv)=uv (2) h u x h v x h u x v x u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim 0 + + − = → [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 1 lim 0 u x h v x h u x v x h u x v x h u x v x h h = + + − + + + − → + − + + + − = → h v x h v x v x h u x h u x h u x h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 h v x h v x v x h u x h u x h u x h h h ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 + − + + + − = → → → =u(x)v(x)+u(x)v(x) 其中 0 lim h→ v(x+h)=v(x)是由于 v(x)存在 故 v(x)在点 x 连续 法则(2)可简单地表示为 (uv)=uv+uv (3) v x h v x h u x h v x u x v x h h v x u x v x h u x h v x u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 0 + + − + = − + + = → → v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 + + − − + − = →
M+-M田x-)+-国 x+hv(x) _(xh(x)-ux)v(x) 2(x) 法则(3)可简单地表示为 肖= (ty=r,(mr=+m,(停=r 定理1中的法则(、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形.例如设=x以=x、 =w(x)均可导，则有 (件wy=+-. (uw)'=(uv)w=(uv)w+(t)w u'vtin')w+uw'=uww+iy'w+iw'. 即 (wwy'=uwwtuw+www'. 在法则(2)中，如果=C(C为常数)，则有 (C)'=Ct. 例1.=2x3-5x243x-7,求y 解：y=(2r3-5x2+3x-7y=(2xy-5x2y4(3xy-7=26xy-5(x2y+3xy =2.3x2-52x+3=6x2-10x+3. 例2.fx)=x3+4cosx-sin罗，求fx)及f() 解：f)=(6y+(4 cosxY-(sim5y=3r2-4sinx fr=房2-4 =e"(sin x+cosxH+e*(cos x-sin x) =2e*cos x. 例4.=tanx,求y. 即 (tanx)'=sec'x. 例5.=scx,求y 即 (sec x)'=sec xtanx. 用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式： (cot x)'=-csc"x. (csc x)'=-csc x cot x
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h + + − − + − = → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x −u x v x = 法则(3)可简单地表示为 2 ( ) v u v uv v u − = (uv)=uv (uv)=uv+uv 2 ( ) v u v uv v u − = 定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 u=u(x)、v=v(x)、 w=w(x)均可导 则有 (u+v−w)=u+v−w (uvw)=[(uv)w]=(uv)w+(uv)w =(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw 即 (uvw) =uvw+uvw+uvw 在法则(2)中 如果 v=C(C 为常数) 则有 (Cu)=Cu 例 1．y=2x 3−5x 2+3x−7 求 y 解 y=(2x 3−5x 2+3x−7)= (2x 3 )−(5x 2 )+(3x)−(7)= 2 (x 3 )− 5( x 2 )+ 3( x) =23x 2−52x+3=6x 2−10x+3 例 2 2 ( ) 3 4cos sin f x =x + x− 求 f (x)及 ) 2 ( f 解 f x x x ) 3x 4sin x 2 ( )=( 3)+(4cos )−(sin = 2 − 4 4 3 ) 2 ( = 2 − f 例 3．y=e x (sin x+cos x) 求 y 解 y=(e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x −sin x) =2e x cos x 例 4．y=tan x 求 y 解 x x x x x x x y x 2 cos (sin ) cos sin (cos ) ) cos sin (tan ) ( − = = = x x x x x 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos cos sin = = + = 即 (tan x)=sec2 x 例 5．y=sec x 求 y 解 x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) ( − = = = x x 2 cos sin = =sec x tan x 即 (sec x)=sec x tan x 用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)=−csc2 x (csc x)=−csc x cot x
二、反函数的求导法则 定理2如果函数行在某区间内单调、可导且f”00,那么它的反函数与广(x)在 对应区间={=0以，E内也可导，并且 简要证明：由于=y)在1，内单调、可导（从而连续），所以=心)的反函数(x)存在 且x)在1，内也单调、连续 任取x，给x以增量Ax(Ax0,x+AxeI,由=(x)的单调性可知 △=(x+△r-(x)0, 于是 因为=广(x)连续，故 m4y=0 从而 U=兴立7可 Av 上述结论可简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例6.设=-siny,yef牙，]为直接函数，则=arcsin是它的反函数函数=siny在 开区间（←牙，）内单调、可导，且 (siny)'=cosy>0. 因此，由反函数的求导法则，在对应区间1=(-1,1)内有 (aresing)-(snyy cosysiny 类似地有：(ccos=-子 例7.设x=tan y.ye(子，)为直接函数，则)=arctan x是它的反函数.函数x=tany 在区间（←牙，）内单调、可导，且 (tany)'=sec220. 因此，由反函数的求导法则，在对应区间1=(-∞，+)内有 (arctany-(tanyscytany 类似地有：(cot=一中 例8设=a(a0a≠)为直接函数，则=logx是它的反函数.函数x=a'在区间1=（←0， 3
