第九章级数 第十一章隐函数 第十章多元函数微分学 第十一章隐函数 第十二章反常积分与.. 第十三章重积分 第十二章反常积分与含参变量的积分 访问主页 标题页 第十三章重积分 44 第十四章曲线积分与曲面积分 第2页417 返回 全屏显示 关闭 退出
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第九章级数 第十章多元函数微分学 1第十一章隐函数 第十一章隐函数 第十二章反常积分与。 第十三章重积分 S5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则，本章将在一个方程所 确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函 访问主页 数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函 标题页 数微分学中的一个重要工具-函数行列式.我们将给出函数行列式的性质 及其简单的应用 第3页17 返回 全屏显示 关闭 退出
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§11.1. 隐函数的存在性 一、隐函数概念 第九章级数 弟十章多元西数微分学 第十一章总雨数 在S5.3中，已经给出由方程F(x,y)=0所确定的隐函数. 第十二章反常积分与一 弟十三最重积分 例1.方程F(c,)=xy+3ax2-5y-7=0,x∈R(x≠5)，通过方程 对应唯一一个y,即y= 3x2-7 .显然，有 5-x 访问主页 3x2-7 标题页 Fx,5一x )三0 炒 由隐函数定义y=5-x 32-7是方程F,)=y+3x2-5则-7=0所 第4页417 确定的隐函数它的几何意义是，平面曲线！ 3x2-7是空间曲面2= 返回 5-x 全屏显示 xy+3x2-5y-7与平面z=0(xy平面)的交线， 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❦11.1. Û➻ê✛⑧✸✺ ➌✦Û➻ê❱❣ ✸§5.3➙,➤➨❽Ñ❞➄➜F(x,y)=0↕✭➼✛Û➻ê. ⑦1. ➄➜F(x, y) = xy + 3x 2 − 5y − 7 = 0, ∀x ∈ R(x 6= 5),Ï▲➄➜ é❆➁➌➌❻y,❂y = 3x 2 − 7 5 − x .✇✱,❦ F(x, 3x 2 − 7 5 − x ) ≡ 0 ❞Û➻ê➼➶,y = 3x 2 − 7 5 − x ➫➄➜F(x, y) = xy + 3x 2 − 5y − 7 = 0↕ ✭➼✛Û➻ê.➜✛❆Û➾➶➫,➨→➢❶y = 3x 2 − 7 5 − x ➫➌♠➢→z = xy + 3x 2 − 5y − 7❺➨→z=0(xy➨→)✛✂❶
例2.方程F(x,)=x2+y2-a2=0(a>0),z∈(-a,a),0<y< +∞或-∞<y<0则x∈(-a,a)只对应唯一一个y,即 1=Va2-x2或劝=-√a2-x2 第九章级数 第十章多元函数反分学 第十一章隐函数 显然，有 第十二章反常积分与。 第十三重积分 F(c,h)=F(z,Va2-x2)=0. 与F(x,2)=F(x,-√a2-x2)=0. 访问主页 标题页 由隐函数定义，劝=Va2-x2与2=-Va2-x2都是方程 F(x,)=x2+y2-a2=0 第5页417 所确定的隐函数。它的几何意义是，平面曲线劝=Va2-x2与2= 返回 -va2-x2.(以原点为心以a为半径的上半圆与下半圆)是空间曲面z= 全屏显示 关闭 x2+y2-a2(旋转抛物面)与平面z=0的两条交线. 退出
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例3.方程F(x,)=xy+2x-2y=0,在原点的某个；邻域(-6,6)，z∈ (一6,6)，通过方程对应唯一一个y,即y=p(x)下面例6将证明这个事实).显 第九章级数 弟十章多元西数微分学 然，有 第十一章总雨数 第十二章反常积分与一 弟十三最重积分 F[z,p(x】≡0. 由隐函数定义，y=p(x)是方程F(x,）=xy+2r-2型=0所确定的隐 访问主页 函数.它的几何意义是，空间曲面z=xy+2-2y与平面z=0在原点邻 标题页 域(-6，)相交成平面曲线y=p(x) 炒 例4.方程F(亿，)=x2+2+2=0,x∈R通过方程不存在对应 第6页417 的y,即方程不确定隐函数.它的几何意义是，空间曲面z=x2+y2+z2(旋转 返回 抛物面)与平面z=0不相交， 全屏显示 关闭 退出
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第九章级数 第十章多元函数反分学 上述四例说明，一个方程可能确定隐函数，如例1,2,3，也可能不确定隐函 第十一章隐函数 第十二章反常积分与。 第十三章重积分 数，如例4.一个方程可能确定一个隐函数，如例1，也可能确定二个（或多个）隐 函数，如例2.一个方程确定的隐函数可能是初等函数，如例1,2，也可能不是 访问主页 初等函数，如例3（因为超越方程不能用代数方法求解）.值得注意的是例3这 标题页 种情况，它说明隐函数包含着非初等函数从而给出了表示函数的新方法， 炒 扩大了研究函数的给围. 4 第7页17 返回 全屏显示 关闭 退出
