第四章不定积分 一、学时分配：讲课学时：10学时习题课学时：2学时共12学时学时 二、基本内容：原函数与不定积分的概念、不定积分的性质、基本积分公式、换 元积分法、分部积分法和有理函数以及可化为有理函数的积分。 三、教学要求： 1.理解原函数与不定积分的概念 2,理解不定积分的基本性质： 3.熟记不定积分的基本积分公式： 4.熟练掌握不定积分的换元积分法： 5.熟练掌握常见三种类型的分部积分法： 6.会求有理函数和可化为有理函数的简单无理式的积分。 四、重点与难点： 1,重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积 分法，分部积分法。 2.难点：换元积分法。 第一节不定积分的概念与性质 教学目的：使学生理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质。 教学重点：原函数与不定积分的概念。 教学难点：原函数的求法。 教学过程： 一、原函数与不定积分 定义1如果对任一x∈I,都有 F'(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx 则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。 例如：(snx'=cosx,即snx是cosx的原函数。 [m(x+1+x2y= 千京·即以x++)是的服数。 原函数存在定理：如果函数∫(x)在区间1上连续，则∫(x)在区间1上一定有原函数
第四章 不定积分 一、学时分配：讲课学时：10 学时 习题课学时：2 学时 共 12 学时 学时 二、基本内容：原函数与不定积分的概念、不定积分的性质、基本积分公式、换 元积分法、分部积分法和有理函数以及可化为有理函数的积分。 三、教学要求： １. 理解原函数与不定积分的概念； ２. 理解不定积分的基本性质； ３. 熟记不定积分的基本积分公式； ４. 熟练掌握不定积分的换元积分法； ５. 熟练掌握常见三种类型的分部积分法； ６. 会求有理函数和可化为有理函数的简单无理式的积分。 四、重点与难点： １. 重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积 分法，分部积分法。 ２. 难点：换元积分法。 第一节 不定积分的概念与性质 教学目的：使学生理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质。 教学重点：原函数与不定积分的概念。 教学难点：原函数的求法。 教学过程： 一、 原函数与不定积分 定义 1 如果对任一 xI ，都有 F(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx 则称 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的原函数。 例如： (sin x) = cos x ，即 sin x 是 cos x 的原函数。 2 2 1 1 [ln( 1 ) x x x + + + = ，即 ln( 1 ) 2 x + + x 是 2 1 1 + x 的原函数。 原函数存在定理：如果函数 f (x) 在区间 I 上连续，则 f (x) 在区间 I 上一定有原函数
即存在区间I上的可导函数F(x),使得对任一x∈I,有F'(x)=f(x)· 注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。 设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)+C]'=f(x),即F(x)+C也为f(x)的原函数， 其中C为任意常数。 注2：如果F(x)与G(x)都为∫(x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即 F(x)-G(x)=C(C为常数) 注3：如果F(x)为∫(x)在区间1上的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常数)可表达 ∫(x)的任意一个原函数。 定义2在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间1上的不定 积分，记为「fx)d。 如果F(x)为f(x)的一个原函数，则 ∫f(x)-F(x)+C,(C为任意常数) 1.因为写=，得达=号+C -子因此有 ∫片=h1x1+C 例3.设曲线过点(L,2),且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。 解。设曲线方程为y=,其上任一点化列处切线的斜率为密=2x 从而 y=[2xdx=x2+C 由)=2，得C=1,因此所求曲线方程为 y=x2+1 二、积分公式
即存在区间 I 上的可导函数 F(x) ，使得对任一 xI ，有 F(x) = f (x) 。 注 1：如果 f (x) 有一个原函数，则 f (x) 就有无穷多个原函数。 设 F(x) 是 f (x) 的原函数，则 [F(x) + C] = f (x) ，即 F(x) + C 也为 f (x) 的原函数， 其中 C 为任意常数。 注 2：如果 F(x) 与 G(x) 都为 f (x) 在区间 I 上的原函数，则 F(x) 与 G(x) 之差为常数，即 F(x) − G(x) = C （C 为常数） 注 3：如果 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F(x) + C （ C 为任意常数）可表达 f (x) 的任意一个原函数。 定义 2 在区间 I 上， f (x) 的带有任意常数项的原函数，成为 f (x) 在区间 I 上的不定 积分，记为 f (x)dx 。 如果 F(x) 为 f (x) 的一个原函数，则 f x dx = F x + C ( ) ( ) ，（ C 为任意常数） 例1． 因为 2 3 ) 3 ( x x = ， 得 = + C x x ds 3 3 2 例2． 因为， x 0 时， x x 1 (ln ) = ； x 0 时， x x x x 1 ( ) 1 [ln( )] − = − − = ，得 x x 1 (ln | |) = ，因此有 dx = x +C x ln | | 1 例3． 设曲线过点 (1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。 解：设曲线方程为 y = f (x) ，其上任一点 (x, y) 处切线的斜率为 x dx dy = 2 从而 y = xdx = x + C 2 2 由 y(1) = 2 ，得 C =1 ，因此所求曲线方程为 1 2 y = x + 二、 积分公式