3 二、反函数的求导法则 定理 2 如果函数 x=f(y)在某区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0 那么它的反函数 y=f −1 (x)在 对应区间 Ix={x|x=f(y) yIy}内也可导 并且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x − = 或 dy dx dx dy 1 = 简要证明 由于 x=f(y)在 I y内单调、可导(从而连续) 所以 x=f(y)的反函数 y=f −1 (x)存在 且 f −1 (x)在 I x内也单调、连续 任取 x I x 给 x 以增量x(x0 x+xI x) 由 y=f −1 (x)的单调性可知 y=f −1 (x+x)−f −1 (x)0 于是 y x x y = 1 因为 y=f −1 (x)连续 故 lim 0 0 = → y x 从而 ( ) 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 1 f y y x x y f x x y = = = → → − 上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6．设 x=sin y ] 2 , 2 [ y − 为直接函数 则 y=arcsin x 是它的反函数 函数 x=sin y 在 开区间 ) 2 , 2 ( − 内单调、可导 且 (sin y)=cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(−1 1)内有 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = = = 类似地有 1 2 1 (arccos ) x x − =− 例 7．设 x=tan y ) 2 , 2 ( y − 为直接函数 则 y=arctan x 是它的反函数 函数 x=tan y 在区间 ) 2 , 2 ( − 内单调、可导 且 (tan y)=sec2 y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(− +)内有 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = = = 类似地有 1 2 1 (arccot ) x x + =− 例 8 设 x=a y (a0 a 1)为直接函数 则 y=loga x 是它的反函数 函数 x=a y在区间 I y=(−
+)内单调、可导，且 到目前为止，所基本初等函数的导数我们都求出来了，那么由基本初等函数构成的较复 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数Intanx、er、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3如果=gx)在点x可导，函数)在点作gx)可导，则复合函数=gx在点x 可导，且其导数为 来-ugi密来贵 证明：当=gx)在x的某邻域内为常数时，一几】也是常数此时导数为零，结论自然 成 当=gx)在x的某邻域内不等于常数时，△0，此时有 是-1+aO.1g++A-型 g(x+Ax)-g(x) 空mg-m+f@+@=fge 简要证明： 来是一兴兴=m兰兴-g 例9=e,求安 解函数y=e可看作是由=e”,r复合而成的，因此 来路-e3 e, 例10=5血，求密 解函数票是由)如，“条复合而成的， 因t会会会mw20是奈 对复合函数的导数比较熟练后，就不必再写出中间变量 例山.Insin.求安 解：来-hs血sd5血=cosx=cor 例12.=-2示，求会
4 +)内单调、可导 且 (a y )=a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(0 +)内有 a a a x a x y y a ln 1 ln 1 ( ) 1 (log ) = = = 到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数 lntan x 、 3 x e 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理 3 如果 u=g(x)在点 x 可导 函数 y=f(u)在点 u=g(x)可导 则复合函数 y=f[g(x)]在点 x 可导 且其导数为 f (u) g (x) dx dy = 或 dx du du dy dx dy = 证明 当 u=g(x)在 x 的某邻域内为常数时 y=f[(x)]也是常数 此时导数为零 结论自然 成立 当 u=g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时 u0 此时有 x g x x g x g x x g x f g x x f g x x f g x x f g x x y + − + − + − = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] x g x x g x u f u u f u + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) x g x x g x u f u u f u x y dx dy x u x + − + − = = → → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim 0 0 0 = f (u)g (x ) 简要证明 x u u y x y dx dy x x = = →0 →0 lim lim lim lim ( ) ( ) 0 0 f u g x x u u y u x = = → → 例 9 3x y=e 求 dx dy 解 函数 3x y=e 可看作是由 y=e u u=x 3 复合而成的 因此 2 2 3 u 3 3 x e x x e dx du du dy dx dy = = = 例 10 1 2 2 sin x x y + = 求 dx dy 解 函数 1 2 2 sin x x y + = 是由 y=sin u 1 2 2 x x u + = 复合而成的 因此 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy + + − = + + − = = 对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量 例 11．lnsin x 求 dx dy 解 (sin ) sin 1 =(lnsin ) = x x x dx dy x x x cos cot sin 1 = = 例 12． 3 1 2 2 y= − x 求 dx dy