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关于两个函数x与y的方程F(x,y)=0确定隐函数，可类似地推广到n+1个 变数1，x2,·,xn,y的方程 第九章级数 弟十章多元西数微分学 第十一章总雨数 第十二章反常积分与一 F(x1,x2,.,x,y）=0. 常十三最重积分 若存在点P6(x,x,·,x)的邻域G,P(x1,x2,·,xn)∈G通表上面 访问主页 方程对应唯一一个y,设y=f(x1,x2,.,xn),有 标题页 炒 F[1,x2,.,xn,fc1,c2,·,xn】≡0 则称n元函数y=(x1,2,·,xn)是由方程F(c1,x2,xm,)=0所确定 第8页417 返回 的隐函数 全屏显示 关闭 退出
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第九章级数 第十章多元函数反分学 例5.方程F(c,y,2)=x+xy+y2-4=0,(c,)∈R(y卡0)，通过 第十一章隐函数 方程对应唯一一个2即2=4-显然有 第十二章微常积分与。 第十三章重积分 y F(x,y 4-x-x以三0. 访问主页 标题页 由隐函数定义2=4-一四是方程F红，y,)=x+y十2-4=0所确 炒 定的确（二元）隐函数. 第9页17 返回 全屏显示 关闭 退出
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隐函数还有更一般的情况：若干个方程构成的方程组所确定的隐函 数（组）. 第九章级数 常如，两个方程构成的方程组 弟十章多元西数微分学 第十一章总雨数 第十二章反常积分与一 { (x,z)=5x+yz+z2-6=0, 弟十三最重积分 F2(x,y,z）=x+y+z=0. Vz∈R(z≠5)，通过方程组对应唯一一对x与y, 访问主页 7= 6 标题页 5- 与y=+12-6) 5-z 炒 显然，有 6(z+1)(z-6) )=0， 第和页417 5- 返回 (z+1)(2-6) F5- 5-2 ,z)三0 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Û➻ê❸❦➁➌❸✛➐➵:❡❩❻➄➜✟↕✛➄➜⑤↕✭➼✛Û➻ ê(⑤). ⑦❳,ü❻➄➜✟↕✛➄➜⑤ F1(x, y, z) = 5x + yz + z 2 − 6 = 0, F2(x, y, z) = x + y + z = 0. ∀z ∈ R(z 6= 5),Ï▲➄➜⑤é❆➁➌➌éx❺y, x = 6 5 − z ❺ y = (z + 1)(z − 6) 5 − z . ✇✱,❦ F1( 6 5 − z , (z + 1)(z − 6) 5 − z , z) ≡ 0, F2( 6 5 − z , (z + 1)(z − 6) 5 − z , z) ≡ 0
一般情况是，n个变数m个方程(m<n): f(c1,x2,.,xm,xm+1,.,cn)三0， F2(a1,x2,·,xm,xm+1,.,xn)三0， (1) 第九章级数 第十章多元函数微分学 第十一章总函数 Fm(x1,x2,.,xmxm+1,·,xn)三0. 第十二放反常积分与 第十三章重积分 若存在m个函数 x1=f(xm+1,.,xn), x2=f(xm+1,·,xn), 访问主页 (2) 标题页 xm=f(xm+1,·,xn) 满足方程组(1)，即 f(fi,f2,.,fm,xm+1,.,xn)=0, F2(f1,f2,.,fm,xm+1,.,xn)三0， 第11页417 返回 Fm(fi,f,.,fm,xm+1,.,xn)≡0. 全屏显示 则称函数组(2)（共m个函数）是方程组(1)所确定的隐函数组 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➌❸➐➵➫,n❻❈êm❻➄➜(m < n) : F1(x1, x2, · · · , xm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0, F2(x1, x2, · · · , xm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0, Fm(x1, x2, · · · , xm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0. (1) ❡⑧✸m❻➻ê x1 = f(xm+1, · · · , xn), x2 = f(xm+1, · · · , xn), xm = f(xm+1, · · · , xn). (2) ÷✈➄➜⑤(1),❂ F1(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0, F2(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0, Fm(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0. ❑→➻ê⑤(2)(✁m❻➻ê)➫➄➜⑤(1)↕✭➼✛Û➻ê⑤