1)「kdk=kx+C(k为常数) 2)j= H+i+C (4≠-1) )∫$=h1x+C 高+c 高oc 1)∫cosxd=sinx+C 2)∫sinxdx=-cosx+C )∫-小c=m+C m岛-小xh=-cr+c 5)[secxtanxdx=secx+C 6)[cscxcotxdx=-cscx+C )∫e'=e'+C yo-。+c 9)[sinh xdr=coshx+C 1o)∫coshxdx=sinh x+C 例4.∫小r=jr=r+C 三、不定积分的性质 性质1.Jfx)+gx=∫f(x)+∫g(x) 性质2.「kfx)dk=f(x),(k为常数，k≠0) 例5.求∫VF(x2-5)h
1) kdx = kx + C ( k 为常数) 2) + + = + C x x dx 1 1 ( −1 ) 3) = x +C x dx ln | | 4) + + x C x dx arctan 1 2 5) + − x C x dx arcsin 1 2 1) cos xdx = sin x + C 2) sin xdx = −cos x + C 3) = xdx = x + C x dx sec tan cos 2 2 4) = xdx = − x + C x dx csc cot sin 2 2 5) sec x tan xdx = sec x + C 6) csc x cot xdx = −csc x + C 7) e dx = e + C x x 8) = + C a a a dx x x ln 9) sinh xdx = cosh x + C 10) cosh xdx = sinh x + C 例 4． x x dx = x dx = x + C 2 7 2 5 2 7 2 三、 不定积分的性质 性质 1． [ f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx 性质 2． kf (x)dx = k f (x)dx ， （ k 为常数， k 0 ） 例5． 求 x (x 5)dx 2 − 解：
∫(x2-5t=x-5r =jx-可x -9c =子G-9xwF+C %。求 解： h=j-n+-h x -j-3+ 2 3 -号-3x+h++C 例7.求「(e-3cosx+2e)k [(e*-3cosx+2*e*)dx =∫e'k-3 [cosxdx+∫(2e)'k eC =e-3m++c 制求先后 解： ∫-t芳 1+x+x2 =+小 In |x|+arctanx+C
x x x x C x x C x dx x dx x x dx x x dx = − + = − + = − − = − 3 10 7 2 3 10 7 2 5 ( 5) ( 5 ) 3 2 3 2 7 2 1 2 5 2 1 2 5 2 例6． 求 dx x x − 2 3 ( 1) 解： C x x x x x x C dx x x x dx x x x x dx x x = − + + + = − + = − + − − + − = − 1 3 3ln | | 2 3 10 7 2 ) 3 1 ( 3 ( 1) 3 3 1 2 2 3 2 7 2 2 3 2 2 3 例7． 求 e − x + e dx x x x ( 3cos 2 ) 解： C e e x C e e e x e dx xdx e dx e x e dx x x x x x x x x x + + = − + = − + + = − + − + 1 ln 2 (2 ) 3sin ln( 2 ) (2 ) 3sin 3 cos (2 ) ( 3cos 2 ) 例 8．求 dx x x x x + + + (1 ) 1 2 2 解： x x C dx x dx x dx x x x x dx x x x x = + + + = + + + + = + + + ln | | arctan 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 2 2 2
例9.求「an2xdk 解： ∫tan2xdk=∫(sec2x-l)d =∫sec2xdk-∫k tanx-x+C 例10.求∫sn5 解： ∫sm=∫小-coh 2 =(x-snx)+C 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的 积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用 思考：1.不定积分表示函数的一个原函数吗？ 2.微分运算与积分运算能相互抵消吗？ 由原函数与不定积分的概念可得： 1)4x=f) 2)d[f(x)dx=f( 3)「F'(x)t=F(x)+C 4)「dF(x)=F(x)+C 5)「dk=x+G 作业见作业卡：
例9． 求 xdx 2 tan 解： x x C xdx dx xdx x dx = − + = − = − tan sec tan (sec 1) 2 2 2 例10． 求 dx x 2 sin 2 解： x x C dx xdx dx x dx x = − + = − − = ( sin ) 2 1 cos 2 1 2 1 2 1 cos 2 sin 2 小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的 积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用 思考：１.不定积分表示函数的一个原函数吗？ ２.微分运算与积分运算能相互抵消吗？ 由原函数与不定积分的概念可得： １） f (x)dx = f (x) dx d ２） d f x dx f x dx ( ) = ( ) ３） F(x)dx = F(x) + C ４） dF x = F x + C ( ) ( ) ５） dx = x + C 作业见作业卡：