解：-40-2=-22i0-22y 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.例如，设=)，以.=以以 则 密来出来快产 例13.=Incos(e),求 解：安-hos-I= Hetan(). 例4。=e,求 解来=ey=e(sn=ecos ae片cs 例15设D0,证明幂函数的导数公式 '=ux- 解因为x(eln%eala,所以 (x'=(euny'=euinx.(uInx)'=eulnx.uxl=ux1 四、基本求导法则与导数公式 1.基本初等函数的导数 1)(©'=0， (2)('=x (3) (sin x)'=cosx. (cos x)'=-sinx (5) (tan x)'=secx 6) (cot x)'=-csc-x, 7 (sec x)'=sec x-tanx. (8) (csc x)'=-csc x-cot x. (9) (a'Y'=a"In a, (10) (ey=e, （）(ogha (13) (arcsinx)= （4(coa=-
5 解 (1 2 ) (1 2 ) 3 1 [(1 2 ) ] 3 2 2 3 2 1 2 = − = − − − x x x dx dy 3 2 2 3 (1 2 ) 4 x x − − = 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设 y=f(u) u=(v) v=(x) 则 dx dv dv du du dy dx du du dy dx dy = = 例 13．y=lncos(e x ) 求 dx dy 解 [cos( )] cos( ) 1 =[lncos( )] = x x x e e e dx dy [ sin( )] ( ) tan( ) cos( ) 1 x x x x x e e e e e = − =− 例 14． y e x 1 sin = 求 dx dy 解 ) 1 ( 1 ) cos 1 ( ) (sin 1 sin 1 sin 1 sin = = = x x e x e e dx dy x x x x e x x 1 cos 1 1 sin 2 =− 例 15 设 x0 证明幂函数的导数公式 (x )= x −1 解 因为 x =(e ln x ) =e ln x 所以 (x )=(e ln x )= e ln x ( ln x)= e ln x x −1= x −1 四、基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数 (1) (C)=0 (2) (x )= x −1 (3) (sin x)=cos x (4) (cos x)=−sin x (5) (tan x)=sec2 x (6) (cot x)=−csc2 x (7) (sec x)=sec xtan x (8) (csc x)=−csc xcot x (9) (a x )=a x ln a (10) (e x )=e x (11) x a x a ln 1 (log ) = (12) x x 1 (ln ) = (13) 1 2 1 (arcsin ) x x − = (14) 1 2 1 (arccos ) x x − =−
(15)(aretanxy- (16)(arccots 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设x,=x)都可导，则 ) (u士r=生y 2) (Cu)'=Cu, (3) (uv)'=-+V (4) (白y=-m 2 3.反函数的求导法则 设x0)在区间，内单调、可导且∫00，则它的反函数)在)内也可导，并 且 高政密室 4.复合函数的求导法则 设.面加g国且及)都可导，则复合函数与儿的导数为 密密袅 或yx=∫(u)gx). 例16.求双曲正弦shx的导数 解：因为shx=号(e-e-,所以 (shx)'=1(ex-e-xY=-(e*+e-x)=chx. 即 (shx)'=chx. 类似地，有 (chx)=sh 例17.求双曲正切山x的导数 解，因为hx=出所以 由==d 例18.求反双曲正弦arshx的导数 解：因为arshxa=n(x++x),所以 (ash++m0+家元 由achx=lhx+可).可得(achW- 由arthx告，可得(amh京
6 (15) 1 2 1 (arctan ) x x + = (16) 1 2 1 (arccot ) x x + =− 2．函数的和、差、积、商的求导法则 设 u=u(x) v=v(x)都可导 则 (1) (u v)=uv (2) (C u)=C u (3) (u v)=uv+uv (4) 2 ( ) v u v uv v u − = 3．反函数的求导法则 设 x=f(y)在区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0 则它的反函数 y=f −1 (x)在 Ix=f(Iy)内也可导 并 且 ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x − = 或 dy dx dx dy 1 = 4．复合函数的求导法则 设 y=f(x) 而 u=g(x)且 f(u)及 g(x)都可导 则复合函数 y=f[g(x)]的导数为 dx du du dy dx dy = 或 y(x)=f (u)g(x) 例 16 求双曲正弦 sh x 的导数. 解 因为 ( ) 2 1 sh x x x e e = − − 所以 x e e e e x x x x x ( ) ch 2 1 ( ) 2 1 (sh ) = − − = + − = 即 (sh x)=ch x 类似地 有 (ch x)=sh x 例 17 求双曲正切 th x 的导数 解 因为 x x x ch sh th = 所以 x x x x 2 2 2 ch ch sh (th ) − = x 2 ch 1 = 例 18 求反双曲正弦 arsh x 的导数 解 因为 arsh ln( 1 ) 2 x= x+ +x 所以 2 2 1 2 1 ) 1 (1 1 1 (arsh ) x x x x x x + = + + + + = 由 arch ln( 1) x= x+ x 2 − 可得 1 1 (arch ) 2 − = x x 由 x x x − + = 1 1 ln 2 1 arth 可得 1 2 1 (arth ) x x − =
类似地可得(arch=二，(arth=录 例19.=sin sin(n为常数)，求y 解：/=(sin nx')sln“x+sinr·(sn"x)' =ncos nx-sin"x+sinr·n·sin"-lx(sinx)' ncos nx.sin"x+n sinx.cosx=nsin1xsin(n+1)x 小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法，复合函数的求 思考：对复杂的复合函数你有没有好方法进行求导运算？ 作业：见习题册 1
7 类似地可得 1 1 (arch ) 2 − = x x 1 2 1 (arth ) x x − = 例 19．y=sin nxsinn x (n 为常数) 求 y 解 y=(sin nx) sin n x + sin nx (sin n x) = ncos nx sin n x+sin nx n sin n−1 x (sin x ) = ncos nx sin n x+n sin n−1 x cos x =n sin n−1 x sin(n+1)x 小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法，复合函数的求 导. 思考：对复杂的复合函数你有没有好方法进行求导运算？ 作业：见习题册